Chapitre 1 ‐ Trigonométrie

1
Chapitre
1
‐
Trigonométrie
Généralités et rappels
Notations
Pour un triangle quelconque, on utilisera souvent les notations suivantes.
Triangle ABC
a = longueur du côté [BC].
b = longueur du côté [CA].
c = longueur du côté [AB].
α = amplitude de l'angle en A.
β = amplitude de l'angle en B.
γ = amplitude de l'angle en C.
Pour chaque sommet, on utilise une majuscule, ici A, B ou C.
Pour un côté, on utilise la minuscule correspondant à la majuscule qui désigne le sommet
opposé, ici a en face de A, b en face de B et c en face de C.
Pour un angle, on utilise la lettre grecque minuscule correspondant à la majuscule qui désigne
le sommet en lequel se trouve l'angle, ici α en A, β en B, γ en C.
Et si, au lieu d'utiliser A, B et C, on utilisait L, M et N, qu'est-ce que cela donnerait ?
Triangle LMN.
= longueur du côté [
= longueur du côté [
= longueur du côté [
].
].
].
= amplitude de l'angle en
= amplitude de l'angle en
= amplitude de l'angle en
Les notations ne seront pas toujours nécessairement conformes à ce qui est indiqué ici. Ce qui est
important c'est que, dans toute situation, les notations soient clairement introduites.
Pour un triangle rectangle, on pourra avoir
ou
2
et on peut en imaginer autant que l'on veut :
Exercices
1)
2)
3)
On a planté dans le sol un mât de 6 m. Entre le sommet de ce mât et le sol, on a tendu
un câble de 10 m. On mesure une distance de 8,54 m entre la base du mât et le point
de fixation du câble sur le sol.
a)
Le mât est-il planté bien droit ?
b)
Qu'observerait-on s'il l'était ?
On souhaite déterminer la hauteur d'un arbre mais on ne peut pas en atteindre le sommet,
ni par soi-même, ni avec un instrument.
a)
Comment peut-on faire ?
b)
Donner un ensemble cohérant de grandeurs qui illustrent cette méthode.
Il est question, dans un catalogue, d'un écran de télévision de 42'' au format 16:9.
Déterminer analytiquement, en cm et au mm près, la largeur
et la hauteur de cet écran. Faire un dessin bien proportionné.
Quelques précisions utiles.
Quand on parle de format 16:9, cela signifie que
la hauteur vaut 9/16 de la largeur.
Quand on parle d'un écran de 42'', cela signifie que
la diagonale de l'écran mesure 42 pouces.
1'' = 1 pouce = 2,54 cm exactement.
3
Triangles rectangles
Soit un triangle ABC rectangle en A.
Théorème de Pythagore
a 2 = b2 + c 2
€
"Le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la
somme des carrés des longueurs des deux autres côtés".
Sinus
sin γ =
€
c
a
"Le sinus d'un angle non droit d'un triangle rectangle est le rapport de
la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse".
Cosinus
cos γ =
€
b
a
"Le cosinus d'un angle non droit d'un triangle rectangle est le rapport de
la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse".
Tangente
tan γ =
€
c
b
"La tangente d'un angle non droit d'un triangle rectangle est le rapport de
la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent "
Question
Que deviennent ces quatre formules dans
le cas d'un triangle ABC rectangle en B ?
4
Corrigé des exercices
1)
Notations : A = base du mât, B = sommet du mât, C = point de fixation du câble sur le sol.
On utilisera aussi les notations habituelles pour un triangle ABC : a, b, c pour les longueurs
des côtés et α, β et γ pour les amplitudes des angles.
Données
a = longueur du câble = 10 m
b = distance entre la base du mât et le point de fixation du câble sur le sol = 8,54 m
c = longueur du mât = 6 m
Inconnue
Le mât est-il planté bien droit ? Cela revient à se poser la question suivante : l'angle,
d’amplitude α, entre le sol et le mât, est-il un angle droit ?
Résolution
a)
Si le mât est planté bien droit, le triangle ABC est rectangle en A. Le théorème de
Pythagore doit dans ce cas s'appliquer et on doit avoir
a2 = b2 + c2.
2
Or, nous avons
a 2 = (10 m) = 100 m2
et
b 2 + c 2 = (8,54 m) + (6 m) ≈ 108,93 m2
donc
2
€
2
a2 ≠ b2 + c2
donc le mât €
n'est pas planté bien droit.
Si le mât était planté bien droit, on aurait a2 = b2 + c2
b)
donc
2
2
b 2 = a 2 − c 2 = (10 m) − (6 m) = 100 m2 − 36 m2 = 64 m2
b = 64 m2 = 8 m
€
€
Si le mât était planté bien droit, on mesurerait 8 m entre la base du mât et le point
de fixation du câble sur le sol.
Ce que l'on a :
mât
Ce que l'on aurait dû avoir :
câble
sol
mât
câble
sol
Nous n'avons pas encore les outils pour déterminer la valeur d'α. Avant Pâques, nous les
aurons et nous pourrons calculer que α ≈ 85°.
5
2)
a)
Choisissons un point A du sol, appelons B la base de l'arbre et C son sommet.
ABC est un triangle rectangle en B. Utilisons les notations habituelles a, b, c
pour les longueurs des côtés et α, β et γ pour les amplitudes des angles.
Effectuons deux mesures :
c = distance du point A à la base B de l'arbre.
α = amplitude l'angle par rapport au sol sous lequel,
placé en A, on voit le sommet C de l'arbre.
L'inconnue est : a = hauteur de l'arbre.
Résolution : tanα =
b)
a
donc a = ctanα .
c
Si l'on mesure c = 10 m et α = 50°,
€
€
a = ctanα
= 10 m • tan50° ≈ 11,92 m
€
donc l'arbre
est haut€de 11,92 m.
€
 d=

  =
Notations :  h =
f=

 α =
3)
longueur de la diagonale de l'écran
largeur de l'écran = longueur du grand côté, horizontal, de l'écran
hauteur de l'écran = longueur du petit côté, vertical, de l'écran
format de l'écran =  /h
angle entre l'horizontale et la diagonale
 d = 42''

Données : 
16
 f =
9
€
d
h
α

Inconnues : 
h
€

€
1re méthode : nombres trigonométriques.
€

cosα = ;
d
h
sinα = ;
d
h
tanα = .

De la formule de tan α et de la donnée du format (16:9), on tire
€
€
€9
h
α = arctan = arctan ≈ 29,36°

16
Des formules de cos α et de sin α, on tire
€

9
 = dcosα = 42''cosarctan  ≈ 42 . 2,54 cm . cos29,36° ≈ 93,0 cm

16 

9
h = dsinα = 42''sin arctan  ≈ 42 . 2,54 cm . sin29,36° ≈ 52,3 cm

16 
€
6
2e méthode : théorème de Pythagore et triangles semblables.
Considérons un triangle rectangle dont les petits côtés ont
comme longueurs a = 9 et b = 16. Son hypoténuse vaudra
c = 337 , car
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 16 2 = 81+ 256 = 337
€
€
c=
337
a=9
€
b = 16
N.B. : dans ce triangle, les longueurs s'expriment sans unité car ce triangle est considéré comme un objet purement
mathématique, une figure dans un plan où chaque point est repéré par un couple de nombres, sans unité. En revanche,
l'écran est un objet du monde physique et ses longueurs s'expriment indispensablement avec des unités.
Ce triangle de côtés a, b et c est semblable au triangle formé par la hauteur, la largeur et la
diagonale de l'écran de télévision. Donc
h  d
= = ;
a b c

a
9
9
9
d=
42''=
42 . 2,54 cm ≈ 52,3 cm;
 h = c d =
337
337
337

  = b d = 16 d = 16 42''= 16 42 . 2,54 cm ≈ 93,0 cm.

c
337
337
337
€
e
€ 3 méthode : théorème de Pythagore et système d'équations.


 f=h
Système de deux équations 
à deux inconnues,  et h. 
 d2 =  2 + h2

€ on tire
De l'éq. (1),
(1)
(2)
 = hf
(3)
En remplaçant  par€cette expression dans l'éq. (2); on obtient
€
d 2 = (hf) 2 + h 2 = h 2f 2 + h 2 = h 2 f 2 + 1
(
€
)
d2
h = 2
f +1
2
€
h=
€
=
d2
d
d
d
d
d
9d
=
=
=
=
=
=
2
f +1
f2 +1
16 2
16 2 + 9 2
16 2 + 9 2
16 2 + 9 2
16  2
+
1
+
1
 
9
92
92
9
9d
9 . 42'' 9 . 42 . 2,54 cm
=
=
≈ 52,3 cm.
337
337
337
En utilisant de nouveau l'éq. (3), on obtient
€
€
 = fh =
16 9 d
16 d 16 . 42'' 16 . 42 . 2,54 cm
=
=
=
≈ 93,0 cm .
9 337
337
337
337
7
Les fonctions arcsin, arccos et arctan
Soit ABC un triangle rectangle en C.
Comment déterminer l'amplitude α d'un angle non droit
si l'on connaît la longueur de deux côtés du triangle ?
1er cas : on connaît a et b
On sait que
tanα =
a
b
Pour obtenir α, on calcule l'expression suivante
€
a
b
α = arctan
Cela se lit "alpha égale arc tangente de a sur b".
-1
Sur les
€ calculatrices, cette fonction est souvent représentée par une touche atan ou tan .
Sur le papier, la seule notation admise restera "arctan".
2e cas : on connaît a et c
€
€
On sait que
sinα =
a
c
Pour obtenir α, on calcule l'expression suivante
€
α = arcsin
a
c
Cela se lit "alpha égale arc sinus de a sur c"
-1
Sur les
€ calculatrices, cette fonction est souvent représentée par une touche asin ou sin .
Sur le papier, la seule notation admise restera "arcsin".
3e cas : on connaît b et c
€
€
On sait que
cosα =
b
c
Pour obtenir α, on calcule l'expression suivante
€
α = arccos
b
c
Cela se lit "alpha égale arc cosinus de b sur c"
-1
Sur les
€ calculatrices, cette fonction est souvent représentée par une touche acos ou cos .
Sur le papier, la seule notation admise restera "arccos".
€
€
8
Exercices
4)
5)
6)
7)
8)
a)
Résoudre le triangle dans lequel α = 90°, β = 40°, a = 5.
b)
Construire ce triangle en utilisant uniquement les données.
a)
Résoudre le triangle dans lequel α = 90°, γ = 30°, c = 6.
b)
Construire ce triangle en utilisant uniquement les données.
a)
Résoudre le triangle dans lequel α = 90°, b = 4, c = 2.
b)
Construire ce triangle en utilisant uniquement les données.
a)
Résoudre le triangle dans lequel α = 90°, a = 5, b =3.
b)
Construire ce triangle en utilisant uniquement les données.
L'ombre d'un arbre (vertical) se dessine sur le sol (horizontal). En utilisant
les données du schéma, déterminer analytiquement la hauteur de cet arbre.
image à coller
9)
L'ombre d'un pylône a une longueur de 35 m. Le rayon solaire passant par
le sommet du pylône forme avec le sol (supposé horizontal) un angle de 40°.
Quelle est la hauteur du pylône ?
10)
L'ombre d'un arbre s'allonge de 20 m lorsque l'angle que fait un rayon de
soleil, passant par le sommet de l'arbre, avec le sol, passe de 31° à 12°.
Quelle est la hauteur de l'arbre ?
11)
Deux arbres A et B sont vus d'un bateau P
comme sur le dessin ci-contre. On sait que
2 km séparent les arbres. On dit que la droite
PA est perpendiculaire à la droite AB et que
l'amplitude de l'angle de PA à PB est de 35°.
Calculer la distance, au mètre près, entre le
bateau et chacun des arbres.
12)
image à coller
Un touriste est en haut de l'Empire State Building, à 381 m au-dessus du niveau du sol.
Il remarque, en bas, un taxi jaune. L'axe joignant le touriste au taxi fait un angle de 20°
par rapport à la verticale. A quelle distance le taxi est-il du pied de l'Empire State
Building ?
Merci à Mme Matagne pour les énoncés de 4) à 11) et pour les deux schémas.
9
Corrigé des exercices
Schéma de principe pour les questions de 4) à 9) :
4)
Données
α = 90°, β = 40°, a = 5.
Inconnues
γ, b, c.
Résolution
γ = 90° − β = 90° − 40° = 50°.
cos γ =
b
a
donc
b = a • cos γ = 5 • cos50° = 3,21.
sin γ =
c
a
donc
€
c = a • sin γ = 5 • sin50° = 3,83.
€
€ 5)
€
Données
α = 90°, γ = 30°, c = 6.
Inconnues
β, a, b.
Résolution
β = 90° − γ = 90° − 30° = 60°.
sin γ =
c
a
a 2 = b2 + c 2
€
€
c
6
=
= 12 .
sin γ sin 30°
donc
a=
donc
b2 = a 2 − c 2
donc
€
b = a 2 − c 2 = 12 2 − 6 2 = 6 2 2 2 −1
€
= 6 2 2 −1 = 6 4 −1 = 6 3 ≈ 10,39.
(
)
Autre méthode pour trouver b :
€
tan γ =
€
c
b
donc
€
b=
c
6
=
≈ 10,39.
tan γ tan 30°
10
6)
Données
α = 90°, b = 4, c = 2.
Inconnues
a, β, γ.
Résolution
a 2 = b2 + c 2
(
)
a = b 2 + c 2 = 4 2 + 2 2 = 2 2 2 2 + 1 = 2 2 2 + 1 = 2 5 ≈ 4,47 .
donc
c 2 1
1
donc
= =
γ = arctan ≈ 26,57° .
b 4 2
2
€
β = 90° − γ ≈ 90° − 26,57° ≈ 63,43°.
tan γ =
€
€
€
7)
Données
α = 90°, a = 5, b =3
Inconnues
c, β, γ.
Résolution
sinβ =
b 3
=
a 5
donc
3
β = arcsin ≈ 36,87°.
5
cos γ =
b 3
=
a 5
donc
€
3
γ = arccos ≈ 53,13° .
5
€
a 2 = b2 + c 2
€
€ 8)
donc
c 2 = a 2 − b 2 = 5 2 − 32 = 25 − 9 = 16
donc
€
€ de l'arbre, B son sommet et C l'extrémité de €
Appelons A la base
l'ombre.
Données
α = 90°, γ = 32°, b = 30 m.
Inconnue
c = hauteur de l'arbre.
Résolution
tan γ =
c
b
donc
c = b • tan γ = 30 m • tan 32° ≈ 18,75 m . L'arbre est haut de 18,75 m.
€
c = 16 = 4 .
11
9)
Appelons A la base du pylône, B son sommet et C l'extrémité de l'ombre et
utilisons les notations habituelles pour les côtés et les angles d'un triangle ABC.
Données
α = 90°, γ = 40°, b = 35 m.
Inconnue
c = hauteur du pylône.
Résolution
tan γ =
c
b
c = b • tan γ = 35 m • tan 40° ≈ 29,37 m .
Le pylône est haut de 29,37 m.
€
€
10)
Notations
Inconnue
A = base de l'arbre; B = sommet de l'arbre; c = hauteur de l'arbre;
t1 = premier instant considéré;
t2 = second instant considéré;
C1 = extrémité de l'ombre en t1;
C2 = extrémité de l'ombre en t2;
b1 = longueur de l'ombre en t1;
b2 = longueur de l'ombre en t2;
γ1 = amplitude de l'angle entre le sol et les rayons solaires en t1;
γ2 = amplitude de l'angle entre le sol et les rayons solaires en t2;
α = amplitude de l'angle (droit) entre le sol et l'arbre.
c.
Données
α = 90°;
γ1 = 31°;
γ2 = 12°;
b2 − b1 = 20 m.
Résolution
Considérons les triangles BAC1 et BAC2, rectangles en A :
b1 =
c=
€
c
tan γ1
et
b2 =
c
;
tan γ 2
b 2 − b1 =
b 2 − b1
20 m
=
= 6,58 m.
1
1
1
1
−€
−€
tan γ 2 tan γ1 tan12° tan 31°
c
c
−
;
tan γ 2 tan γ1
€
tan γ1 =
c
b1
et
c
;
b2
 1
1 
b 2 − b1 = c
−
;
 tan γ 2 tan γ1 
€
L'arbre est haut de 6,58 m.
€
tan γ 2 =
11)
Notations
12
A et B sont les arbres, P est le bateau.
Dans le triangle ABP,
a = longueur du côté [BP]
b = longueur du côté [PA]
p = longueur du côté [AB]
α = amplitude de l'angle en A
β = amplitude de l'angle en B
ϕ = amplitude de l'angle en P
Données
α = 90°; ϕ = 35°; p = 2 km.
Inconnues
b = distance du bateau à l'arbre A;
a = distance du bateau à l'arbre B.
Résolution
p
tanϕ = ;
b
b=
p
2 km
=
= 2,856 km.
tanϕ tan35°
p
sinϕ = ;
a
€
a=
p
2 km
=
= 3,487 km.
sinϕ sin35°
€
Le bateau est à 2,856 km de l'arbre A et à 3,487 km de l'arbre B.
€
€
12)
Notations
A = pied de l'Empire State Building;
B = sommet de l'Empire State Building;
C = taxi
+ notations habituelles pour un triangle ABC.
Données
c = 381 m;
Inconnue
b = distance du taxi au pied du building.
Résolution
tanβ =
α = 90°;
β = 20°.
b
c
b = c • tanβ = 381 m • tan20° = 138,67 m.
€
Le taxi est à 138,67 m du pied de l'Empire State Building.
€
13
Angles, amplitudes, arcs et secteurs
Qu'est-ce qu'un angle ?
Un angle est la partie du plan délimitée par deux demi-droites
de même origine, appelées les côtés de l'angle, leur
origine étant appelée sommet de l'angle.
Angle saillant et angle rentrant
La définition ci-dessus est ambigüe car deux demi-droites de même origine délimitent deux
parties distinctes du plan et donc deux angles distincts :
l'angle saillant...
et l'angle rentrant.
Amplitude d'un angle
1
€
 3 2
€
€
Interceptons un angle de sommet O par 3 cercles centrés en O et de rayons r1, r2 et r3. Nous définissons ainsi l'arc A1B1 de longueur  1, l'arc A2B2 de longueur  2 et l'arc A3B3 de longueur  3 .
Nous définissons aussi les secteurs circulaires OA1B1, OA2B2 et OA3B3. Ces 3 secteurs sont des
figures semblables et il en résulte que
 1  2 €3
€
€
=
=
r1 r2 r3
Autrement dit, la quantité

est une constante pour un angle donné. Elle caractérise cet angle.
r
€
14
Si nous interceptons un même cercle de rayon r par 2 angles différents, nous obtenons 2 arcs
de longueurs différentes,  1 et  2 . Plus l'angle est ouvert, plus la longueur d'arc  est grande.
€
€
€
2
1
€
€
Autrement dit, plus l'angle est ouvert, plus la quantité
En résumé, la quantité

est grande.
r
  est caractéristique de l'angle;

r  est d'autant plus grande que l'angle est plus ouvert.
€
Ces deux propriétés nous amènent à adopter
cette définition
€ de
€ l'amplitude α d'un angle :
α=

r
Le radian, unité naturelle d'amplitude d'angle
€
Cette définition d'α implique une unité naturelle pour l'amplitude d'un angle :
unité d'amplitude d'angle =
unité de longueur
= 1.
unité de longueur
Cette unité est le nombre 1. On a pourtant décidé de lui donner un nom et une abréviation :
€
unité d'amplitude d'angle = 1 radian = 1 rad.
Mais comme ce n'est quand même que le nombre 1, cette notation est facultative :
€
1 rad = 1.
L'angle d'un radian
€


Comme α = , quand α = 1 alors = 1 ou  = r .
r
r
On peut donc dire que
€
€
€
€ est un angle qui
un angle d'un radian
intercepte dans un cercle centré en son
sommet un arc dont la longueur est
égale au rayon de ce cercle.

€
15
Conversions d'unités d'amplitudes d'angles
Nous venons de définir le radian mais nous connaissions
déjà le degré. Afin d'établir une relation entre ces deux
unités, considérons un angle plein.
 = 2πr
D'une part, pour un angle plein
r
α = 360° .
D'autre part, un angle plein intercepte dans un cercle de
€
rayon r un arc dont la longueur est celle de la circonférence
€ :
du cercle
 = 2πr
En appliquant la définition de l'amplitude, cela donne
€
α=
 2πr
=
= 2π = 2π rad
r
r
Bref, pour un angle plein, on a à la fois
 α = 360°

 α = 2π rad
€
donc
2π rad = 360°
ou
π rad = 180°
€
€
ou encore
1 rad =
180°
≈ 57,30°
€
π
et
1° =
π rad
≈ 0,01745 rad .
180
Nous avons vu que la notation "rad" peut être omise car la définition du radian implique que
1 rad = 1 mais la notation "°" est par contre indispensable car 1° est égal au nombre π /180..
€
€
Exercices
13)
Convertir les amplitudes d'angles suivantes de radians en degrés.
a)
1
b)
π
3
c)
3π
5
d)
3π
2
e)
€
2π
14)
Convertir les amplitudes d'angles suivantes de degrés en radians.
€
€
€
€
a)
45°
b)
18°
c)
60°
d)
90°
e)
135°
15)
Donner la valeur numérique, avec deux décimales, des nombres trigonométriques suivants.
a)
cos 1
b)
cos 1°
c)
tan 30°
e)
cos
π
5
f)
sin 54°
g)
cos
π
3
d)
tan 30
h)
cot 60°
N. B.
16)
cot α = 1/tanα
α est l'amplitude d'un angle non droit de triangle rectangle. Déterminer sa valeur
€ en degrés avec 2 décimales et sa valeur en€radians avec 3 décimales, sachant que
€
a)
tanα = 3
b)
cosα = 0,8
c)
sinα = 0,7.
16
Longueur d'arc et aire de secteur
Un cercle de rayon r intercepte un
arc de longueur  dans un angle
d'amplitude α. Le centre du cercle
coïncide avec le sommet de l'angle.

€
Par définition
de l'amplitude, α = .
r
en déduit la formule de la longueur
On
d'arc :

A
α
 = αr
€
Pour établir une formule de l'aire du
secteur, considérons de nouveau le cas €
de l'angle plein. Dans ce cas, on a d'une
part α = 2π et d'autre part A = πr 2
puisque, quand l'angle est plein, le secteur occupe tout le disque.
€
€
La règle générale se déduit de ce cas
particulier en considérant que, à rayon
donné, l'aire du secteur est directement
proportionnelle à l'amplitude de l'angle
qui le définit. Il suffit donc d'appliquer€
une règle de trois.
1
2
A = αr 2
Exercices
€
17)
18)

÷ 2π 

€
×α

€
Donc
€
r
Amplitude
d'angle
Aire de
secteur
2π
πr 2
1
€
α
€
1
2
r2
1
€
2
€
αr 2
Calculer la longueur d'arc  .
b)
Calculer l'aire de secteur A .
c)
€ en taille réelle.
Dessiner le secteur

 × α

1
2
A = r .
€
Un cercle de rayon r = 10 cm intercepte un arc dans un angle d'amplitude α =
a)

 ÷ 2π

€
€
ou encore, puisque αr =  ,
€
1
rad
2
€
Un cercle de rayon r = 8 cm intercepte un arc dans un angle d'amplitude α = 20°
a)
Calculer la longueur d'arc  .
b)
Calculer l'aire de secteur A .
c)
€ en taille réelle.
Dessiner le secteur
€
L'intérêt de ces deux exercices est, outre d'appliquer les formules de longueur d'arc et d'aire de
secteur, d'illustrer la nécessité de pouvoir utiliser à la fois les radians et les degrés. Si l'une des
unités facilite le calcul et les considérations théoriques, l'autre facilite le dessin et les mesures.
17
Corrigé des exercices
13)
1=
c)
3π 3 • 180°
=
= 3 • 36° = 108°
5
5
€
14)
€
180°
≈ 57,30°
π
a)
a)
45° =
45π π
=
180 4
b)
€18π π
18° =
=
180 10
d)
90° =
90π π
=
180 2
e)
135° =
a)
cos1 ≈ 0,54
c)
tan 30° ≈ 0,58
€
€
sin54° ≈ 0,81
€
17)
135π 3π
=
180
4
c)
60° =
b)
cos1° ≈ 0,9998 ≈ 1,00
d)
tan 30 ≈ −6,41
e)
cos
g)
cos
π
= 0,5
3
h)
cot 60° =
€
tanα = 3;
α = arctan 3 ≈ 71,57° ≈ 1,249 .
b)
cosα = 0,8;
€
α = arccos0,8
≈ 36,87° ≈ 0,644 . €
c)
sinα €
= 0,7;
α = arcsin0,7 ≈ 44,43° ≈ 0,775
a)
€ 1
 = αr = 10 cm = 5 cm
2
€
c)
α=
b)
1
2
1
2
•
1 1 180° 90°
=
=
≈ 28,65°
2 2 π
π
€
 = 5 cm
α=
a)
b)
1
rad
2
r = 10 cm
€
20π
8π
 = αr = 20° • 8 cm =
8 cm =
cm ≈ 2,79 cm
€
180
9
1 1 8π
32π
cm • 8 cm =
cm2 ≈ 11,17 cm2
2
2 9
9
A = r =
€
c)
€
=
α = 20°
1
≈ 0,58
tan60°
A = r = 5 cm 10 cm = 25 cm2
€
18)
π
≈ 0,81
5
€
a)
€
60π π
=
180 3
€
€
f)
€
3π 3 • 180°
=
= 3 • 90° = 270°
2
2
€
(c'était notre point de départ pour établir la règle de conversion).
€
16)
d)
2π = 360°
€
€
π 180°
=
= 60°
3
3
e)
€
15)
b)
r = 8 cm
€
8π
cm
9
18
Angles orientés
On convient de définir comme sens positif de rotation le sens inverse des aiguilles d'une montre.
On distingue le premier côté ou demi-droite origine de l'angle et le second côté ou demi-droite
extrémité.
Cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré en l'origine O(0; 0) du plan R 2 muni
d'un repère orthonormé et dans lequel on a choisi comme sens positif de rotation le sens inverse
des aiguilles d'une montre.
Représentation d'un angle orienté dans le cercle trigonométrique
Soit O(0; 0) l'origine des coordonnées et E(1; 0) l'intersection du cercle trigonométrique avec l'axe
des x, du côté des x positifs. Pour représenter un angle orienté dans le cercle trigonométrique, on
place son sommet en O et son premier côté en la demi-droite [OE. De cette manière, son second
côté est fixé. Il coupe le cercle en un point M(xM; yM).
Moyennant ces conventions, pour déterminer un angle orienté, il suffit de connaître le point M.
19
Les quatre quadrants
€
Premier quadrant
Deuxième quadrant
Troisième quadrant
Quatrième quadrant
α ∈ ]0°, 90°[
α ∈ ]90°, 180°[
α ∈ ]180°, 270°[
α ∈ ]270°, 360°[
€
Quelques angles particuliers
€
€
On peut représenter les valeurs des amplitudes par des graduations le long du cercle trigonométrique.
Voici les amplitudes de quelques angles particuliers. Il est bon de pouvoir rapidement convertir ces
amplitudes de degrés en radians et inversement et de pouvoir rapidement représenter les angles
correspondants sur le cercle.
20
Redéfinition des nombres trigonométriques
Le sinus, le cosinus et la tangente ont été définis pour un angle non droit de triangle rectangle et ces
définitions sont rappelées en page 3. Nous voudrions trouver des définitions qui puissent s'appliquer
à tous les angles.
Un angle non droit de triangle rectangle a son amplitude strictement comprise entre 0° et 90°.
C'est donc un angle du premier quadrant. Considérons un tel angle.
Si P est la projection orthogonale de M sur l'axe des x, OPM est un triangle rectangle en P.
On peut donc appliquer les formules de la page 3 (en adaptant les notations, bien entendu).
cosα =
€
d(O, P) xM
=
= xM ;
d(O, M) 1
sinα =
d(P, M) yM
=
= yM ;
d(O, M) 1
tanα =
d(P, M) yM sinα
=
=
.
d(O, P) xM cosα
Ces résultats sont équivalents aux définitions de la page 3 dans le cas d'un angle du premier quadrant.
Nous décidons que, désormais, ils feront office de définitions du cosinus, du sinus et de la tangente.
€
€
cosα = xM
sinα = yM
tanα =
sinα
cosα
Nous décidons aussi que ces nouvelles définitions s'appliqueront telles quelles à tous les angles.
€
€
Les relations de la page 3 sont désormais considérées comme des
€ propriétés, valables uniquement
pour les angles non droits de triangles rectangles.
21
Signe des nombres trigonométriques
cos α, étant l'abscisse de M, sera positif quand M sera à droite de l'axe des y, ce qui correspond aux
premier et quatrième quadrants. sin α, étant l'ordonnée de M, sera positif quand M sera au-dessus
de l'axe des x, ce qui correspond aux premier et deuxième quadrants. tan α, étant le rapport de sin α
sur cos α, sera positive quand sin α et cos α auront le même signe, ce qui correspond aux premier et
troisième quadrants.
−
+
+
+
−
+
−
+
−
−
+
−
Détermination graphique des nombres trigonométriques
Soit T l'intersection de la droite OM avec la tangente au cercle passant par le point E.
Propriété :
tanα = y T
Prouvons-le dans le cas du premier quadrant. OET est un triangle rectangle en E. En utilisant les
relations de la page 3, on a tan α = d(E, T)/d(O, E) = yT/1 = yT, CQFD. Nous admettrons que la
propriété est€vraie aussi pour les autres quadrants.
Pour déterminer graphiquement les nombres trigonométriques, nous avons maintenant 3 formules
les liant à des coordonnées de points :
cosα = xM ;
sinα = yM ;
tanα = y T .
22
La relation fondamentale de la trigonométrie
cos2 α + sin 2 α = 1
Preuve
€
Quel que soit le quadrant,
si P est la projection de M sur l'axe des x, OPM est un triangle rectangle en
P donc le théorème de Pythagore s'applique :
[d(O, P)]
2
Or, quel que€soit le quadrant,
2
Donc
2
+ [d(P, M)] = [d(O, M)]
2
 d(O, P) = xM = cosα

 d(P, M) = yM = sinα

 d(O, M) = r = 1
2
cosα + sinα = 1
€ de la valeur absolue d'un nombre est égal au carré de ce nombre.
D'où la thèse, puisque le carré
€
Formules dérivées
de la relation fondamentale.
Si on divise membre à membre la relation fondamentale par cos2 α, on obtient
cos2 α sin 2 α
1
+
=
2
2
cos α cos α cos2 α
1+ tan 2 α =
donc
1
cos2 α
Si on divise membre à membre la relation fondamentale par sin2 α, on obtient
€
cos2 α sin 2 α
1
+ 2 = 2
2
sin α sin α sin α
€
1
1
+1= 2
2
tan α
sin α
donc
Autres nombres trigonométriques
€
€
On définit aussi la sécante, la cosécante et la cotangente. Ils sont d'un emploi moins courant.
secα =
1
cosα
cosec α =
1
sinα
cot α =
1
tanα
Exercices
19)
Voir page suivante.
€
€
€
20)
On demande de déterminer analytiquement des nombres trigonométriques d'un angle
sans déterminer l'amplitude de cet angle.
12
et α ∈ ]90°; 180°[ , déterminer cosα et tanα.
13
a)
Si sinα =
b)
€
 3π 
4
Si cosβ = − et β ∈ π;
, déterminer sinβ et tanβ.

2 
5
€
c)
€
1
Si sinθ =
et θ ∈ ]270°; 360°[ , déterminer cosθ et tanθ.
13
€
23
d)
e)
€
f)
€
g)
€
Si sin λ =
3
et cos λ < 0 , déterminer cos λ et tan λ .
5
 3π

Si cosµ
sinµ et tanµ.
€ = 0,2 et µ ∈  2 ; 2π
€  , déterminer
€
Si tanα = 3 et α ∈ ]0°; 90°[ , déterminer cosα et sinα.
€
π
Si tanα = −2 et α ∈  ;
2
€

π , déterminer cosα et sinα.

Les cas de a) à e) viennent de l'exercice 8. page 25 du livre "Des situations pour apprendre".
€
21)
€
Trouver le quadrant qui contient l'angle orienté d'amplitude θ vérifiant les conditions
suivantes :
a)
cos θ > 0
et
sin θ > 0
b)
cot θ > 0
et
sin θ < 0
c)
sin θ > 0
et
cos θ < 0
d)
cos θ < 0
et
tan θ > 0
Ces cas viennent de l'exercice 9. page 25 du livre "Des situations pour apprendre".
19)
Déterminer graphiquement, avec 2 décimales, cosα, sinα et tanα,
sans déterminer α.
24
Corrigé des exercices
19)
tan(α)
T
M
sin(α)
cos(α) ≈ 0,77
sin(α) ≈ 0,64
tan(α) ≈ 0,84
α
20)
a)
cos2 α + sin 2 α = 1;
cos(α)
12  2
144 169 −144 25
2
2 cos α = 1− sin α = 1−   = 1−
=
=
;
 13 
169
169
169
25
5
signe "−" car α est du 2e quadrant.
=−
169
13
sinα €12 /13
12
tanα =
=
=− .
cosα −5 /13
5
cosα = −
€
€
b)
€
cos2 β + sin 2 β = 1;
 −4  2
16 25 −16 9
sin 2 β = 1− cos 2 β = 1−   = 1−
=
= ;
 5
25
25
25
9
3
=−
25
5
sinβ €
−3/5 3
tanβ =
=
= .
cosβ −4 /5 4
sinβ = −
€
€
€
c)
Les données sont incohérentes car, θ étant du 4e quadrant, sin θ devrait être négatif.
d)
cos2 λ + sin 2 λ = 1;
 32
9 25 − 9 16
cos2 λ = 1− sin 2 λ = 1−   = 1−
=
= ;
5
25
25
25
16
4
=−
25
5
sin λ€ 3/5
3
tan λ =
=
=− .
cos λ −4 /5
4
cos λ = −
€
€
e)
€
2
€
2
cos µ + sin µ = 1;
signe "−" car cos λ < 0 .
€
 1 2
1 25 −1 24
sin µ = 1− cos µ = 1−   = 1−
=
=
5
25
25
25
2
24
2 6
=−
25
5
sinµ€ −2 6 5
tanµ =
=
= −2 6 .
cosµ
15
sinµ = −
€
signe "−" car β est du 3e quadrant.
2
signe "−" car µ est du 4e quadrant.
25
f)
1
;
1+ tan 2 α =
cos2 α
cos2 α =
€
tanα =
€
g)
1
;
4
€
€
tanα =
€
1
2
1
;
cos2 α
€
1
2
= 1+ tan 2 α = 1+ (−2) = 1+ 4 = 5 ;
2
cos α
signe "−" car α est du 2e quadrant.
sinα = cosα tanα = −
5
2 5
.
(−2) =
5
5
1er quadrant.
a)
cosθ > 0
et
€ b)
cot θ > 0
€ et
€
c)
€ cosθ
cosθ = cot θsinθ
Comme cot θ =
,
donc
sinθ
€
cosθ < 0
sinθ < 0
et
3e quadrant.
€
€
€
sinθ > 0
cosθ < 0
et
2e quadrant.
d)
cosθ < 0
€
€
€
= 1+ 3 = 4 ;
1
3
3=
.
2
2
1
5
cosα = −
=−
5
5
€
sinα
;
cosα
€
( 3)
2
signe "+" car α est du 1er quadrant.
sinα = cosα tanα =
1
cos2 α = ;
5
€
21)
cosα =
sinα
;
cosα€
1+ tan 2 α =
1
= 1+ tan 2 α = 1+
cos2 α
sinθ > 0
sinθ < 0 .
et
cosθ < 0 .
tanθ > 0 .
€
€ sinθ
sinθ = tanθcosθ
Comme tanθ =
,
donc
cosθ
€
€
cosθ < 0
sinθ < 0
et
3e quadrant.
€
€
€
Annexe au chapitre 1 - quelques rappels utiles
€
€
1)
Solution de l'équation x2 = a2
sinθ < 0 .
Soit a un réel quelconque. On cherche toutes les valeurs de x qui vérifient cette équation.
x2 = a 2
x2 − a 2 = 0
(x − a)( x + a) = 0
(produit remarquable)
€ x−a =0
ou
x+a =0
(règle du produit nul)
x=a
ou
x = −a
€
€
€ x = ±a
€
Ensemble des solutions :
€ = {−a; a}
Sol.
€
€
Le signe "±" se lit "plus ou moins". Il a, en mathématiques, le sens très précis de "soit +, soit −".
€
26
2)
Coordonnées d'un point
Dans le plan R 2 muni d'un repère orthonormé, un point est déterminé par ses coordonnées
cartésiennes : son abscisse et son ordonnée. Les coordonnées d'un point P sont notées (xP, yP)
ou (xP; yP). L'abscisse de P est xP et son ordonnée est yP.
Prenons l'exemple du point A du graphique ci-dessus. En tout généralité, on note
A(xA, yA).
Pour trouver la valeur de son abscisse xA, on trace à partir de A une ligne de rappel parallèle
à l'axe des y. Cette ligne de rappel coupe l'axe des x en la graduation 2. On en conclut que
xA = 2.
Pour trouver la valeur de son ordonnée yA, on trace à partir de A une ligne de rappel parallèle
à l'axe des x. Cette ligne de rappel coupe l'axe des y en la graduation 4. On en conclut que
yA = 4.
On signifie que les coordonnées de A sont 2 et 4 en écrivant
A(2, 4).
3)
Notations pour une droite, une demi-droite, un segment et une distance
AB = droite passant par A et B.
[AB = demi-droite d'origine A passant par B.
[AB] = segment de A à B.
d(A, B) = distance du point A au point B.