Fiche 5 - Université Paris 13

Université Paris 13, Institut Galilée
Année universitaire 2015–2016
CCS – Probabilités & Statistiques
Fiche 5 – Intervalles de confiance, tests d’hypothèse
Exercice 1. Soit Y une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p et Y n la variable aléatoire
Yn =
1
(Y1 + Y2 + · · · + Yn ),
n
où (Y1 , . . . ,Yn ) est un échantillon de Y , c’est-à-dire que Y1 , . . . ,Yn sont des v.a. indépendantes, de même
loi que Y .
1. À l’aide du théorème central limite, définir à partir de Y n une variable aléatoire Zn qui suit approximativement la loi N (0,1) si n est suffisamment grand.
2. À l’aide de la table de la loi gaussienne,
2.a) trouver le plus petit réel A tel que P (Zn > A) ≤ 0,05 ;
2.b) trouver le plus petit réel α tel que P (−α ≤ Zn ≤ α) ≥ 0,95.
3. On pose n = 100 et p = 0,1.
3.a) Trouver le plus petit réel a tel que P (Y 100 > a) ≤ 0,05.
3.b) Trouver le plus petit réel ε tel que P (p − ε ≤ Y 100 ≤ p + ε) ≥ 0,95.
4. Application. Un fabricant de vis prélève 100 vis dans sa production, et trouve que 10 sont défectueuses.
4.a) Estimer la proportion p de vis défectueuses dans toute la production.
4.b) Donner un intervalle de confiance de niveau 95 % pour p.
5. Application. Un acheteur veut tester les livraisons de vis qu’il reçoit et savoir si elles sont conformes
à ce que dit le fabricant. Le fabricant assure que moins de 10 % des vis sont défecteuses. L’acheteur
prélève 100 vis de sa livraison et relève la proportion π de vis défectueuses.
Pour quelles valeurs de π l’acheteur peut-il légitimement refuser la livraison au seuil de risque de 5 % ?
Exercice 2. La durée de fonctionnement d’une ampoule suit une loi normale N (m,σ 2 ). On examine
50 ampoules et on enregistre les résultats x1 = X1 (ω), . . . ,x50 = X50 (ω). Ils vérifient :
x50 = X 50 (ω) = 58 jours et
2
σ50
=
2
S50
(ω)
50
2
1 X
=
xi − 58 = 99 jours2 .
50
i=1
1. Calculer dans ce cas les bornes d’un intervalle de confiance I de niveau 95 % de la moyenne m.
2. Énoncer un test de niveau 95 % de l’hypothèse H0 : « m = 65 jours » contre H1 : « m 6= 65 jours ».
Dans le cas présent, quelle est la conclusion du test ?
Exercice 3. Un revendeur a observé que les chargeurs de téléphone contrefaits ont, selon l’exemplaire,
un temps de charge (en heures) distribué selon la loi N (6,2), tandis que les chargeurs authentiques
ont un temps de charge de loi N (4,1). Autrement dit, si on note X le temps de charge d’un chargeur
contrefait sélectionné au hasard de façon uniforme, alors X suit la loi N (6,2) ; et de même le temps de
charge Y d’un chargeur authentique choisi au hasard suit la loi N (4,1).
1. Calculer la probabilité pour qu’un chargeur authentique ait un temps de charge supérieur à 6 heures.
2. Pour décider si un chargeur est authentique, on mesure son temps de charge.
Soit H0 l’hypothèse : « le chargeur est authentique » et H1 l’hypothèse alternative : « le chargeur est
une contrefaçon ».
On décide de rejeter l’hypothèse H0 si le temps de charge est supérieur à A = 6 heures.
2.a) Qu’est-ce que l’erreur de 1ère espèce ? Calculer sa probabilité α. (α est le seuil de risque du test)
2.b) Qu’est ce que l’erreur de 2e espèce ? Calculer sa probabilité β. (1 − β est la puissance du test)
2.c) On souhaite un risque de 1ère espèce égal à 5 %. Comment choisir A ? Que vaut alors β ?
1
Exercice 4.
1. Un grossiste reçoit des pelotes de laine provenant de deux usines différentes. Toutes les pelotes d’une
même usine n’ont pas exactement le même poids, mais le poids (en grammes) d’une pelote prise au
hasard dans un lot de même provenance suit une loi normale N (m,σ 2 ). Les usines A et B annoncent
respectivement
mA = 100 g, σA = 8 g ; mB = 96 g, σB = 4 g.
1.a) Un premier client refuse toute pelote dont le poids est inférieur à 90 g. De quelle usine provient le
lot donnant le plus faible pourcentage de rebut ?
1.b) Pour un autre client, le poids minimum exigé est inconnu ; mais on constate qu’il est tel que
le choix entre les deux provenances est indifférent. Déterminer ce poids minimum exigé ainsi que le
pourcentage de rebut (commun au deux lots).
2. Le grossiste de son côté souhaite vérifier si les lots reçus sont conformes aux qualifications annoncées
(ni plus, ni moins). Pour cela il prélève un échantillon de 100 pelotes dans le lot provenant de l’usine A
et détermine le poids moyen xA d’une pelote de cet échantillon. On suppose qu’il connaît déjà la valeur
de σA (= 8 g).
2 ). On note
2.a) Soient (X1 ,X2 , . . . ,X100 ), 100 variables aléatoires indépendantes de même loi N (mA ,σA
X 100 la moyenne de ces variables aléatoires :
100
X 100 =
1 X
Xi .
100
i=1
Définir à partir de X 100 une variable aléatoire Y dont la loi est approximativement N (0,1).
2.b) Quelles sont les valeurs de xA pour lesquelles il pourra rejeter, au seuil de risque 5 %, l’hypothèse
H0 : « mA = 100 g » ?
2.c) On ne suppose plus que le grossiste connaît σA . Par contre, il a calculé, sur son échantillon,
l’écart-type empirique
v
u
100
u1 X
2
σ100 = t
Xi (ω) − xA ' 8,5 g.
99
i=1
Répondre à nouveau à la question précédente.
Exercice 5. Un directeur de centre de loisirs s’intéresse à l’évolution de la proportion de personnes
choisissant la planche à voile par rapport à l’an dernier.
L’an dernier, π0 = 12% des personnes fréquentant le centre de loisirs avaient choisi la planche à voile.
Pour cette année, il dispose seulement du pourcentage xn = 16% des personnes ayant choisi la planche
à voile parmi les n premières venues en juillet. Il souhaite estimer avec un risque de 5% si xn est
conforme aux observations de l’année passée, c’est-à-dire tester l’hypothèse H0 : « π1 = π0 », où π1
sera la proportion de cette année, contre l’hypothèse H1 : « π1 6= π0 ».
On définit n variables aléatoires indépendantes et de même loi (Xi )1≤i≤n par :
(
1 si la i-ième personne choisit la planche à voile
Xi =
0 si la i-ième personne choisit un autre sport.
1. On se place sous l’hypothèse que la proportion de personnes optant pour la planche à voile reste π0 .
1.a) Que valent E[Xi ], Var(Xi ), E[X n ] et σ(X n ) ?
1.b) Déterminer en fonction de n un intervalle In centré en π0 et un réel An tels que
P (X n ∈ In ) = 95 %
et
P (X n ≥ An ) = 5 %.
2. Que vaut In lorsque n = 30 ? Le pourcentage xn est-il donc significativement différent, au risque
de 5 %, du pourcentage π0 obtenu l’année dernière ? (c.-à-d. que l’on peut rejeter H0 et accepter H1 )
Pour quelles valeurs de n aurait-on pu le conclure ?
3. Si le nombre d’inscrits augmente par rapport à l’an passé, il faudra avoir recruté un nouveau moniteur. On considère donc plus précisément l’hypothèse alternative H1 : « π1 > π0 ». Que vaut An lorsque
n = 30 ? Le pourcentage xn est-il donc significativement supérieur, au risque de 5 %, au pourcentage
π0 obtenu l’année dernière ? Pour quelles valeurs de n aurait-on pu le conclure ?
2