H = 25 x2−40 x−10 x 16−3 x2−21 x 5 x 35

Chapitre N2 :
CALCUL
LITTÉRAL ET ÉQUATIONS
Série 1 : Développements
Le cours avec les aides animées
Q1. Comment développe-t-on une expression de
la forme k(a  b) ? k(a − b) ?
3
Développement en deux temps
Développe puis réduis les expressions suivantes.
G = (2x  3)(5x − 8) − (2x − 4)(5x − 1)
Q2. Comment développe-t-on une expression de
la forme (a  b)(c  d) ?
G = (10x² − 16x  15x − 24)
Q3. Comment développe-t-on une expression de
la forme (a  b)(a − b) ? (a  b)2 ? (a − b)2 ?
La deuxième parenthèse est précédée d'un signe
moins donc on change tous les signes à l'intérieur.
Les exercices d'application
G = 10x² − 16x  15x − 24 − 10x²  2x  20x − 4
1
Distributivité
− (10x² − 2x − 20x  4)
G = 21x − 28
Développe puis réduis les expressions suivantes.
H = (5x − 2)(5x − 8) − (3x − 5)(x  7)
A = 3(4x  7)  4(2x − 9)
H = ( 25
A = ..........................................................................
x 2 − 40 x −10 x  16 )
− ( 3 x 2  21 x − 5 x − 35 )
H = 25 x 2 − 40 x −10 x  16− 3 x 2 − 21 x 5 x  35
H = 22 x 2 − 66 x 51
B = 7x(2x − 5) − x(2x − 5)
I = (x  7)(3 − 2x)  (5x − 2)(4x  1)
B = 14x² − 35x − 2x²  5x
I = (3
A = 12x  21  8x − 36
A = 20x − 15
B = 12x² − 30x
B = ..........................................................................
2
Double distributivité
Développe puis réduis les expressions suivantes.
x − 2 x 2  21 −14 x )
 ( 20 x 2  5 x −8 x − 2 )
I = 3 x − 2 x 2  21 −14 x  20 x 2  5 x −8 x − 2
I = 18 x 2 − 14 x 19
4
Développement du carré d'une somme
C = (2x  5)(3x  7)
a. On veut développer M = (x  5)2.
C = 2x × 3x  2x × 7  5 × 3x  5 × 7
On remarque que M est de la forme (a  b)2 avec
C = 6x2  14x  15x  35
a = x et b = 5.
M = (x  5)2
M = x2  2 × x × 5  52
M = x2  10x 25
C = 6x  29x  35
2
D = (5x  8)(2x − 7)
D = 5x × 2x − 5x × 7  8 × 2x − 8 × 7
D = 10x2 − 35x  16x − 56
D = 10x − 19x − 56
2
E = (2x − 5)(3x − 2)
E = 2x × 3x − 2x × 2 − 5 × 3x  5 × 2
E = 6x2 − 4x − 15x  10
E = 6x2 − 19x  10
F = (2  x)(5x − 4)
F = 2 × 5x − 2 × 4 
x × 5x − x × 4
F = 10x − 8  5x² − 4x
F = 6x − 8  5x²
b. On veut développer N = (4x  6)2.
On remarque que N est de la forme (a  b)2 avec
a = 4x et b = 6 .
N = (4x  6)2
N = (4x)2  2 × 4x × 6  62
N = 16x2  48x  36
Il faut être vigilant : (4x)2 = 4x × 4x = 16x2 .
c. On veut développer P = (4  x)2.
On remarque que P est de la forme (a  b)2 avec
a = 4 et b = x .
P = (4  x)2
P = 42  2 × 4 ×
P = 16  8x 
x  x2
x2
Chapitre N2 :
CALCUL
LITTÉRAL ET ÉQUATIONS
Série 1 : Développements
5
Développement du carré d'une différence
a. On veut développer S = (x − 5)2.
On remarque que S est de la forme (a − b)2 avec
a = x et b = 5 .
S = (x − 5)2
S = x2 − 2 × x × 5  52
S = x2 − 10x 25
b. On veut développer T = (3x − 7)2.
On remarque que T est de la forme (a − b)2 avec
a = 3x et b = 7 .
T = (3x − 7)2
T = (3x)2 − 2 × 3x × 7  72
T = 9x2 − 42x 49
Attention : (3x)2 = 3x × 3x = 9x2 .
c. On veut développer U = (1 − 6x)2.
On remarque que U est de la forme (a − b)2 avec
a = 1 et b = 6x .
U = (1 − 6x)2
U = 1 − 12x  36x
2
d. Développe V = (2t − 9)2.
V = (2t − 9)
2
V=
Association
Associe une expression de gauche
l'expression de droite qui lui est égale.
avec
(4x − 7)(4x  7) •
• 25x2  10x  1
(9x − 4)2
•
• 16x2 − 49
(x  1)(x − 1)
•
• 81x2 − 72x  16
(1  5x)2
•
•
8
x2 − 1
Développement au choix (1)
Développe les expressions suivantes.
x 2  16 x 64
(3x − 9)2 = 9 x 2 −54 x  81
(x  7)(x − 7) = x 2 − 49
(2y − 5)(2y  5) = 4 y 2 − 25
(6 − 2t)2 = 36− 24 t 4 t 2
(x  8)2 =
9
Développement au choix (2)
Complète les égalités suivantes en choisissant
l'identité remarquable qui convient.
U = 12 − 2 × 1 × 6x  (6x)2
V=
7
2
 2 t  − 2× 2 t × 9 9
2
2
4 t − 36 t  81
a. (3x  7)2 = 9x2  42x  49
b. (5x − 6)2 = 25x2 − 60x  36
c. (6x  8)(6x − 8) = 36x2 − 64
d. (7x  5)2 = 49x2  70x  25
e. (4x − 9)2 = 16x2 − 72x  81
10
Un peu plus compliqué
6 Développement du produit d'une somme par
une différence
a. Développe F = (3x  7)2  (7x − 3)2.
a. On veut développer C = (y  3)(y − 3).
On développe (3x  7)2 d'une part et (7x − 3)2
d'autre part.
On remarque que C est de la forme (a  b)(a − b)
a = y et b = 3.
C = (y  3)(y − 3)
C = y2 − 32
C = y2 − 9
avec
F = ( 9 x 2 42
x  49 )  ( 49 x 2 −42 x  9 )
On supprime les parenthèses.
F=
9 x 2 42 x  49  49 x 2 −42 x  9
On réduit l'expression F.
58 x 2 58
b. On veut développer D = (2x  5)(2x − 5).
F=
On remarque que D est de la forme (a  b)(a − b)
b. Développe G = (x  2)2 − (3x − 5)2.
a = 2x et b = 5 .
D = (2x  5)(2x − 5)
D = (2x)2 − 52
D = 4x2 − 25
G = ( x2 4
avec
c. Développe E = (3  4x)(3 − 4x).
E = (3  4x)(3 − 4x)
32 −  4 x  2
E = 9− 16 x 2
E=
x  4 ) − ( 9 x 2 − 30 x  25 )
G = x 2  4 x  4 − 9 x 2  30 x − 25
G = −8 x 2  34 x − 21
Chapitre N2 :
CALCUL
LITTÉRAL ET ÉQUATIONS
Série 1 : Développements
11 En substituant
a. Développe et réduis l'expression suivante.
14
Calculs astucieux
M = 3(x  5) − (x − 8)2
Calcule rapidement
remarquable.
M =  3 x 15  −  x 2 −16 x  64 
a. 1012 = (100  1)2
en
utilisant
3 x 15 − x  16 x −64
M = 19 x − 49 − x 2
1012 = 100²  2 × 100× 1 1²
b. En utilisant la forme développée, calcule M
pour x = − 2.
b. 1 0012 = (1 000  1)2
1012 = 10 201
19 ×  −2  −49 −  −2  2
M = -91
1 0012 = 1 002 001
12 Calculs avec la forme développée
a. Développe et réduis l'expression suivante.
992 = 9 801
H = (2x − 5)2 − (4x  1)2
401 × 399 = 16 000 - 1 = 15 999
M=
c. 992 =  100 −1  2
 4 x 2 − 20 x  25  −  16 x 2 8 x  1 
4 x 2 − 20 x  25− 16 x 2 − 8 x −1
H = −12 x 2 − 28 x  24
b. Calcule l'expression H pour x = 3.
H = −12× 3 2 − 28 × 3 24
H = −108− 84  24
H = −168
H=
13 Et avec des fractions
Développe les expressions suivantes.
2
2
3
3
3
A=
2×
× x  x2
x =
4
4
4

 

2
3
3 3
9
.
= × =
4
4 4 16
Attention :
9
3
 x  x2
A=
16 2

B = 3x –
2
3
2
3
B=
9 x 2 −4 x 
C=

C=
 52 x −  13 

2

a. Pierre doit calculer 100 0012. Il prend sa
calculatrice et trouve 1,000 02 × 1010. Il déclare
alors que le résultat est faux. Explique pourquoi.
Le dernier chiffre du résultat est un 1 qui
n'apparait pas à l'affichage. Ce 1 provient du
chiffre des unités du nombre initial.
b. Calcule 100 0012 en utilisant une identité
remarquable.
100 0012 =  100 000 1 2
100 0012 = 10 000 000 000 200 000 1
100 0012 = 10 000 200 001
Découpage du carré

2
3
2x  3
B
2
4
9
5
1
x
2
3

2
25 2 1
x −
C=
4
9

Juste ou non ?
A
 3 x  2 − 2× 3 x × 
4
D=
–x
7
15
16

5
1
x–
2
3
d. 401 × 399 = (400 + 1)(400 - 1)
2
B=
2

4 2
4
− 2× × x  x 2
7
7
16
8
−
 x2
D=
49 7 x
D=
identité
2
M=
H=
une
D
C
L'unité est le centimètre.
a. Calcule l'aire du carré ABCD en fonction de x.
Aire du carré ABCD =
4 x 2 12 x  9
b. On enlève 1 cm de chaque côté du carré et on
obtient un carré de côté 2x  2. Calcule en
fonction de x l'aire de la partie retirée.
A = 4 x 2 12 x  9−  4 x 2  8 x  4 
A = 4 x 2 12 x  9− 4 x 2 − 8 x − 4
A =4 x  5