La météo de l`été

ECE 1ère année
DM n°0 de Mathématiques
La météo de l’été
Ce devoir, à rédiger pendant les vacances, a pour but de vous faire prendre un bon départ pour
réussir votre année de prépa. Les cours commenceront très vite, puis les devoirs et les colles
s’enchaîneront tout de suite. Les premières semaines sont importantes, il ne faut pas accumuler de
retard. Prenez donc le temps de bien réviser les notions suivantes qui seront la base des premiers
chapitres en Mathématiques et d’apporter une attention particulière à votre rédaction.
Savoirs faires à revoir
Probabilités
Suites
Etude de fonctions
Calcul intégral
Polynômes du second degré
I Jours de soleil
On considère que le nombre de jours ensoleillés pendant
l’été est une variable aléatoire suivant une loi de Bernouilli
de paramètres 𝑛 = 94 (nombre de jours dans la saison
d’été) et 𝑝 (probabilité du succès 𝑆 « il fait beau un jour »,
qui dépend du lieu des vacances).
Une mathématicienne part en Espagne avec un nombre moyen de jours d’ensoleillement l’été
de 36,25 jours.
1/ a- Chercher le nombre moyen d’ensoleillement l’été de votre lieu de vacances.
Déterminer les paramètres 𝑝 associés au lieu de vacances de la mathématicienne et à votre lieu de
vacances.
b- Un hôtelier affirme que l’année dernière en Espagne, il y a eu 45 jours de soleil en tout. Faut-il le
croire ?
Même question avec 45 jours de soleil l’année dernière sur votre lieu de vacances.
2/ La mathématicienne arrive sur son lieu de vacances et il fait beau. Elle reste dix jours et se
demande combien de jours le beau temps va durer. On appelle 𝑌 la variable aléatoire donnant le
nombre de jours consécutifs de soleil à partir du lendemain du jour d’arrivée.
a- A l’aide d’un arbre pondéré suivant à compléter, montrer que 𝑃 𝑌 = 𝑘 = 𝑝𝑘 (1 − 𝑝) pour 𝑘
compris entre 0 et 9, et que 𝑃 𝑌 = 10 = 𝑝10 .
Jour 1
𝑆
Jour 2
𝑆
Jour 3
…
Jour 10
𝑆
𝑆
…
b- Vérifier que 𝑃 𝑌 = 0 + 𝑃 𝑌 = 1 + 𝑃 𝑌 = 2 + ⋯ + 𝑃 𝑌 = 9 + 𝑃 𝑌 = 10 = 1.
II Température estivale
La mathématicienne relève plusieurs température au cours de la journée et modélise la température
en dégré 𝑇(𝑥), en fonction de l’heure 𝑥 dans la journée comprise entre 7 et 18, par la formule
suivante :
𝑇 𝑥 = (0,1𝑥 − 1) exp −0,05𝑥 2 + 𝑥 − 1,25 + 15
3/ Montrer que 𝑇 est dérivable sur [7 ; 18] et calculer sa dérivée 𝑇′.
4/ a- Factoriser −90 + 20𝑥 − 𝑥², pour tout 𝑥 réel.
b- Déterminer le signe de 𝑇′ sur [7 ; 18] et en déduire les variations de 𝑇 sur cet intervalle.
5/ Représenter graphiquement 𝑇 sur [7 ; 18].
6/ Déterminer l’heure la plus chaude entre 7h et 18h.
7/ Existe-t-il une heure dans la matinée où la température sera de 20° ?
8/ Calculer la valeur moyenne de la température entre 7h et 18h.
III Jours de pluie
La mathématicienne remonte sur Paris où il pleut.
L’été, sur son lieu de vacances en Espagne, il y a en
moyenne 51 mm de précipitations ; à Toulouse, il y a
en moyenne 144,8 mm de précipitations ; à Paris, il y a
en moyenne 164,6 mm de précipitations.
On considère que cette mesure de précipitations est
un polynôme du second degré suivant la distance en
km depuis Paris.
Toulouse est à 679 km de Paris et la mathématicienne
était en Espagne à 1376 km de Paris.
9/ Placer sur un graphique les points de coordonnées 𝐴 1376 ; 51 , 𝐵(679 ; 144,8) et 𝐶(0 ; 164,6).
10/ Déterminer trois réels 𝑎, 𝑏, 𝑐 tels que le graphe de la fonction 𝑃: 𝑥 ↦ 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 passe par les
points 𝐴, 𝐵, 𝐶.
11/ Déterminer l’intervalle 𝐼 où 𝑃(𝑥) est positive ou nulle pour 𝑥 réel positif.
Etudier 𝑃 sur l’intervalle 𝐼.
12/ Déterminer le maximum de 𝑃 sur 𝐼.
13/ Selon cette modélisation, Paris est-elle la ville la plus pluvieuse ? Si non, déterminer un point sur
la carte suivante où il semble pleuvoir le plus.