Etude du comportement d`un nanofluide sous l`effet - univ

10ème Séminaire International sur la Physique Energétique
10th International Meeting on Energetical Physics
Etude du comportement d'un nanofluide sous
l'effet des vibrations en convection naturelle
S.KADRI(1), R.MAHDAOUI(1), M.ELMIR(1), B.DRAOUI(1)
(1)
Université de Béchar, B.P.417, 08000 Béchar, Algérie
Résumé —
Dans cet article, nous étudions le
comportement d'un nanofluide Al2O3+eau sous l'effet
d'une excitation vibratoire verticale en convection
naturelle dans une cavité fermée. Les parois verticales de
la cavité sont adiabatiques, la paroi supérieure est
maintenue à une température froide Tf et la paroi
inférieure est soumise à une température chaude Tc. les
équations qui régissent l'écoulement hydrodynamique et le
transfert de chaleur sont décrites par les équations de
Navier Stockes et de l'énergie. L'étude numérique pour
résoudre le système d'équations est faite par le logiciel
Comsol Multiphysics. Nous obtenons à différentes valeurs
du nombre de Rayleigh, les lignes de courant, les
isothermes et le rapport de flux Qnf/Qf.
Mots clés: convection naturelle; nanofluide ; cavité;
excitation vibratoire ; comsol.
I.
INTRODUCTION
Les nanofluides sont des solutions colloïdales obtenues en
dispersant des nanoparticules dans un fluide de base. Le terme
"nanofluide" fut proposé pour la première fois par Choi [1].
Dès que la conductivité thermique des nanoparticules est plus
grande comparée à celle du liquide de base, on prévoit une
augmentation de la conductivité thermique du nanofluide. A
très faibles concentrations, certaines de ces solutions se sont
révélées très efficaces pour améliorer, sous certaines
conditions, le transfert de chaleur. Mais, les études concernant
les nanofluides ont convergé vers leur conductivité thermique
qui peut être considérablement plus grandes que celle prévue
par les modèles macroscopiques usuels. A ce jour, il est à
noter que le comportement de nanofluides en régime de
convection libre n'est pas totalement maîtrisé.
Khanafer et al.[2], ont étudié numériquement la convection
naturelle dans une cavité différentiellement chauffée. Il ont
utilisé le modèle de Brinkman [3] pour calculer la viscosité, et
le modèle de Wasp pour la conductivité effective du
nanofluide. Tiwari et Das [4] ont étudié le comportement
convectif du nanofluide dans une cavité rectangulaire chauffée
ou les deux parois latérales sont mobiles. Ils ont déduit que le
sens de mouvement de la paroi influe sur le transfert de
chaleur dans la cavité. Roy et al.[5] ont montré que l'addition
de 10% en volume de Al2O3 peut augmenter le taux de
Journal of Scientific Research N° 0 vol. 1 (2010)
transfert de chaleur de 100% comparé à celui du fluide de
base. Les résultats de wang et al [6] font ressortir la présence
des nanoparticules en suspension augmente le transfert de
chaleur pour les différentes valeurs du nombre de Grashof.
Pour une concentration en volume de 10%, cette augmentation
est de l'ordre de 30% pour l'oxyde d'aluminium Al2O3 et qui
peut atteindre 80% pour l'oxyde de cuivre CuO. Putra et al [8]
ont étudié expérimentalement le comportement d'un
nanofluide (CuO+eau) à l'intérieur d'un cylindre horizontal
chauffé et refroidi des deux côtés en convection naturelle. Ils
ont trouvé que le transfert de chaleur d'un nanofluide, dans le
cas ou le nombre de Rayleigh varie entre 106 à 109,est affecté
par la fraction volumique des nanoparticules et le facteur de
forme. Wen et Ding [9] ont assuré par une étude
expérimentale de la convection naturelle d'une solution
aqueuse d'oxyde de titane TiO2 remplie dans une cavité
formée par deux disques de diamètres 240 mm partiellement
chauffée, que pour des nombres de Rayleigh inférieur à 106, le
transfert de chaleur diminue avec la croissance de la fraction
volumique.
Le but recherché par ce travail est d'estimer les possibilités
d'amélioration du transfert de chaleur par l'utilisation de
nanofluides. Nous allons saisir les mécanismes fondamentaux
mis en jeu dans ces modes de transfert de chaleur à partir d'une
approche théorique par simulation des champs dynamiques et
thermiques.
II.
MODELE PHYSIQUE ET FORMULATION
II.1. Modèle physique:
On considère une cavité carrée de côté H, saturé d'un
nanofluide Al2O3+eau en convection naturelle (Figure 1). Ce
milieu est chauffé par le bas et soumis à des vibrations
sinusoïdales. Les parois verticales sont adiabatiques et
imperméables. Les parois horizontales sont maintenues à des
températures constantes et uniformes Tc et Tf en y=0 et y=H
respectivement. Le nanofluide utilisé est supposé isotrope et
homogène, l'écoulement est bidimensionnel et incompressible,
le régime est laminaire, les propriétés physiques du nanofluide
sont supposées constantes. L'approximation de Boussinesq est
prise en considération.
139
b.sin(wt)
La densité du nanofluide est exprimée en utilisant la fraction
volumique.
(9)
T/x=0, u= v =0
T/x=0, u= v =0
T=Tf, u= v =0
On définit le rapport du flux convectif du nanofluide par le
flux convectif du fluide.
(10)
En remplaçant l'équation (7) dans (10), on obtient
T=Tc, u= v =0
Figure 1. Modèle physique.
(11)
II.2. Formulation mathématique:
L'écoulement d'un nanofluide ainsi que la répartition de
température sont régis par les équations de conservation de
masse, de quantité de mouvement et de l'énergie [10].

Avec
En utilisant les variables adimensionnelles suivantes:
Equation de continuité
(1)

En introduisant ces grandeurs dans le système d'équation de
(1) à (4), on aboutit à
Equations de mouvement
(2)
(12)
(13)
(3)

E
quation de l'énergie
(14)
(4)
Avec
(5)
Et
(6)
(15)
On définit les nombres adimensionnels suivants:
La conductivité thermique du nanofluide est exprimée par la
relation de Wasp.
Le
(7)
La viscosité dynamique effective du nanofluide peut être
calculée en utilisant la relation de Brinkman pour un mélange.
tableau
1
englobe
Identify
sponsor/s
here.N°
(sponsors)
Journal
ofapplicable
Scientific
Research
0 vol. 1 (2010)
conditions
aux
limites
adimensionnelles.
TABLEAU I. CONDITIONS AUX LIMITES
Les parois de la cavité
(8)
les
Conditions aux limites
Paroi inférieure
140
Les parois de la cavité
Conditions aux limites
Paroi supérieure
de la cavité. L'intensité de la force de circulation de
l'écoulement diminue avec l'augmentation de la fraction
volumique. L'influence de la fraction volumique parait aussi
sur les valeurs des températures et des fonctions de courant.
Parois verticales
III.
RESULTATS ET DISCUSSIONS
La résolution numérique du système d'équation
adimensionnelle (12) à (15) a été effectué par le logiciel comsol
Multiphysics, en résolvant les équations aux dérivés partielles.
Ce logiciel utilise la méthode des éléments finis basée sur la
méthode de lagrange avec un maillage adopté 41×41. Pour
décrire la structure de l'écoulement, on fixe les paramètres
regroupés dans le tableau 2.
TABLEAU II. PARAMETRES DE AL2O3+EAU
Paramètres
wt = /2
Valeurs de littérature
Prf
7
R
3.9773
R
0.02877
Rk
61.95
Ra
103
Les résultats hydrodynamiques et thermiques obtenus sont
discutés dans une période (0  wt  2) puisque le phénomène
est périodique.
1. Influence de la fraction volumique sur le champ de
température et sur la structure de l’écoulement :
Les figures 2 et 3 représentent la distribution des
isothermes (à gauche) et des lignes de courant (à droite) pour
les valeurs de la fraction volumique =0 et =0.1 à R=50. La
figure 2 pour la première demi période (0  wt ) montre une
légère inclinaison des isothermes donnant ainsi un mode de
transfert pseudo conductif dominant par rapport au régime
convectif. L'écoulement se présente en deux cellules
symétriques qui tournent au sens opposé. Dans la deuxième
demi période (  wt  2), les isothermes changent
complètement d'allure surtout au cœur de la cavité favorisant
ainsi la convection. L'épaisseur de la couche limite est
significative proche des parois horizontales. Dans cette
deuxième demi période, l'écoulement se présente par une seule
cellule convective principale. En augmentant la valeur de la
fraction volumique, la figure 3, montre (0  wt ) que les
isothermes présentent une stratification thermique déterminant
la pure conduction qui est concrétisée par la disparition
complète des cellules convectives. Dans la deuxième demi
période (( wt 2), on constate une augmentation de
l'épaisseur de la couche limite lorsque la fraction volumique
augmente ce qui diminue l'intensité de transfert convectif.
L'écoulement se présente toujours par une cellule principale en
présence d'une zone morte au coin droit de la partie inférieure
Identify
sponsor/s
here.N°
(sponsors)
Journal
ofapplicable
Scientific
Research
0 vol. 1 (2010)
wt = 3/2
Figure 2. Distribution des isothermes et des lignes
de courants pour R=50, w=25, =0
wt = /2
wt = 3/2
Figure 3. Distribution des isothermes et des lignes
141
de courants pour R=50, w=25, =0.1
2. Influence du Rapport Rav/Ra sur le champ de température
et sur la structure de l’écoulement :
Les figures 4 et 5 illustrent la distribution des isothermes
(à gauche) et des lignes de courant (à droite) pour deux valeurs
de la fraction volumique =0 et =0.1 à R=100. Dans la figure
4 pour la demi période (0  wt  ), la conduction devient
dominante, est tend vers une pure conduction. Ce qui confirme
l'annulation de l’intensité de la fonction de courant (disparition
des cellules convectives). Dans la demi période (  wt  2),
les isothermes perdent totalement leurs stratifications au cœur
de la cavité en comparaissant avec la première demi période, ce
qui favorise la convection. On constate qu’en augmentant la
valeur du rapport R, l’intensité du flux convectif augmente
surtout au cœur de la cavité, et la couche limite diminue.
L'écoulement dans cette période est représenté par trois cellules
convectives l'une principale centrale et les deux autres
secondaires l'une au coin gauche de la partie inférieure, l'autre
dans le coin droit de la partie supérieure de la cavité.
Dans la figure 5, on augmente la fraction volumique à 0.1, les
isothermes (0  wt  ) gardent toujours leur stratification
thermique dont la conduction est dominante par rapport à la
convection. Cette remarque est confirmée par la distribution
des lignes de courant. Dans la demi période (  wt  2), on
observe que le mode convectif apparaît et donne une autre
forme au centre de la cavité dans le sens ascendant et
descendant à proximité des parois verticales. L'écoulement se
présente par une structure bicellulaire qui circule au sens
opposé. L'une principale centrale, l'autre positionnée au coin
gauche de la partie inférieure de la cavité. L'augmentation du
rapport Rav/Ra, influe sur les fonctions de courant, la structure
de l'écoulement et les valeurs de température.
wt = /2
Journal of Scientific Research N° 0 vol. 1 (2010)
wt = 3/2
Figure 4. Distribution des isothermes et des lignes
de courants pour R=100, w=25, =0
wt = /2
wt = 3/2
Figure 5. Distribution des isothermes et des lignes
de courants pour R=100, w=25, =0.1
3. Influence de la pulsation sur le champ de température et
sur la structure de l’écoulement :
Les figures 6 et 7 montrent la distribution des isothermes (à
gauche) et des lignes de courant (à droite) pour deux valeurs de
la fraction volumique =0 et =0.1 à w=50. Dans la figure 6
pour la demi période (0  wt ), le mode de transfert
conductif est dominant, c'est le cas d'une pure conduction.
Cette dominance est confirmée par l'annulation de la fonction
de courant (disparition complète des cellules convectives).
Dans la demi période (  wt 2), les isothermes se
déforment au cœur et à proximité des parois verticales de la
cavité ce qui favorise la convection. L'écoulement dans cette
période est représenté par une cellule convective principale
centrale. Dans la figure 7, les isothermes (0  wt ) toujours
gardent leur stratification thermique dont la conduction est
dominante par rapport à la convection. Cette remarque est
confirmée par la distribution des lignes de courant. Dans la
142
demi période (wt 2), on observe que le mode convectif
apparaît et donne une autre forme au centre et à proximité des
parois verticales de la cavité. L'écoulement se présente par une
structure monocellulaire. En augmentant la pulsation, l'intensité
du flux convectif croît et la couche limite décroît.
L'augmentation de la pulsation w, influe sur les valeurs de
la fonction de courant, la structure de l'écoulement et les
valeurs de température.
wt = 3/2
Figure 7. Distribution des isothermes et des lignes
de courants pour R=50, w=50, =0.1
wt = /2
wt = 3/2
Figure 6. Distribution des isothermes et des lignes
de courants pour R=50, w=50, =0
4.Variation du rapport de flux conductif:
La figure 8 illustre la variation du rapport des flux Qnf/Qf
en fonction de fraction volumique, de pulsation et du rapport
Rav/Ra. Dans la figure 8-a, le rapport des flux Qnf/Qf augmente
avec l'augmentation de la fraction volumique. Dans le cas de la
figure 8-b, lorsque =0, le rapport de flux est presque constant,
par contre pour le cas =0.1, le rapport Qnf/Qf diminue avec
l'augmentation de la pulsation. Dans la figure 8-c, le rapport
Qnf/Qf varie en fonction du rapport R. l’évolution du rapport
des flux décroît pour les valeurs de R < 100 et croît jusqu'à la
valeur de R=150 puis il diminue. L’échange de chaleur dans le
nanofluide évolue suivant la valeur du rapport R en
comparaison avec le fluide porteur. Dans le cas du fluide
l’évolution du flux qui caractérise le transfert thermique croît
jusqu'à la valeur de R=100 puis devient constant. On constate
une singularité pour les deux courbes pour la même valeur de
R.
2.8
Phi=0
Phi=0.1
2.7
2.6
2.5
2.4
rapport de flux Qnf/Qf
Rapport de flux Qnf/Qf
2.6
2.2
2.0
1.8
2.4
2.3
2.2
2.1
2.0
1.9
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
1.8
0.10
20
40
60
Fraction molaire (%)
80
100
(a)
140
160
180
200
220
(b)
Phi=0
Phi=0.1
2.8
2.6
le rapport de flux Qnf/Qf
wt = /2
120
la pulsation (rad/s)
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
le rapport Rav/Ra
(c)
Journal of Scientific Research N° 0 vol. 1 (2010)
143
Figure 8. Variation du rapport Qnf/Qf en fonction de: (a)
fraction volumique, (b) la pulsation et (c) le rapport Rav/Ra
CONCLUSION
Le travail présenté consiste à étudier l'effet de vibrations
sur l'écoulement d'un nanofluide Al2O3+eau dans une cavité
fermée. Les résultants obtenus indiquent que:
[9] S. Lee, S.U.S. Choi, S. Li and J.A. Eastman, "Measuring
thermal conductivity of fluids containing oxide nanoparticles".
ASME J.Heat Transfer, Vol.121, 280-289 (1999).
[10]M. Elmir, R. Mahdaoui, B. Draoui et A.Mojtabi,
"Simulation Numérique de la convection naturelle dans une
cavité contenant un nanofluide".2008
1- l'excitation vibratoire donne naissance à la convection
malgré que Ra=103 correspond à la conduction en absence des
vibrations.
2- l'excitation vibratoire influe sur la structure
d'écoulement, les valeurs des fonctions de courant et des
températures.
3- le rapport de flux Qnf/Qf augmente avec l'augmentation
de la fraction volumique et diminue avec la croissance de la
pulsation.
4- au-delà d'une valeur limite de Rayleigh vibratoire 104, le
rapport Qnf/Qf augmente.
References
[1] Choi S.U.S, « Enhancing thermal conductivity of fluids
with nanoparticles". Develop. Appl. Non Newtonien Flows,
99-106 (1995).
[2] K. Khanafer, K. Vafai, M. Lightstone, " Bouyancy-driven
heat transfert enhancement in a two-dimensional enclosure
utilizing nanofluids". International Journal of Heat and Mass
Transfert, Vol.46, 3639-3653 (2003).
[3] H.C. Brinkman, "The viscosity of concentrated
suspensions and solution". J. Chem. Phys., Vol.20, 571-581
(1952).
[4] R.K. Tiwari, M.K. Das, "Heat transfer augmentation in a
two-sided lid-driven differentially heated square cavity
utilizing nanofluids". International Journal of heat and Mass
transfer, Vol. 50, 2002-2018 (2007).
[5] G. Roy, C.T. Nguen, P.R. Lajoie, "Numerical investigation
of laminar flow and heat transfer in a radial flow cooling
system with the use of nanofluids". Superlattices and
Microstructures, Vol. 35, 497-511 (2004).
[6] X.Q. Wang, A.S. Mujumdar, C.Yap, "Free convection heat
transfer in horizontal and vertical rectangular cavities filled
with nanofluids". International Heat Transfer Conference
IHTC.13, Sydney, Australia, August (2006).
[7] N. Putra, W. Roetzel, S.K. Das, "Naturel convection of
nanofluids". Heat and Mass Transfer, Vol. 39, 775-784 (2003).
[8] D.Wen, Y.Ding, "Naturel convective heat transfer of
suspensions of titanium dioxide nanoparticles (Nanofluids)".
IEEE transcation on technology, Vol. 5, N°3, May (2006).
Journal of Scientific Research N° 0 vol. 1 (2010)
Nomenclature
K
Conductivité thermique
H
Largeur de la cavité
Q
Flux
P
Pression
Pr
Nombre de Prandt
R
Rapport Rav/Ra
Ra
Nombre de Rayleigh
Rav Nombre de Rayleigh vibratoire
R
Rapport des densités
R
Rapport des coefficients de dilatation
Rk
Rapport des conductivités thermiques
T
Température
u,v
Composantes de champs de vitesse
x, y Coordonnées dimensionnelles
α
Diffusivité thermique

Viscosité dynamique
(C) Capacité calorifique

Fraction volumique
w
Pulsation des vibrations
Indices
f
Fluide
nf
Nanofluide
s
Solide
eff
Effective
*
Adimensionnel
144