TD thermodynamique3

PSI Brizeux
EXERCICES Thermodynamique 3
Phénomènes de diffusion
 Th31 Etude de la sensation de chaud.
On étudie un modèle destiné à interpréter l'observation suivante : un observateur posant sa main sur une table
en bois et une table en acier à la même température a l'impression que le bois est plus chaud que l'acier.
Deux cylindres de même section S, de même axe Ox, de conductivité K1 et K2, de longueur L1 et L2 sont mis
bout à bout, le contact s'établissant en x = 0. On maintient les extrémités x = -L1 et x = L2 des deux cylindres aux
températures respectives T1 et T2. On étudie le régime stationnaire.
1°) Etablir l'expression T(x) dans les deux cylindres en fonction de T1, T2, x, L1, L2, et de la
température T0 en x = 0.
2°) En déduire que la température T0 à l'interface est un barycentre de T1 et T2.
3°) A.N. : calculer T0 pour un contact main-bois puis pour un contact main-acier.
On donne : θ1 = 37°C (main) et θ2 = 20°C (acier ou bois) ; L1 = L2 ; conductivités thermiques : main :
K1 = 10 W.m-1K-1 ; bois : K2 = 1 W.m-1K-1 ; acier : K'2 = 100 W.m-1K-1 .
 Th32. Diffusion dans une hotte tronconique
On considère une hotte de forme tronconique dont les caractéristiques R1, R2, h et α sont données ci-dessous.
z
Un grand récipient contenant de l'eau en ébullition produit en z = 0 une
concentration C1 de vapeur d'eau supposée permanente.
R2
Par diffusion verticale dans la hotte, cette vapeur d'eau est évacuée dans un
conduit d'aération. On supposera qu'en z = h, C(h) = C2 ≈ 0.
h
!
z+dz
z
O
1°) Pour une tranche d'épaisseur dz, faire un bilan de quantité d'eau vapeur.
On appellera D le cœfficient de diffusion de l'eau vapeur dans l'air.
2°) Dans l'hypothèse d'un régime d'évacuation stationnaire, donner la loi
C(z) et le flux de diffusion.
3°) Quelle est la vitesse de diffusion v(z) des particules en régime
stationnaire?
 Th33 Maintien de la température d’un mammifère
On modélise un mammifère par une sphère de rayon R = 0,5 m. Pour maintenir sa température de surface à
Ts = 37°C, dans un milieu extérieur de conductivité thermique λ, de température Τ = 0°C loin du mammifère,
celui-ci développe une puissance volumique p constante et uniforme.
Quelle doit être la valeur de p quand le milieu extérieur est : - l’air λ = 24.10-3 W.K-1.m-1
- l’eau λ = 0,6 W.K-1.m-1
0
 Th34 Répartition de température dans un fil électrique.
Un fil cylindrique, de rayon a, est parcouru par un courant électrique uniforme d’intensité I, en régime
permanent. Il est entouré d’une gaine isolante d’épaisseur b, la température extérieure étant constamment égale
à T0. On néglige tout effet de bord et on note respectivement γ la conductivité électrique du fil et λ et k les
conductivités thermiques du fil et de la gaine.
Déterminer la répartition de température dans le fil et la gaine. Où cette température est -elle maximale ?
Rép : T(r) = T(a) -
I2
I2
b
2
2
.ln(1 + )
2 2 .(r – a ) avec T(a) = T0 +
4γλ(πa )
2γk(πa2)
a
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 Th35 Evaporation de l’éther dans un tube
De l’éther est placé dans un tube de section S. Initialement il occupe une hauteur H = 15 cm et est surmonté
d’une colonne d’air de hauteur h0 = 5 cm. L’éther s’évapore lentement et diffuse dans l’air qui le surmonte.
La partie supérieure du tube est en contact avec un courant d’air parfaitement sec.
1 – Détermination des conditions aux limites.
- Quelle est la concentration moléculaire d’éther au sommet du tube.
- Quelle est-elle juste au dessus du niveau d’éther liquide ?
2 – Courant d’éther dans le tube
- A quelle condition pourra-t-on considérer le régime stationnaire de diffusion des molécules d’éther établi
dans le tube ?
- Donner, dans ces conditions, la loi de répartition des molécules d’éther.
- En déduire la densité de courant de molécules d’éther.
3 – Durée d’évaporation.
- Evaluer le temps nécessaire à l’évaporation complète de l’éther.
- La condition précédente est-elle vérifiée ? Discuter.
Données :
- Ether : masse molaire M = 74,1 g. mol-1 , masse volumique ρ = 626 kg.m-3
- Pression de vapeur saturante à la température de l’expérience Ps= 0,583 bar
- Diffusivité de l’éther dans l’air D = 1,5. 10 -5 m2.s-1
Rép : τ =
ρRT
(1/2.H2 + h0H) = 122,6h
DMPs
 Th36 Condition pour ne pas se brûler
Un tasse cylindrique en grès de rayon R et d’épaisseur e contient du café à la température θ1 = 80°C. Le grès a
un cœfficient de diffusion thermique λ et les échanges thermiques à travers la surface de séparation entre le grès et
l’air extérieur à la température θ2 peuvent être modélisés par la loi de Newton : j = h(θ - θ2) où θ désigne la
température à la surface du solide et h le cœfficient de transfert thermique.
En précisant clairement les approximations faites, déterminer l’épaisseur minimum pour qu’on ne se brûle pas
(θ < 50°C).
A.N. : h = 20 USI ; λ = 0,1 USI.
 Th37 Résistances thermiques
On ne considère que des régimes permanents indépendants du temps. L’intérieur d’une pièce est séparé de
l’extérieur par une paroi vitrée de surface S, orthogonale à l’axe Ox, et dont le verre a une conductivité thermique
λ. Ses faces interne et externe sont respectivement aux températures Ti et Te avec Te < Ti.
1) La paroi est une simple vitre d’épaisseur e. Evaluer le flux thermique φ1 à travers cette paroi en fonction de
λ,S,e, Ti et Te. Calculer la résistance thermique Rth de la paroi vitrée.
2) La paroi est un ensemble de deux vitres de même épaisseur e, séparées par une épaisseur e’ d’air, de
conductivité thermique λ’. On ne tient compte que de la conduction. Evaluer le flux thermique φ2 sortant de la
pièce, puis φ2 /φ1 .
3) En plus de la conduction étudiée ci-dessus, on doit tenir compte des échanges thermiques superficiels entre
le verre et l’air. Une surface de verre d’aire S, à la température Ts, échange avec de l’air, à la température Tf, le
flux thermique : φ = h.S.(Ts – Tf) avec h > 0
a) Quelle valeur implicite donnait-on précédemment à h lorsque l’on confondait Ts et Tf ?
b) Montrer que ces échanges superficiels introduisent une résistance thermique Rth. Donner l’expression de
Rth.
c) Dans les question 1) et 2) les températures de l’air, à l’intérieur et à l’extérieur de la pièce, sont T’i et T’e.
Soit he, le coefficient d’échange entre le verre et l’air extérieur et hi celui relatif aux autres contacts verre- air. Les
flux φ1 et φ2 deviennent φ’1 et φ’2. Exprimer φ’1 et φ’2 en fonction de T’i ,T’e, hi, he et des paramètres e, S, λ et λ’.
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 Th38 Diffusion thermique et bilan entropique
Une barre en fer, cylindrique, de section circulaire A uniforme (diamètre D = 1 cm), de longueur L = 1 m a une
extrémité à l'intérieur d'un four, à la température Tf = 500 K maintenue constante. L'autre extrémité est en contact
avec le milieu ambiant qui se comporte comme un thermostat à la température Ta = 300 K.
La surface latérale est calorifugée de telle sorte que l'on peut négliger les déperditions latérales.
On étudie la diffusion thermique le long de la barre. On désigne par λ la conductivité thermique du fer :
λ = 80 W.m-1.K-1. La diffusion thermique est stationnaire.
1°) Calculer la résistance thermique Rth de la barre.
2°) Déterminer T(x) (température au point d'abscisse x) dans la barre. L'axe Ox est orienté de l'extrémité O dans
le four vers l'extrémité en contact avec le milieu ambiant.
3°) Ecrire le bilan entropique pour un élément de barre, de longueur élémentaire dx, pendant la durée
élémentaire dt. Trouver l'expression de l'entropie reçue (algébriquement) par cet élément, en fonction de dt, A, dx,
λ, T(x) et de sa dérivée dT .
dx
En déduire l'expression du taux de création d'entropie σs dans la barre, par unité de temps et par unité de
volume. Calculer ce taux aux extrémités. Application numérique.
 Th39 Ailette de refroidissement
On désire maintenir la température d’une plaque à T0.
Pour cela on se sert d’une tige de cuivre de longueur l, de
rayon a et de conductivité thermique K.
La tige présente, au niveau de sa surface en contact
avec l’air à la température Text des pertes thermiques par
convection dont la puissance surfacique obeït à la loi de
Newton :
T0
Text
x
•
!Q = h(T(x) " Text )
où h est un cœfficient constant.
1 – Déteminer la répartition de température dans la tige.
Déterminer T(l).
2 – En supposant que les pertes thermiques par convection sont données par la même loi pour la plaque et la
tige, déterminer la rendement de l’ailette, rapport des flux thermiques sortant de la plaque avec et sans ailette.
A.N. : K = 389 W.m-1.K-1, h = 155 W.m-2.K-1, a = 1mm, T0 = 340 K, Text = 300 K et l = 10 cm.
 Th310 Diffusion atomique
Lors de la fabrication de certains systèmes électroniques, on utilise la diffusion d’atomes de bore dans un
substrat en silicium. On considère un problème de diffusion unidimensionnel (selon Ox), et on note c(x,t) la
concentration en atomes de bore en x à l’instant t ; D est le cœfficient de diffusion correspondant.
Soit N0 le nombre de moles de ces atomes implantés en x = 0 (face d’entrée du substrat) par unité de surface sur
une épaisseur très faible.
1°) Etablir l’équation différentielle vérifiée par c(x,t). On choisit une solution de la forme :
" x2 %
'' . Déterminer les expressions de B(t) et de A(t) en fonction de N0, D et t. On donne :
c(x, t) = B(t)exp$$ !
# A(t)&
"
$
2
# exp(!y )dy = 2 .
0
2°) On définit, pour t > 0, la profondeur de diffusion h(t) selon : c(h,t) = c(0,t).1/e.
Calculer le cœfficient D des atomes de bore dans le silicium connaissant h(1 heure) = 5 µm.
!
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 Th311 Bouffée de chaleur
Un milieu unidimensionnel, de masse volumique ρ, de chaleur massique c, de conductivité thermique
λ est le siège de fluctuations de température autour d’une température moyenne T0 : dans ce milieu, la
température est de la forme T (x, t) = T0+ θ(x, t).
On admettra (on pourra démontrer) que la fonction où D =
"
, est solution de l’équation de diffusion de
#c
la chaleur.
Le milieu est une barre cylindrique de section S parfaitement calorifugée, de très grande longueur,
initialement à la température T0. On apporte, à t = !
0, une énergie Q au milieu de la barre.
Déterminer les fluctuations θ(x,t) dans la barre. Donner l’allure des fonctions θ(x0,t) et θ(x,t0).
Commenter.
A.N. D = 4,5.10-4 m2.s-1 (métal) ou 5.10-7 m2.s-1 (bois). A quelle date la température passe-t-elle par un
maximum à 10 cm et à 1 m de l’extrémité de la barre ?
+#
On donne :
$ exp(" y 2 )dy =
%
"#
Rép : θ(x, t ) =
!
Q
x2
x02
exp(- 4Dt ). En x0, θ passe par un maximum à t(x0) = 2D
ρcS 4πDt
métal t = 11 s , 1,1.103 s
bois t = 104 s , 106 s
 Th312 Sédimentation
Un récipient contient un liquide homogène, de masse volumique ρ, dans lequel on ajoute des macromolécules
insolubles de masse volumique "0 > " . La solution obtenue est maintenue homogène jusqu’à la date t = 0. A partir
de cet instant, elle est abandonnée à elle-même. Le mouvement est vertical et les macromolécules sont soumises,
entre autres, à une force de type visqueux F = "#v , " étant une constante positive et v la vitesse des molécules.
On pose D le coefficient
! de diffusion des macromolécules dans le liquide
1) Trouver l’équation différentielle du mouvement des macromolécules suivant un axe Oz vertical ascendant,
l’origine O coïncidant avec le fond!du récipient.
!
! 2) Montrer que ces particules atteignent une vitesse limite vl (que l’on pourra exprimer en fonction de m, g,
! , " et "0 ).
3) La vitesse limite étant supposée atteinte très rapidement, donner l’expression du courant volumique
d’entraînement J e des macromolécules à la cote z où leur concentration molaire est C( z ).
! 4) Déterminer, en régime stationnaire, la loi de variation de C avec z.
5) On suppose qu’à t = 0, la solution occupe une hauteur h0 du récipient et que la concentration en
macromolécules
y est uniforme de valeur C0. Déterminer entièrement C( z )!.
!
 Th313 Fusible
!
!
Un fil cylindrique en plomb de rayon a, de longueur L, est utilisé comme fusible. Il est inséré dans une gaine en
silice assurant une isolation latérale thermique et électrique parfaite. Les températures aux extrémités sont
imposées et égales à celle du milieu ambiant T0. Le fil est parcouru par un courant électrique continu d’intensité I.
L’étude se fait en régime stationnaire.
x
0
L
Données :
Conductivité thermique du plomb : λ = 35 W.m-1.K-1
Silice
Conductivité électrique du plomb : γ = 5,0.106 Ω-1.m-1
I
Température de fusion du plomb : Tf = 600 K
Longueur du fil : L = 3,0 cm
T0 = 300 K
Plomb
On désire fabriquer un fusible qui admette une intensité maximale Imax = 10 A.
PSI Brizeux
Après avoir déterminé le profil de température T(x) du fil de plomb, déterminer le rayon an du fil.
I
Pour un fil de rayon an parcouru par un courant I = max
, déterminer l’entropie créée dans le fil par unité de
2
temps.
 Th314 Diffusion d’oxygène
1°) Les organes ont un besoin régulier en oxygène. Le cœfficient de diffusion de l’oxygène dans un milieu
aqueux est Deau ≈ 10-9 m2.s-1. Montrer, par une estimation numérique qualitative, que le transport de l’oxygène vers
un organe ne saurait se faire par le seul phénomène de diffusion à travers la peau. Par quel mécanisme dominant le
sang transporte-t-il l’oxygène ?
2°) Le sang se charge en oxygène par diffusion de l’oxygène contenu dans
les alvéoles du poumon vers le capillaire périphérique de l’alvéole. Les
alvéoles sont supposées sphériques de rayon Ralv ≈ 10-4 m. Le sang circule
dans le capillaire à la vitesse moyenne v ≈ 10-3 m.s-1.
2-1- Calculer le temps de contact δts du sang dans l’alvéole.
2-2- Le rayon du capillaire est Rcap ≈ 10-5 m. Le coefficient de diffusion de
l’oxygène dans l’air est Dair ≈ 1,8.10-5 m2.s-1.
Estimer le temps de diffusion d’une molécule d’oxygène par ce mécanisme. Montrer que l’échange d’air entre
l’alvéole et le sang a maintenant le temps de s’établir.
3°) L’alimentation d’un organe en un nutriment
transporté par le sang s’effectue par échange entre le
sang et l’organe, à travers les parois des capillaires.
organe
Ces capillaires sont des tubes cylindriques de rayon R
capillaire
et de longueur L, joignant une artériole à une veinule.
On note Cc(z) la concentration molaire d’un nutriment
dans le capillaire et Corg(z) celle du nutriment dans
artériole
veinule
l’organe à proximité de la surface du capillaire. Le
organe
capillaire cède à l’organe le nutriment avec une densité
surfacique de courant molaire : j = " Cc ( z ) # Corg ( z ) où
(
)
= sens de circulation du sang
γ est un paramètre constant. Déterminer la dimension
de γ .
On considère le régime
! stationnaire ; effectuer le bilan de matière en nutriment, dans une tranche d’épaisseur dz
et en déduire l’équation vérifiée par Cc(z) (on supposera que le sang a une vitesse d’écoulement constante vs).
organe
2R
j
v
v
z
organe
j
z+dz
4°) On admet ici que Corg(z) = K, une constante ; déterminer alors Cc(z) en fonction de K, Cc(0) et de la
longueur caractéristique L0 =
()
()
Cc L " K
Rvs
. On considère que l’organe est correctement alimenté si
2"
Cc 0 " K
≥ 30%.
Proposer des valeurs numériques pour vs, R et L et en déduire la valeur maximale du coefficient pour que la
condition précédente soit vérifiée.
!
!
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 Th315 Isolation thermique et pompe à chaleur
Une habitation, après une longue période de fermeture, est à la même température que le milieu extérieur
T0 = 280 K. Ses habitants mettent en route le chauffage, constitué d'une pompe à chaleur décrivant des cycles
supposés réversibles. La puissance d'alimentation est P = 0,5 kW, constante. L'ensemble des parois séparant
l'habitation de l'extérieur est assimilable, pour les transferts thermiques, à un milieu de conductivité thermique
λ =1,5 W.m-1.K-1, d'épaisseur e = 20cm et de section droite S =100 m2. Aux interfaces avec l'air intérieur et
extérieur, la loi de Newton constitue un bon modèle avec un coefficient d'échange h = 40 W.m-2.K-1. La
conduction thermique est supposée longitudinale et s'effectuer en régime quasi-stationnaire. La capacité thermique
de l'habitation est C = 800 kJ.K-1 et la température de l'air extérieur demeure constante, égale à T0.
1°) Décrire les phénomènes physiques observés, en particulier l'obtention d'une température limite T1 dans
l'habitation, après un temps de chauffage suffisamment long.
2°) Calculer T1.
3°) Au bout de quelle durée τ de chauffage s'approche t-on à moins d'1°C de T1 ? A quel rythme la
température évolue t-elle alors ?
4°) Définir un coefficient de performance (efficacité) pour l'ensemble de l'installation (pompe à chaleur et
habitation) et calculer son coût de fonctionnement sur la durée τ, sachant que le kWh est tarifé à 0,10 € par le
fournisseur d'énergie électrique alimentant la pompe à chaleur.
On donne :
"
$
'
1
a
2x + a )
= ln x 2 + ax + b +
Argth&
& 2
)
x 2 + ax + b 2
% a # 4b (
a 2 # 4b
xdx
(
)
! Th316 Survie dans un igloo
Evaluer l’épaisseur e de glace nécessaire pour que dans un igloo cubique de côté a = 1m, un esquimau puisse
tenir, par la puissance thermique P = 50W qu’il dégage, une température Ti = +10°C alors que la température
extérieure est de –10°C. On donne la conductivité de la glace : λ = 0,05 Ω.Κ .m-1.
−1
 Th317 Quand l’igloo fond …
Trois explorateurs décident de construire un igloo de glace de forme hémisphérique. Ils s’accordent sur un
rayon intérieur R1 = 1,0 m et une épaisseur de glace de 30 cm. L’air extérieur est à une température Te = !5°C
supposée constante.
Le vent se met à souffler, et la construction achevée, les trois hommes se précipitent à l’intérieur et obstruent
l’entrée par un dernier morceau de glace. Un régime stationnaire de transferts thermiques finit par s’établir entre
l’intérieur et l’extérieur de l’igloo. Ajoutons que des transferts thermiques de nature conducto-convective ont lieu
d’une part entre l’air intérieur et la paroi intérieure (coefficient de transfert thermique de surface
-2
-1
-2
-1
hi = 5,0 W.m .K ), d’autre part entre l’air extérieur et la paroi extérieure (coefficient he = 100 W.m .K quand
-2
-1
le vent souffle et he = 10 W.m .K quand il ne souffle plus).
Phase 1 : le vent souffle.
Exprimer puis calculer la résistance thermique de conduction de l’igloo.
Sachant qu’un homme libère une puissance de 80 W, calculer la température intérieure qui règne à l’intérieur de
l’igloo ainsi que la température de sa paroi intérieure.
Phase 2 : le vent arrête de souffler mais les trois hommes restent enfermés.
En se plaçant encore en régime stationnaire, montrer que l’igloo fond. De quel côté ? Sur quelle épaisseur ?
Données :
Conductivité thermique de la glace : λ = 2,0 W.m-1.K-1
Capacité thermique massique de la glace : c = 2,1.103 J.kg-1.K-1
Masse volumique de la glace : µ = 9,2.102 kg.m-3
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 Th318 Gel d’un lac
air T = Ta 0
On considère un lac où l’eau liquide est en permanence à la
•
e
température de congélation Tc = 273 K.
eau T =
L’air au dessus du lac est à la température constante Ta = 263 K.
Tc
Libre de glace à l’instant initial t = 0, le lac se couvre
x
progressivement d’une couche de glace dont l’épaisseur à l’instant t est notée e(t).
La glace a une masse volumique ρ = 9.102 kg.m-3 , une conductivité thermique λ = 20,9.10-4 kW.m-1 K-1.
Sa capacité thermique sera négligée, et sa chaleur latente de fusion a pour valeur Lf = 334,4 kJ.kg-1.
D’autre part, les échanges thermiques entre la surface libre de la glace et l’air s’effectuent par convection.
L’énergie thermique transférée pendant une durée dt et pour une surface S de glace est donnée par :
δ Q = h [T0(t) - Ta ] S dt avec T0(t) la température de la glace en x = 0, et h = 4,18 10-2 kW.m-2 K-1.
1) Déterminer la distribution de température T(x,t) dans la glace en fonction de T0 , Tc , e(t) et x.
2) Etablir la loi T0(t).
3) Effectuer le bilan énergétique relatif à la formation de la glace et en déduire la loi e(t).
"
"#Lf
On posera e0 =
et τ =
. Donner les valeurs numériques de e0 et τ
h
2h 2 (Tc $ Ta )
4) Comment évolue la température à la surface du lac ? Tracer cette fonction.
!
!
 Th319 Diffusion dans un tube poreux
On considère une diffusion gazeuse dans un tube cylindrique d’axe x’x, de rayon a et de longueur L, (avec L>>
a).
La concentration n(x,t) de molécules diffusantes est maintenue constantes aux extrémités:
n(0,t) = n0 et n(L,t) = n1.
A part à ses extrémités, n est supposé nul à l'extérieur du tube. On note D le coefficient de diffusion
longitudinal suivant l’axe du cylindre.
De plus, le tube est légèrement poreux; il se produit un phénomène de diffusion secondaire à travers la paroi
latérale du tube d'épaisseur e << a, et caractérisé par un coefficient de diffusion D' << D.
On tiendra compte de ces dernières hypothèses pour modéliser simplement la diffusion latérale.
1°) Etablir une équation de diffusion pour n(x, t)
2 D! 1/2
2°) Résoudre cette équation dans le cas d’un état stationnaire. On pourra poser α = (
)
aeD
3°) Quelle est la signification physique du cas αL >> 1 ? Que devient n(x) pour αL >> 1 ?
"n
"2 n 2D$
=D 2 #
n
Rép : 1°)
"t
ae
"x
 Th320 Echangeur thermique
!
De l’air sortant d’un compresseur à la pression P1 = 5 bar et à la température θ1 = 246°C est refroidi de
façon isobare jusqu’à la température θ0 = 27°C dans un échangeur parfaitement calorifugé. Le fluide réfrigérant
est de l’eau qui entre à la température θe = 12°C et ressort à la température θs.
eau θe
air θ0
eau θs
air θ1
échangeur
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-1
Un régime permanent est établi avec les débits massiques dm = 6,8 g.s de l’air et Dm = 100 g.s-1 de l’eau.
L’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol-1 et de coefficient ! =
cp
cv
= 1, 4
L’eau a pour capacité thermique massique c = 4,2 kJ.kg-1.K-1
On admettra que - les énergies cinétiques macroscopiques liés aux écoulements ainsi que les énergies
potentielles de pesanteur sont négligées.
- les écoulements sont supposés isobares.
1) Effectuer un bilan énergétique en introduisant les enthalpies massiques des fluides, et en justifiant
qualitativement les hypothèses admises ; en déduire la température θs de sortie de l’eau.
2) Exprimer les variations d’entropie massique de l’air et de l’eau ayant traversé l’échangeur. En déduire
l’entropie créée par unité de temps dans l’échangeur.

Th321 Echangeur thermique
Un échangeur thermique est constitué de 2 canalisations d’axe 0x de longueur L et de même section
rectangulaire de côtés b selon 0y et a selon 0z, séparés par une paroi métallique d’épaisseur e << L.
Dans la conduite (1), un liquide entre en x = 0 à la température T01 et s’écoule à vitesse constante v ex .
Dans la conduite (2), le même liquide entre en x = L à la température TL2 et s’écoule à vitesse constante - v ex
On note T1(x) et T2(x) les températures, supposées uniformes dans une section, dans les deux conduites.
On suppose connues la capacité thermique massique c, la masse volumique µ et la conductivité
thermique λ
!
du liquide ainsi que la conductivité thermique λm du métal.
!
a) Dans la paroi métallique, comparer en ordre de grandeur, les flux thermique selon 0x et selon 0z.
Exprimer le flux thermique δφ traversant un élément de surface bδx de la paroi, de (1) vers (2).
b) Déterminer l’équation différentielle dont est solution T1(x). Même question pour T2(x). On pourra faire un
bilan d’énergie pour le liquide contenu à l’instant t entre les abscisses x et x+δx.
c) Montrer que si v est suffisamment grande, ces équations peuvent se mettre sous la forme approchée :
dT1
dTé
δ
= T2 – T1 = - δ
. Quelle est la dimension de δ ?
dx
dx
d) Compte tenu des conditions à l’entrée des deux conduites, les solutions de ces deux équations sont de la
forme :
T1(x) =
(L+δ)T01 + x(TL2-T01)
L+δ
; T2(x) =
(L+δ)T01 + (x+δ)(TL2-T01)
.
L+δ
Discuter l’optimisation du rapport L/δ, puis du choix de λm.