Mémoire de Magister NORA ZAIT(1) Résumé

UNIVERSITÉ DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE
HOUARI BOUMEDIENNE
FACULTÉ DES MATHÉMATIQUES
Mémoire de Magister
Spécialité : gèomètrie et système dynamique
Présenté par :
NORA ZAIT(1)
Sujet
NAISSANCE DE SOUS -VARIÉTÉS INVARIANTES COMPACTES
ATTRACTIVES DIFFEOMORPHES A DES VARIÉTÉS MOMENT-ANGLE
DANS LES FAMILLES GÉNÉRIQUES DE DYNAMIQUES(2)
Résumé
Dans de ce mémoire nous énonçons un lemme très général permettant de garantir la
naissance des variétés invariantes compactes normalement hyperboliques aux points
stationnaires partiellement elliptiques des familles des champs de vecteurs. Dans les
familles génériques nous montrons que toutes les intersections de quadriques de Cn
appelées variétés moment angle dont la topologie est extrêmement variée peuvent apparaitres comme variété invariante normalement hyperbolique attractive.
Mots-clés : variété moment angle, variété invariante normalement hyperbolique et
attractive, bifurcation de hopf.. .
(1)
Directeur de thèse : BRAHIM ABBACI, Maître de conférences à l’U.S.T.H.B.
(2)
Mémoire de Magister.
Introduction
Un grand nombre de phénomènes normale, que ce soit en chimie ou en biologie,impliquent l’accouplement
d’oscillateurs. La raison du se travail est que les questions mathématiques très naïves au sujet de tels accouplements ont semblé être sans réponse.Nous étudions ici l’accouplement non-linéaire local générique des oscillateurs
linéaires ou, en langue géométrique, de ce qui se produit près des points stationnaire partiellement elliptiques
des familles génériques des champs de vecteur ou des di¤èomorphismes selon au moins deux paramètres.Dans
ce mémoire, nous nous intéressons à la bifurcation de Hopf qui se traduit par le passage du système d’un état
d’équilibre …xe à un autre état d’équilibre qui est l’orbite d’une solution périodique de ce systéme.
pour une certaine famille fu a un-paramètre des endomorphisme d’une variété, f0 a un point …xe x0 où la
di¤érentielle Df0 (x0 ) a une paire unique de valeurs propres, simples sur le cercle unité, et des racines qui ne
sont pas p-ièmes de l’unité pour 1 p 4.
On Restreinions le déploiement fe : (u; x) 7 ! (u; fu (x) au variété centrale au point (0; x0 ) et en choisissant
des coordonnées appropriées, on obtient une famille hu de (C; 0) ! (C; 0) ayant un contact de troisième ordre
en 0 avec le temps 1du ‡ot du champs de vecteur
Nu (z) = z(( + i )(u)
2
(a + ib)(u) jzj )
où ; ; a; b sont des fonctions réelles avec (0) = 0 et 0 <
implique = u ( ) avec
u(
2
alors, Nu admit un cercle invariant jzj =
) = ( (u)
(u)
a(u)
< :si on pose
:= jzj l’équation z =Nu (z)
a(u) 2 )
quand le seconde membre est de…nie , positive, ce qui doit
0
se produire soit pour u > 0 ou pour u <0 quand a(0) et la dérivé (0) sont non nuls :ce sont les hypothèses
de théorème Sacker-Naimark , dont la conclusion est que, pour u assez petit, hu admit un cercle invariant Su
2
(u)
proche de jzj = a(u)
:
L’ingrédient essentiel de la preuve est hyperbolicité normale.La formulation des hypothèses généralisées dans
notre lemme de naissance est que le champs de vecteur
(r) = r(
0
(0)
a(0)r2 )
0
0
(0)
Dans R;où est le signe de (0)a(0); admet la 0-sphère r2 = a(0)
comme variété invariante normalement
hyperbolique :Ce champ de vecteur est la limite quand " ! 0 de champ de vecteur r ! r(" 1 ( ") a( ")r2 )
1
obtenu à partir de u ( ) par le changement de variable u = "; = " 2 r et en remplaçant le temps original t
par = t":
on e¤et, on a
1
2
1
r) = " 2 r( ( ") a( ")"r2 )
3
@
= " 2 r(" 1 ( ") a( ")r2 )
@t
@r
= r(" 1 ( ") a( ")r2 )
@
@r
= lim r(" 1 ( ") a( ")r2 )
lim
" !0
" !0 @
( ")
= lim r(
a( ")r2 )
" !0
"
0
(r) = r(
(0) a(0)r2 )
" ("
1
Dans le lemme de naissance générale, l’hypothèse principale est que l’analogue du champ de vecteur (r)
admit une variètè invariante compact normalement hyperbolique mais, sauf si dim = 0 comme dans l’exemple
précédent, deux di¢ cultés surgissent: d’abord, une telle variété invariante est di¢ cile à trouvè explicitement,
et a fortiori c’est le cas l’analogues des cercles invariants de la forme normale Nu ; en plus , cette hypothèse
principale n’est pas su¢ sante en général pour obtenir une variété invariante normallement hyperbolique pour
le champ de vecteur Nu .S’il ya défaut d’hyperbolicité normale, les applications hu peut avoir les ensembles
compacte invariants à la conley,mais pas forcément des sous-variétés invariantes
pour lesquelle une certaine hypothèse plus forte est requise.
Ceci devrait rendre la conséquence suivante du lemme de naissance moins mystérieuse :
Pn
Théorème 0.1 assumons que, pour les constants réels j ; jl ; le champ de vecteur (r) =
j=1 rj ( j
Pn
2 @
n
n
r
)
dans
R
invariant
par
O(1)
admette
une
variété
invariante
normalement
hyperbolique
atl=1 jl
@rj
n
tractive invariante par O(1) : la variété invariante normalement hyperbolique di¤ éomorphe à S := fz 2 Cn :
(jz1 j ; :::; jzn j) 2 g peut apparaitre aux points stationnaire partiellement elliptiques des familles génériques de
la dynamique en dimension (au moins) 2n selon (au moins) n paramètres. De plus, l’ensemble des paramètres
pour lesquels ces variété invariante existent ait un cône tangente ouvert au points de naissance.
.
2
0.0.1
Point stationnaire partiellement elliptique
Dé…nition 0.1 Un point stationnaire x d’un champs de vecteurs est elliptique si les valeurs propres de l’approximation
linéaire son imaginaire pures.
0.1
Ensemble invariant :
De…nition un ensemble A est dit invariant s’il contient son image par le ‡ot pour toute t
'tz (A)
0.1.1
A
8t 2 R
variété invariante
Dé…nition 0.2 une variété invariante est un ensemble invariant qui est une sous variété de la variété M:
0.1.2
Linéarisation d’un champ de vecteur.
Considérons le système dynamique non linéaire dé…nit par :
:
X = F (X); X = (x1 ; :::xn ); F = (f1 ; :::fn )
(0.1)
et soit X0 un point stationnaire(d’équilibre) de ce système.
Supposons qu’une petite perturbation (t) soit appliquée au voisinage du point …xe.
La fonction F peut être développée en série de Taylor au voisinage de point X0 comme suit:
(t) + X = F (X0 + (t)) ' F (X0 ) + JF (X0 )
(t)
(0.2)
avec JF est la matrice Jacobienne de la fonction F dé…nit par
0
@f1
@x1
B
JF (X0 ) = B
@ ::
@fn
@x1
@f1
@x2
:::
::
::
@fn
@x2
::
Comme F (X0 ) = X0 , alors l’équation (1:1:2) redevient :
(t) = JF (X0 ) : (t)
@f1
@xn
1
C
:: C
A
(0.3)
@fn
@xn
(0.4)
L’écriture (1:1:4) veut dire que le système (1:1:1) est linéarisé
0.2
la linéarisation di¤érentielle: les Résonance
De…nition soit ( 1 ; :::; n ) une collection des valeurs propres (rèelle ou complexes ) de Da X chacune étant
répétée un nombre de fois ègal a sa multiplicité, soit k un entier 2: on dit que Da X prèsente une résonance
d’ordre k s’il existe un entier i 2 f1; :::; ng est un multiindice ( 1 ; :::; n ) avec 1 + :::+ n = k et i =
1 1 + ::: + n n :
3
0.2.1
probleme de bifurcation
Le terme " Bifurcation" introduit par poincaré est employè pour désigner un changement qualitatif du comportement du système " tel que le nombre ou le type de solution" au cour de l’èvolution d’un ou plusieurs
paramètres dont dèpend le système.par bifurcation locale on entend une modi…cation du comportement du
système au voisinage d’un point (ou d’une solution périodique) tout autre changement qualitatif sera dèsigner
par le terme de
bifurcation globale. La question gènérale de savoire ce qu’on peut appeller une bifurcation ce qui n’est pas
si simple nous introduisons la technique de base, dite de la" variètè centrale", qui permet d’èliminer une partie
"transversalement hyperbolique" qui ne joue aucuns rôle dans la bifurcation .
Toute cela ne concernait que des bifurcations locale, c’est-à-dire consècutives au manque d’hyperbolicitè
d’un point singulier ou d’une orbite fermè.La bifurcation est utilisèe dans un sens large pour dèsigner tout
modi…cation qualitative topologique par suite d’une variation des paramètres dont dèpend l’objet ètudie.Ces
objet peuvent être des plus divers (champ de vecteur, èquation di¤èrentielles, variètè ou …brè, ...)
Le terme" généralisè" fait rèférence au paramètre de bifurcation . Dans un problème de bifurcation (normale)
le paramètre de bifurcation est un èlément de R, on s’interesse au comportement d’un systèmes donné au
voisinage d’une valeur critique du paramètre (la valeur pour laquelle les hypothèses de bifurcationde hopf sont
satisfaites) mais dans un problème de bifurcation gènèralisèe le paramètre de bifurcation peut être un élément de
Rn ou même d’un espace de dimension in…nie, ça peut bien être (le paramètre) une fonction.On peut imaginer
un système decrit par un champ de vecteur Z (dont on n’est pas tellement sur de l’expression ni de la forme
qu’on le considère comme paramètre de bifurcation ) si par exemple les conditions de hopf sont satifaites pour
une valeur de Z égale a 0:La question qui se pose est quel est le comportement du système dans un voisinage
de 0, on a la un problème de bifurcation de Hopf gènèralisèe.Remarquez ici que le voisinage fait rèfèrence a
l’espace des fonction(qui est de dimesion in…nie)
0.2.2
bifurcation de hopf
Dé…nition 0.3 La bifurcation de Hopf (1942) correspond à la traversèe de l’axe imaginaire par un couple de
valeur propre complexes conjuguèes s =
0.3
+ iw avec (
0)
= 0:
Naissance de produits de sphères invariants.
Hypothèses
Soit (u; x) ! Xu (x) 2 Rm une famille assez di¤érentiable générique des champs de vecteurs à paramètre
u 2 Rk ,
dé…nie au voisinage de 0 2 Rk Rm , telle que X0 (0) = 0 et que les valeurs propres de DX0 (0) soient
imaginaires pures , simples et di¤érentes de 0 , d’où m = 2n , et k n:
Les valeurs propres de partie imaginaire
0 étant notées i 1 ; :::; i n ,on suppose que, pour 1
j
P
Pn
2
n;l’équation j = 1 (pl ql ) l avec
(p; q) 2 (N) et (pl + qm )
4 n’a que les solutions évidentes
pj = qj + 1 et pl = ql pour l 6= j:
on suppose en…n que X0 formellement linéarisable à l’ordre 3, d’où k n + n2 .
Theorem sous ses hypothèses, si k = n + n2 ; alors, quels que soient les entiers strictement positifs d1 ; :::; dc
véri…ant d1 + +dc = n; il existe un ouvert Ud de Rk adhérent à 0 et tel que, pour tout u 2 Ud ;le champ Xu
(resp latransformation hu ) ait une variété invariante attractive Wu di¤éomorphe à S 2d1 1 ::: S 2dc 1 (ou
S 2d1 2 S 2d2 1 ::: S 2dc 1 si n = 1) et donc de codimension c. La sous-variété Wu dépend continûment du
paramètre u 2 Ud et tend vers f0g quand u ! 0
4
0.4
Naissance des sommes connexe de produits de sphères.
Hypothèses.
Soit (u; x) ! Xu (x) 2 Rm une famille assez di¤érentiable générique des champs de vecteurs à paramètre
u 2 Rk ,
dé…nie au voisinage de 0 2 Rk Rm , telle que X0 (0) = 0 et que les valeurs propres de DX0 (0) soient
imaginaires pures , simples et di¤érentes de 0 , d’où m = 2n , et k n:
Les valeurs propres de partie imaginaire
0 étant notées i 1 ; :::; i n ,on suppose que, pour 1
j
Pn
P
2
n;l’équation j = 1 (pl ql ) l avec
(p; q) 2 (N) et (pl + qm )
4 n’a que les solutions évidentes
pj = qj + 1 et pl = ql pour l 6= j:
un changement (u; x) ! (u; gu (x)) de coordonnées locales permet de supposer que Xu (0) 0, que Rm
= Cn , que L := DX0(0) est de la forme Lz = (i 1 z1 ; :::; i n zn ) et que Xu = L + Nu + Ru où Ru s’annule à
l’ordre 4 en 0, Nu est un champ polynomial (au sens réel) de degré3 sur Cn commutant à L, donc invariant par
l’action naturelle de U (1)n , et N0 = 0: Par conséquent, si l’on pose rj := jzjj, la forme normale L + Nu induit
P
P
2
sur l’espace des r = (r1 ; :::; rn ) un champ de vecteurs de la forme j (aj+ k bkj jrk j )rj @r@ j ;où les réels aj ; bkj
sont des fonctions de u nulles en 0; la famille étant générique, un changement de coordonnées dans l’espace des
paramètres permet de supposer que u = (aj ; (bkj )1 k n )1 j n :
Théorème 0.2 sous ses hyôthèses, quels que soient l’entier impair q > 0 et les entiers strictement positifs
n1 ; :::; nq véri…ant n1 + +nq = n; il existe un ouvert n de Rk adhérent à 0 et tel que, pour tout u 2 n ;le
champ Xu ait une variété invariante attractive Vu de codimension 3 di¤ éomorphe à la sous-variété Qn des Cn
formée des (z1 ; :::; z2 ) qui véri…ent
2
2
2
=
1
2
=
0; vl := (zj )n1 +:::+nl
jz1 j + ::: + jzn j
kv1 k + ::: + kvq
2
1k
+ kvq k
1 <j<n1 +:::+nl
(0.5)
où est une racine primitive q-ième de l’unité et k k dénote la norme euclidienne standard. La sous-variété
V u dépend continûment du paramètre u 2 n et tend vers f0g quand u ! 0:
Lemme Avec les notations précédentes, on considère les valeurs u0 suivantes du paramètre u:
(i)Tous les aj sont égaux à un même réel "a avec " > 0:
(ii)Pour 1 l; m q, tous les bkj avec n1 + +nl 1 < j n1 + +nl et n1 + +nm 1 < k n1 + +nm
sont égaux à un même réel cm
l ; si l’on pose xj := kvjk , la forme normale L + Nu0 induit donc sur l’espace
P
P
@
des x = (x1 ; :::; xq ) le champ de vecteurs Zu0 = 2 l ( "a + m cm
l xm )xl @xl :
p
(iii)La forme normale L + Nu0 est tangente à "Qn , et Yu0 est nul sur l’image de celle-ci ; en d’autres
termes, Zu0 est nul sur l’image de cette image, c’est-à-dire qu’il existe pour 1 l q un unique cl 2 C tel que
m
P
P
P
P
"a + m cm
") + cl m m xm + cl
xm:
l xm = a(
m xm
m
(iv)Le champ Zu0 est invariant par permutation circulaire des coordonnées, ce qui se traduit par l’existence
l
de c 2 C tel que cl = c pour 1 l q:
(v) on a a < 0 et Re(c) < 0:
p
"Qn est une variété invariante normalement hyperbolique attractive de L + Nu0 :
Alors
par conséquent, pour " assez petit et a; c convenables, tous les Xu avec u proche de u0 ont une variété
p
invariante attractive Vu proche de
"Qn et dépendant continûment de u:
0.5
lemme de naissance
On considère (u; z) ! Zu (z) 2 Tz M
une famille assez di¤èrentiable de champs de vecteurs à paramètre
u 2 U dé…nie au voisinage d’un point (u0 ; z0 ) 2 U
M .on suppose que z0 est une racine elliptique de Zu0
(i.e Zu0 (z0 ) = 0 ) et que les valeurs propres de DZu0 (z0 ) soient imaginaires pures, simples et di¤èrentes de 0:
5
H1 ) Les valeurs propres de partie imaginaire positive de DZu0 (z0 ) étant notées i
ses valeurs sati…es au condition de non-resonance. pour
1 k n , l’équation
i
k
=
n
X
i
qj ) avec (p; q) 2 Nn
j (pj
1
n
X
Nn et 2
pk = qk + 1 et pj = qj
n
X
(pj
qj )
X
4=2
1
qj )
on suppose que
4
1
n’a que les solutions évidentes
dans ce cas la contrainte 2
( pj
1 ; :::; i n ,
pour k 6= j
( pj + q j ) = 1 + 2
X
qj
4
impose que l’un des
nombres entiers q1 ; :::; qn ègale 1 et les autres s’annules.
En particuliers, puisque DZu0 (z0 ) est inversibles, d’après le thèoréme des fonctions implicite qu’il existe une
fonction ' : (U; u0 ) ! (M; z0 ) tel que, au voisinage de (u0 ; z0 )
Zu (z) = 0 si et seulement si
z = '(u)
(1)
Encore par le théorème implicite de fonction, puisque DZu0 (z0 ) est simples, il existe une fonction j :
(U; u0 ) ! (R; 0) et j : (U; u0 ) ! (R; j ) (1
j
n) tel que, au voisinage de u0 les valeurs propres de
d'(u) Zu sont
(u)i
(u):
La
théorie
des
formes
normales
implique l’existence d’un di¤eomorphisme locale
j
j
c : (U
Cn ; (u0 ; 0))
M ); (u0 ; z0 )) ! (U
de la forme c(u; z) = (u; cu (z)) avec les propriétés suivantes :pour u assez proche de u0 .
cu ('(u)) = 0
(2)
et l’expression du Taylor à l’ordre 4 au point 0 de cu Zu a la forme
Nu (z) = (zj (
j (u) + i
n
X
j (u)
l=1
2
(ajl (u) + ibjl (u)) jzj j ))1
j n
ou z = (z1 ; :::; zn ) 2 Cn et j ; j ; ajl ; bjl sont des fonctions rèelles di¤érentiables (par conséquent
0et j 0):la forme normale Nu (z) est invariante par l’action normale
(3)
j (u0 )
=
((ei 1 ; :::; ei n ); (z1; :::; zn ) 7 ! (ei 1 z1 ; :::; ei n zn )
de U (1)n sur Cn :
Il en resulte que l’application
de Cn sur Rn+ dè…nie par
Vu =
X
(
j (u)
j
X
: (z1 ; :::; zn ) 7 ! (jz1 j ; :::; jzn j) envoie Nu sur
ajl (u)rl2 )rj
l
n
@
@rj
setting = ( 1 ; ::; n ) : (U; u0 ) ! (R ; 0); nous dérivons N u et V u les champs de vecteur sur Cn et Rn
respectivement pour u 2 1 (0) et pour chaque v 2 Tu0 U on associer le champs de vecteur
Yv ( ) = ( j (D(
j
+i
j )(u)v
n
X
l=1
Xv (x) =
X
xj (D
j (u0 )v
j
2
(ajl (u) + ibjl(u) ) j l j ))1
X
l
n
ajl (u0 )x2l )
j n
@
@xj
ils sont invariant respectivement sous l’action de u(1) sur Cn . Xv (x) est invariant sous l’action de O (1)n
engendrée par les symétries par rapport aux hyperplans de coordonnées.
H2 ) On suppose que pour certains v0 2 Tu0 U nf0g; le champs de vecteur Xv0 admette une variété invariante
compacte v0 normalement hyperbolique [4][6], invariante par l’action de O(1)n et dont l’intersection avec
l’orthant positif Rn+ est connexe,d’où la propriété suivante:
6
propriété (P) : Si Rj , J
f1; :::; ng; est le plus petit sous -espace de coordonnées contenant
j
j
v0 est transverse dans R aux sous-espaces de coordonnées contenus dans R :
v0 ;
alors
Par stabilité de l’hyperbolicité normale, il existe un voisinage ouvert Vv0 de v0 dans Tu0 U tel que chaque
Xv avec v 2 Vv0 ait une variété invariante normalement hyperbolique v di¤éomorphe à v0 et proche de
celle-ci,unique, donc O(1)n invariante et possédant la propriètè (P) avec le même J .Il en résulte que S0;v =
1
( v ) CJ est une sous-variété compacte U (1)n invariante, de même di¤érentiabilité et codimension que v :
Theorem(lemme de naissance)[13] sous ces hypothèses, il existe un ouvert Uv0 de U adhérent à u0 dont
le cône tangent(1) en u0 est un côneouvert de sommet 0 contenat R+ Vv0 ;telque chacun des cu Zu avec u 2 Uv0
admette une variété invariante compacte normalement hyperbolique Su di¤éomorphe à S0;v0; ;de même indice
et co-indice que la variété invariante v0 de Xv0 ; dépendant de manière au moins C 1+ de u et tendant vers
:
f0g quand u ! u0 : plus précisément, pour tout chemin lisse : (R+ ; 0) ! (U; u) véri…ant (0) 2 Vv0 ;on a
(") 2 Uv0 pour " 0 assez petit et lim" !0 " 1=2 S (") = S0; : (0) au sens au moins C 1 :
0.5.1
Naissance dans les familles génériques avec plusieurs paramètres.
Nous appellons variété moment angle une sous variété algèbrique rèelle non vide S de Cn de la forme S = Q
où b 2 Rc est une valeur régulière d’une application quadratique
Q(z) =
2
1
jz1 j + ::: +
1
(b)
2
n
jzn j
telle que l’enveloppe convexe des j 2 Rc ne contient pas l’origine.cette condition entraine que S est compacte:
en autre,comme elle est non vide et que b est valeur régulière de Q, les j engendrent Rc . La topologie de telle
variété est extrêmement variée [1] [9].
En posant F (x) = 1 x21 + ::: + n x2n ; x 2 Rn , la variété S est l’image réciproque de
= F 1 (b) par
l’application : z ! (jz1 j ; :::; jzn j); comme b est une valeur régulière de F; le compact = F 1 (b) est une
sous variété.
Pn
Pn
Pn
2
2 @
Lemma sous ces hypothèses le champs de vecteurs X(x) = i=1 (1
j
j=1 xj
j=1 j xj ) @xj sur
Rn admet pour variété invariante normalement hyperbolique et attractive.[4][6]
avec les hypothèses et le théorème ( lemme de naissance) et le lemme précédent on a immédiatement le
théorème suivant.
P
P
2 @
Théorème 0.3 [15]s’il exciste v0 2 Tu0 U non nul tel que le champs j xj (D j (u0 )v0
l ajl (u0 )xl ) @xj
n
sur R soit un champ de vecteurs X comme celui de lemme précédent, il existe un ouvert Uv0 de U dont
l’adhèrence contient u0 et dont le cône tangent en u0 est un cône ouvert de sommet O contenant R+ Vv0 , tel que
chacune des Zu avec u 2 U v0 admette une variété invariante compacte normalement hyperbolique attractive
Su di¤ èomorphe à S = 1 ( ) dépendant de manière au moins C 1+ de u et tendant vers fx0 g quant u ! u0 :
0.6
Conclusion
le travail présenté dans ce mémoire se situe dans le cadre d’une étude des naissances des variétés invariantes
compactes normalement hyperboliques et toutes les intersections de quadriques connues sous le nom de variétés
moment angle apparaitres comme variétés invariantes normalement hyperboliques attractive dans les familles
génériques de dynamiques. .
(1)
:
Ensemble des vitesses (0) de chemins dérivables
pour "
0:
7
: (R; 0) ! (U; u0 ) véri…ant (") 2 Uv0
Références
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8