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III.
Annexes du collège
1. « Une année de calcul littéral en 3ème »
a. Introduction
Cette annexe se veut comme étant un compte-rendu chronologique de ce qui a été réalisé durant
une année scolaire en classe de 3ème concernant le calcul littéral.
Plus précisément, l’exposé va concerner le développement, la factorisation d’expressions littérales, la
mise en équation d’un problème du premier degré et les problèmes se ramenant au premier degré :
équations produits.
Les moyens d’arriver progressivement à une maîtrise du calcul littéral seront ainsi détaillés :
l’utilisation des TIC en classe à petites touches (tableur, calcul formel avec le logiciel WxMaxima), le
rôle du travail à la maison et comment le rendre efficace, la mise en œuvre de narrations de
recherche, le travail en groupes…
b. Contexte
Les travaux présentés ici concernant trois classes de 3ème générale du Collège Jean Le Toullec (LE
PORT) faisant partie du programme ECLAIR. Chaque semaine, les élèves ont deux séances d’1h30min
et une séance de 45 min dans leur emploi du temps, concernant les mathématiques. Les classes ont
des effectifs raisonnables (respectivement 26, 25, 21) et sont très hétérogènes, les deux classes les
plus chargées incluant quelques élèves latinistes et/ou issus de section bi-langue. La classe de
mathématiques dispose d’un tableau numérique interactif. Ponctuellement, lors de travaux en
groupes, les élèves peuvent disposer de 3 à 4 ordinateurs portables.
c. Progression à l’année
La progression annuelle est une progression en spirale. Les thèmes centraux durent de 1 à 2
semaines et sont listés ci-dessous. Chaque thème central est abordé de manière « classique » :
activités d’introduction, synthèse du cours, exercices d’application et d’approfondissement.
Thèmes du programme
Figures planes
Equations et inéquations du 1er
degré
Statistique
Ecritures littérales
Figures planes
Connaissances et/ou capacités
Configuration de Thalès (Connaître et utiliser
la proportionnalité des longueurs pour les
côtés des deux triangles déterminés par deux
parallèles coupant deux droites sécantes)
Equations du premier degré (Mettre en
équation un problème, le résoudre)
Caractéristiques de position (moyenne,
médiane), Approche de caractéristiques de
dispersion (étendue), exprimer et exploiter
les résultats de mesures d’une grandeur
Puissances
Triangle rectangle, relations
trigonométriques (définitions et calculs de
longueurs et d’angles)
Identités remarquables (développements)
Fonction
Notion de fonction
Factorisation (Factoriser des expressions
algébriques dans lesquelles le facteur est
apparent)
9
Notion de probabilité
Grandeurs et mesures
Configurations dans l’espace
Fonction
degré
Calculs élémentaires sur les
radicaux
Figures planes
Nombres entiers et rationnels
Fonction
Configurations dans l’espace
Grandeurs et mesures
degré
Figures planes
Calculs élémentaires sur les
radicaux
Figures planes
degré
Figures planes
Statistique
Figures planes
Notion de probabilité (Comprendre et
utiliser des notions élémentaires de
probabilité, calculer des probabilités dans
des contextes familiers)
Proportionnalité, grandeurs composées,
changements d’unités
Problèmes de sections planes de solides
(cube, parallélépipède rectangle, cylindre de
révolution, cône de révolution, pyramide)
Fonction linéaire
Identités remarquables (factorisations)
Problèmes se ramenant au premier degré :
équations produits
Racine carrée d’un nombre positif
Effet d’une réduction ou d’un
agrandissement
Nombres entiers et rationnels
Fonction affine
Sphère, sections planes d’une sphère, aire,
volume
Notion de probabilité (Entretien des
capacités, notion d’événements
incompatibles, d’événement contraire)
Résoudre une inéquation du premier degré ;
représenter ses solutions sur une droite
graduée.
Angle inscrit, angle au centre
Produit et quotient de deux radicaux
Configuration de Thalès (utiliser un énoncé
réciproque)
Problèmes du premier degré : système de
deux équations à deux inconnues
Polygones réguliers
Quartiles
Relations trigonométriques (cos²Â + sin²Â = 1
et tan Â = sin Â / cos Â)
Expériences aléatoires à deux épreuves
Problèmes de synthèse
Les « apprentissages parallèles »1 ne sont pas précisés dans ce paragraphe. Dans le reste de cette
annexe, on s’intéressera exclusivement à l’apprentissage parallèle sur le calcul littéral afin de
montrer comment ces notions sont travaillées à petites touches tout au long de l’année. Ces
apprentissages parallèles sont abordés de deux façons : soit sur un temps très court pendant la
séance (en début ou en fin), soit lors des devoirs à la maison (exercices à faire pour la séance
suivante, devoirs à rendre sur copie – ils seront appelés ici « devoirs non surveillés » en abrégé DNS,
narrations de recherche). C’est ce travail régulier demandé aux élèves qui permet véritablement de
consolider les compétences attendues (un DNS chaque semaine sauf les semaines comportant une
évaluation sommative). En début d’année, un temps important réparti sur les premières semaines
est consacré à la méthode de travail ; à chaque séance, il est demandé aux élèves où ils en sont dans
leur travail à la maison, des aides sont éventuellement apportées. Lors de la restitution des DNS, des
1
Voir paragraphe II. du document de synthèse.
10
conseils sont donnés, un travail spécifique sur un exercice moins bien réussi peut être engagé avec à
l’appui des productions d’élèves, un corrigé est distribué à chaque élève.
d. Explicitation complète de la progression concernant le calcul littéral
 Semaine 1
● Lors de la prise de contact, une courte évaluation diagnostique écrite est proposée aux élèves.
L’objectif est clairement affiché aux élèves : l’évaluation n’est pas notée et est simplement indicative
pour le professeur sur les éléments déjà maîtrisés par les élèves et ceux qu’il conviendra de
consolider rapidement en vue de permettre un bon départ en classe de 3ème. Il est également précisé
aux élèves que cette évaluation ne sera pas restituée.
Concernant le calcul littéral, seule une question (technique) est posée :
Développer et réduire l’expression littérale suivante :
E   2 x  1 3x  2 .
Les élèves ont 2 min 30 s pour y répondre.
Sur les 70 élèves présents (issus des trois classes présentées plus haut), aucun ne trouve la solution
correcte, trois élèves seulement parviennent à appliquer la formule de double-distributivité (mais se
trompent ensuite dans la réduction).
● Le thème central de cette semaine est consacré au théorème de Thalès mais deux apprentissages
parallèles sont également menés de front grâce à un devoir à réaliser à la maison et à rendre la
semaine suivante. L’un de ces apprentissages parallèles concerne le développement d’expressions
littérales. L’exercice proposé dans le devoir (devoir non surveillé n°1, noté par la suite DNS1) est le
suivant :
Exercice 3 (Objectif : savoir développer une expression littérale simple)
Développer et réduire les expressions suivantes :
A  4  x  3
B  9  y  6
C   2 z  3 z  5
D   a  4 a  7
E   b  5 2b  3
F   c  3 c  6 .
Les élèves ayant montré de grandes difficultés lors de l’évaluation diagnostique, il convient de les
préparer à ce genre d’exercice technique, afin que le devoir ait un impact positif.
Ainsi en début de séance, il est proposé des calculs similaires, la technique est retravaillée avec les
élèves et le logiciel WxMaxima leur est présenté, du moins uniquement pour l’instant la fonction
expand qui permet d’obtenir la forme développée réduite d’une expression littérale. Les élèves sont
invités à installer le logiciel chez eux, il est par ailleurs présent sur le réseau pédagogique du collège.
L’intérêt du logiciel de calcul formel est pour l’instant double :
- Permettre aux élèves de vérifier leurs calculs.
- Etre conscient des simplifications d’écriture, WxMaxima ne les intégrant pas, il faut alors
préciser tous les signes de multiplication.
 Semaine 2
● Le thème central de cette semaine concerne les équations : il s’agit principalement de donner du
sens aux équations au travers de petits problèmes (mise en équation, puis résolution). Un lien est
également fait avec le thème central précédent sur le théorème de Thalès (recherche d’une longueur
inconnue à partir de l’égalité des trois rapports obtenue lors de l’application du théorème de Thalès).
● Au cours de cette semaine, une nouvelle fonction de WxMaxima est présentée : la fonction solve.
L’intérêt du logiciel pour l’instant reste le même : vérifications des calculs, prise de conscience des
signes de multiplication implicites.
11
● Dans le nouveau devoir non surveillé (DNS2), deux exercices techniques de calcul littéral sont
proposés, afin d’entretenir les connaissances réactivées en début d’année. Des petits temps en début
de séances sont également mis en place.
Exercice 3 (Objectif : maîtrise du calcul littéral)
Développer et réduire les expressions suivantes :
E   y  6 y  2
F   y  3 y  4
G   2 y  5 y  7 
H   5  y  3  4 y  .


2
Soit l’expression E   3  2 x  5 x  2   25 x  4  3  2  5 x  .
1) Développer et réduire E.
2) Calculer la valeur exacte de E lorsque :
a) x  0
1
3
b) x   .
 Semaine 3
● En apprentissage parallèle cette semaine, un petit travail sur les programmes de calcul est conduit
et l’utilisation du tableur est encouragée en classe. Le lien est également fait avec les expressions
littérales, en écho aussi avec le DNS2 (dans l’exercice 4, des calculs d’expressions littérales pour des
valeurs de la variable étant proposés).
L’intérêt du logiciel de tableur est double :
- Obtenir rapidement un grand nombre de calculs.
- Travailler le lien entre calculs numériques et calcul littéral par le biais des formules sur le
tableur. La notion de variable prend son sens.
● Le DNS3 permet d’entretenir la technique (développements d’expressions littérales, résolution
d’équations du premier degré), de consolider le travail sur les programmes de calcul et de faire un
lien entre calcul littéral et géométrie.
1) Développer et réduire les expressions suivantes.
C    z  3 5z  2 
A   x  5 x  3
B   3 y  7  2  y 
D  5  2 x  3  7 x
E  12  u  3   3u 15u  4  2
2-a) Calculer l’expression B lorsque y = 2.
2-b) Calculer l’expression D lorsque x = -1.
Exercice 3 (Objectif : maîtrise des programmes de calcul)
Voici un programme de calcul :
« Choisis un nombre, lui ajouter 5, tripler le résultat obtenu puis lui retrancher 10, retrancher au
nombre obtenu le double du nombre choisi. »
1) Appliquer ce programme pour les nombres 2 ; 5 ; 10.
2) Ecrire une expression littérale correspondant à ce programme en appelant x le nombre choisi.
Exercice 5 (Objectif : résoudre des équations du 1er degré)
Résoudre les équations suivantes :
5 y 1  4  7 y
3  4x  2 x 1
8  2 z  3  5  4  z  1 .
12
Exercice 6 (Objectif : calcul littéral et géométrie)
Dans cet exercice, x est un nombre supérieur à 2.
On considère un rectangle VOUS tel que VO  2x  7 et VS  2x  3 .
1) On donne E   2 x  7  2 x  3 et G  2  2 x  7   2  2 x  3 .
a) Développer et réduire E.
b) Développer et réduire G.
2) Que représente, géométriquement, l’expression E ? l’expression G ?
3) Déterminer x pour que VO soit le double de VS. Que vaut la valeur de G dans ce cas ?
 Semaines 4 et 5
● Une évaluation sommative (devoir surveillé n°1, noté DS1) est réalisée. Les exercices concernant le
calcul littéral sont les suivants :
Exercice 2 (Sur 3)
1) Développer et réduire les expressions littérales suivantes :
A  3 y 5  2 y 
2) Calculer l’expression B pour x  2 .
B   x  4 3x  4 .
Exercice 5 (Sur 2,5)
a) 5x  7  67
b) 3  2 y  y  7 .
Exercice 6 (Sur 3)
Trois entiers consécutifs ont pour somme 9771. Combien valent ces trois nombres ?
Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche.
Elle sera prise en compte dans la notation.
Les progrès sont notables par rapport à l’évaluation diagnostique de début d’année même si des
difficultés persistent dans les réductions d’expressions littérales (plutôt dues à des erreurs de calculs
avec les nombres relatifs). Lors de la restitution en classe, on revient sur la méthode experte de
l’exercice 6 (mise en équation du problème), nombre d’élèves ayant résolu l’exercice (certes simple)
sans recours aux équations.
● Le nouveau DNS (DNS4) est très centré sur les équations, les petits problèmes, ainsi que la suite du
travail sur les programmes de calcul qui prépare un futur thème central sur les fonctions.
Exercice 1 (Objectif : DNB)
2 est-il solution de l’équation 2a 2  3a  5  1 ? Justifier.
Exercice 2 (Objectif : résolution d’équations)
4  3x  5x  2
2y  7  3 4y
2  4  3z   1  3  2 z  3 .
13
Exercice 3 (Objectif : maîtrise des programmes de calcul)
Voici un programme de calcul :
« Choisis un nombre, lui ajouter 4, doubler le résultat obtenu puis lui retrancher 7, retrancher au
nombre obtenu le triple du nombre choisi. »
1) Appliquer ce programme pour le nombre 2.
2) Ecrire une expression littérale correspondant à ce programme en appelant x le nombre choisi.
Développer et réduire cette expression.
Ce semestre, la moyenne de Kévin en mathématiques est 13.
Il a effectué cinq contrôles, mais il ne se souvient que de quatre notes : 09 ; 16 ; 12 ; 13.
Quelle est la note de son cinquième devoir ? Justifier soigneusement.
Exercice 7 (Objectif : liaison collège/lycée)
Trois cousins ont respectivement 32, 20 et 6 ans.
Dans combien d’années l’âge de l’aîné sera-t-il égal à la somme des âges des deux autres ?
 Semaine 6
● En apprentissage parallèle, le DNS5 permet d’entretenir la technique de résolution d’équations du
premier degré et la résolution de petits problèmes du 1er degré.
Exercice 2 (Objectif : résolution d’équations)
2  5x  9 x  3
2y  4  8 y
4  z  6  2  2 z  3  3z .
Exercice 5 (Objectif : prise d’initiative)
Julie a dépensé la moitié de ses économies pour l’achat de livres. Elle a en plus payé 7 € pour une
place de cinéma. Il lui reste exactement le tiers de ses économies.
Quel était le montant des économies de Julie ? Justifier.
Exercice 6 (Objectif : maîtrise des notions de statistiques)
On a relevé la taille, en cm, de dix des onze joueurs d’une équipe de football professionnelle :
189 180 181 176 178 183 173 178 185 178.
1) Combien vaut l’étendue parmi ces dix joueurs ?
2) Il manque la taille du gardien de but, qui est supérieure à celle des autres joueurs. Trouver la taille
médiane dans cette équipe de football.
3) Sachant que la taille moyenne des onze joueurs est 181 cm, calculer la taille du gardien de but.
● La notion d’équation est par ailleurs réinvestie dans le thème central consacré à la trigonométrie.
14
 Semaine 7
● Cela se poursuit d’ailleurs au cours de la semaine 7 dans la classe mais aussi dans le DNS6.
Exercice 6 (Objectif : entretien des connaissances géométriques des années précédentes)
ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB  7, 2 cm et AC  5, 4 cm.
1) Tracer ABC. Placer le point H sur [BC] tel que la droite (AH) soit une hauteur du triangle ABC.
2) Calculer l’aire du triangle ABC.
3) En déduire AH.
● Une narration de recherche (à réaliser à la maison) est donnée aux élèves dont voici le sujet et les
consignes.
Enoncé du problème
Fabien possède une collection de jetons multicolores tous du même diamètre.
En disposant ses jetons les uns à côté des autres, il a réussi à constituer un
carré. Mais il est déçu car 15 jetons n’ont pas été utilisés.
Il décide alors de constituer un carré plus grand, avec un jeton de plus sur
chaque côté. Nouvelle déconvenue ! Cette fois, il lui manque 28 jetons pour
Un exemple d’un
obtenir son carré.
carré constitué avec
De combien de jetons la collection de Fabien est-elle constituée ?
9 jetons.
Consignes : Racontez sur votre copie les différentes étapes de votre recherche, les remarques, les
aides, les observations que vous avez pu faire et qui vous ont fait changer de méthode ou qui vous
ont permis de trouver.
La réponse doit être complètement justifiée !!!
 Semaines 8 et 9
● Les productions des élèves lors de cette narration de recherche ont été riches (tout comme la
restitution en classe) : nombreux tests, volonté de mise en équation du problème (la notion
commence donc à prendre son sens), schémas astucieux (comme celui représenté ci-dessous).
Certaines copies sont encore confuses sur ce qu’est une équation et les difficultés de modélisation du
problème persistent.
15
Des mises en équation correctes apparaissent cependant. Le blocage de certains élèves sur le carré
d’une expression du premier degré donne tout son sens au thème central engagé sur les
développements avec identités remarquables.
● Le thème central sur les identités remarquables fait la jonction avec l’apprentissage parallèle
engagé sur les développements d’expressions littérales depuis le début de l’année.
Le logiciel WxMaxima, régulièrement utilisé depuis, est à nouveau utilisé dans le cadre d’une
vérification d’un développement et il est venu comment élever au carré une expression littérale du
1er degré (avec ^) : le parallèle est alors fait avec ce qui avait été vu lors de l’utilisation du tableur
(thème central sur les puissances en semaine 5) et de certaines calculatrices.
 Semaine 10
● Le thème central sur la notion de fonction est amorcé, ce qui permet toujours de réinvestir l’usage
du tableur, les programmes de calcul, et donc un peu de calcul littéral.
● Le DNS8 permet de consolider le thème central précédent sur les identités remarquables.
Exercice 1 (Objectif : utilisation des identités remarquables)
Développer les expressions littérales suivantes :
A   x  7
2
B   2 y  3
2
C   5  2 z  5  2 z  .
Exercice 4 (Objectif : application des identités remarquables)
1) Sophie dit qu’elle peut calculer mentalement 2012 . Comment fait-elle ?
2) Même question avec 399  401 .
16
 Semaine 11
● L’entretien des connaissances sur le calcul littéral se poursuit à travers le DNS9 : développements,
équations. L’accent est mis notamment sur la suppression de parenthèses précédées du signe moins
aux débuts des séquences.
Exercice 3 (Objectif : maîtrise du calcul littéral et des identités remarquables)
1) Développer et réduire les expressions suivantes.
A   x  4
D   2 x  6    x  2  x  2 
2
2
B   5 x  1   3x  5 x  3
E   x  9    2 x  1
C  8  5 x 2   2 x  2  2 x  2 
F   x  8 x  8   x  7  x  7 
2
2
2
2) Calculer l’expression E pour x  2 .
Choisir un nombre.
On donne le programme de calcul ci-contre :
Multiplier ce nombre par 4.
1) Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :
Ajouter 6.
a. Le nombre choisi est 12.
Ecrire le résultat.
b. Le nombre choisi est x.
2) Quel nombre doit-on choisir pour que le résultat soit égal à 14 ?
● Le calcul de la valeur d’une expression littérale lorsque la valeur de la variable est connue est
également réinvesti lors de la poursuite du thème central sur la notion de fonction. L’utilisation de la
calculatrice (avec la touche f(x)) est effective en classe pour les calculs d’images.
 Semaine 12
● Le thème central porte sur les factorisations d’expressions littérales avec facteur commun.
A cette occasion, une nouvelle fonction est présentée dans Wxmaxima : la fonction factor, qui
permet d’obtenir la forme factorisée d’une expression littérale.
Le nouvel intérêt du logiciel de calcul formel est qu’il est une aide à la factorisation lorsque le
facteur commun optimal n’est pas clairement apparent ou lorsque de petites manipulations
techniques sont à prévoir.
Exemples :
Pour ce premier exemple, les élèves ne voient pas toujours que 12x est le facteur commun optimal,
se contentant de repérer par exemple x, 2x, …
La vérification avec le logiciel fait prendre conscience aux élèves qu’ils peuvent mieux faire.
Il en est de même dans cet exemple. Les élèves indiquent qu’ils ne penseront pas forcément à toutes
ces optimisations sans recours au logiciel. Il leur est précisé qu’obtenir le résultat sous la forme
 x  2 4 x  6 est déjà tout à fait satisfaisant et qu’il faut considérer l’étape ultime comme un
défi pour le moment, ce qui permet de différencier le niveau d’exigence selon le niveau initial des
élèves.
17
La factorisation de l’expression littérale A   t  3 2t  1  t  3 a particulièrement désarçonné les
élèves. L’utilisation du logiciel leur montre que le facteur commun est t  3 , ce qui les incite à placer
des parenthèses autour de t  3 . Le passage ensuite à l’expression littérale
A   t  3 2t  1  1   t  3 est facilité par l’apprentissage parallèle récent sur les suppressions
de parenthèses. En outre, la présentation du résultat par le logiciel engage une courte discussion sur
la commutativité de la multiplication.
 Semaine 13
● Une évaluation sommative (DS4) est réalisée. Les exercices en lien avec le calcul littéral sont les
suivants, la factorisation ayant été abordée très récemment, elle n’est pas évaluée ici.
Exercice 2 (Sur 5)
Développer et réduire les expressions littérales suivantes :
A   2x  7
2
B  ( y  1)2
C  8 y  58 y  5
D  3 z  2  5  2 z 
2
On donne le programme de calcul suivant :
– Choisir un nombre.
– Ajouter 1.
– Calculer le carré du résultat obtenu.
– Soustraire le carré du nombre de départ.
– Soustraire 1.
1-a) Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 10 et montrer qu’on obtient 20.
1-b) Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est −3 et montrer qu’on obtient −6.
1-c) Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 1,5.
2) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non
fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul ? Démontrer
cette conjecture.
Exercice 5 (Sur 3)
On considère la fonction f définie par f : x
1) Calculer l’image de 0 par la fonction f.
2) Calculer f  3 .
5x 2  4 x  3 .
3) 0,8 est-il un antécédent de 3 par la fonction f ? Justifier.
La question 2 de l’exercice 3 a été rarement réussie, seule la conjecture a été la plupart du temps
observée, le lien avec le calcul littéral est encore peu remarqué.
● La technique est à nouveau retravaillée dans le DNS10.
Développer, réduire et ordonner les expressions littérales suivantes :
A  t  2
B  3 y  7
2
2
D   3x  5   x  2  x  3
2
C   4  9 z  4  9 z 
E    7  2 x  7  2 x    2 x  5
2
Exercice 6 (Objectif : maîtrise du calcul littéral
Factoriser les expressions suivantes
A   3x  2  2 x  1   3 x  2  4 x  7 
C  6 x  x  1   x  1
B  1  2 x  5 x  2    3 x  5 1  2 x 
D   2 x  4    2 x  5 2 x  4 
2
2
18
 Semaine 14
● Poursuite de l’apprentissage devenu maintenant parallèle sur les factorisations dans le DNS11.
Factoriser les expressions suivantes.
B  7 x  3x  2    3x  2 
A   2 x  5 3x  1   2 x  53x  8
2
 Semaine 15
● Le devoir de vacances de l’été austral (DNS12) est présenté aux élèves. Il pourra notamment
permettre aux élèves de retravailler les attendus liés au calcul littéral.
Exercice 2 (Equations du 1er degré)
a) 4 x  9  63
b) 13  2 y  y  6
c)
7 z 42

.
4
5
Exercice 3 (Equations du 1er degré)
Si l’on augmente la longueur du côté d’un carré de 3 centimètres, son aire augmente de 36
centimètres carrés. Quelle est la longueur initiale de son côté ? (Penser à mettre en équation le
problème.)
Exercice 7 (Calcul littéral : développer et réduire)
A  5x  x  2   1
B   2  x  3x  1
C   4 y  3
D   3  z  3  z 
E   7 x  5
F   3  2 x    5 x  1 x  2  .
2
2
2
2) Calculer l’expression B pour x  3 .
Exercice 9 (Factorisations)
Factoriser les expressions suivantes :
A  18 x 2  9 x
B   2 y  3 5 y  7    2 y  3 y  5
C   5  z    3z  1 5  z 
D   3x  1 4 x  3  5  4 x  3
2
E   7  2 y  y  3   7  2 y  4 y 1 .
Voici un exemple de production d’élève qui atteste de l’utilisation de WxMaxima en autonomie en
dehors de la classe.
Un retour en plénière permet de faire le lien entre les deux résultats et de continuer à encourager les
élèves à utiliser chez eux le logiciel.
19
 Semaine 16
● Toujours en apprentissage parallèle, le DNS13 permet un entretien des connaissances sur les
développements (double distributivité, identités remarquables, suppression des parenthèses
précédées du signe moins) et les factorisations (avec facteur commun apparent).
On considère l’expression littérale A :
A   2 x  5  x  4    2 x  5  .
2
1) Développer et réduire A.
2) Factoriser A.
3) Calculer A pour x  3 .
On considère l’expression littérale B :
B   3 y  1   2 y  1 3 y  1 .
2
1) Développer et réduire B.
2) Factoriser B.
3) Calculer B pour y  2 .
 Semaine 17
● Cette semaine déjà très chargée (thème central sur les sections, travaux sur les productions d’une
narration de recherche) n’inclut pas des apprentissages parallèles sur le calcul littéral.
 Semaine 18
● Lors d’une évaluation sommative (DS5), un point est fait sur la maîtrise des factorisations
d’expressions littérales lorsque le facteur commun est apparent.
Factoriser les expressions suivantes :
A   7 x  3 2x  1   7 x  31  x 
B   y  3 5 y 1  5  5 y 1
C   4 x  1   4 x  1 x  2 
D  25 y 2  10 y
2
E   3x  1 2 x  5   3x  1 x  4 .
Les trois premiers calculs n’ont pas posé en général de difficultés majeures.
La factorisation de l’expression D n’a été optimale que dans peu de copies.
La gestion correcte du signe moins dans l’expression E n’est encore que rarement maîtrisée (10% des
copies environ).
 Semaine 19
● L’apprentissage parallèle sur les développements et les factorisations se poursuit dans le DNS15,
en particulier sur la gestion du signe moins devant des parenthèses. A l’approche du thème central
sur les factorisations avec identités remarquables, un accent particulier est mis sur les trois identités
à bien connaître.
Exercice 3 (Objectif : développements d’expressions littérales)
1) Rappeler les identités remarquables. (Elles seront utiles dans les trois derniers calculs de la
prochaine question.)
A   4 x  7  2 x  9
B  7 y  3  2 y 
C  5 z   2 z 2  4 z  1
D   2x  9
E   5  3 y  5  3 y 
F  7 z  4 .
2
2
3) Calculer la valeur de A lorsque x  3 .
20
Exercice 4 (Objectif : factorisations d’expressions littérales)
Factoriser les expressions littérales suivantes :
B   2  3 y 5 y  4  3  2  3 y 
A  7 x 2  14 x
C   4 z  1 3z  5   2 z  1 4 z  1 .
● Dans ce même DNS, un exercice facultatif est proposé en géométrie. Assez déstabilisant pour les
élèves qui ont habitude d’avoir des valeurs numériques lors de l’application du théorème de Thalès, il
leur permet d’appréhender la démonstration d’une égalité d’aires dans un contexte algébrique.
Exercice 6 (Objectif : lycée) – Exercice facultatif.
Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A tel que AB = 5 cm.
On place un point E sur le segment [AB] tel que BE = x.
Sur la demi-droite [AC), on place un point F tel que C  [AF]
et CF = x.
La droite (EF) coupe la droite (BC) en un point O.
La droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point E
coupe la droite (BC) en un point T.
Montrer que l’aire du triangle OTE est égale à l’aire du triangle OCF.
Environ un quart des élèves engage une véritable recherche de cet exercice, une élève parvient
véritablement à la fin de l’exercice malgré une rédaction encore maladroite.
 Semaine 20
● Un seul exercice de calcul littéral très technique est proposé cette semaine en DNS16.
Présenté aux élèves comme facultatif et étant donc un objectif de réussite à moyen terme, il est
cherché sérieusement par la moitié des élèves et est globalement réussi par environ 15% des élèves.
On considère les expressions R et S suivantes :
R   2 x  5 3x  7   2  2 x  5 x  3
;
S   2 y  9 1  2 y   4 1  2 y  .
2
1) Factoriser les expressions R et S.
2) Développer et réduire les expressions R et S.
3) Calculer la valeur de R pour x 
13
5
et la valeur de S pour y  .
2
6
 Semaine 21
● Le thème central de cette semaine est consacré aux factorisations avec identités remarquables. Pas
de difficulté notable pour les élèves, le logiciel WxMaxima est sollicité pour certaines vérifications.
 Semaine 22
● Le thème central sur les équations-produits est traité. Il est également l’occasion de réinvestir les
connaissances vues antérieurement.
● Une activité en particulier (issue du manuel Transmath 2008 3ème, Nathan), permet notamment de
développer l’intelligence de calcul avec WxMaxima.
21
En effet, les élèves les plus avancés lors de la recherche individuelle ou en binômes parviennent à ce
type de production.
Les élèves indiquent leur souhait d’utiliser WxMaxima, le fait d’ayant développé les expressions
ayant abouti à une impasse.
La première idée avancée par certains d’entre eux est d’utiliser la fonction solve.
Les solutions sont donc obtenues mais ne permettent pas aux élèves de comprendre comment elles
ont été obtenues.
Une autre idée surgit alors : l’utilisation de la fonction factor directement avec l’équation.
Ceci est alors testé :
Le logiciel met alors en évidence l’existence d’un facteur commun et qu’il semble nécessaire
d’observer avec attention le second membre de l’équation afin de factoriser dans un premier temps
ce second membre.
L’utilisation ici d’un logiciel de calcul formel a aidé les élèves à résoudre un problème et trouver
certaines étapes intermédiaires.
 Semaine 23
● Le DNS18 propose des exercices techniques sur les factorisations et les équations-produits.
Un exercice nettement plus difficile et facultatif fait le lien entre calcul littéral, géométrie et fonction
linéaire. Il n’est abordé de manière consistante que par 11% des élèves et deux élèves sont proches
d’une résolution complète.
Exercice 4 (Objectif : factorisations avec identités remarquables)
Factoriser les expressions littérales suivantes.
A  t 2  81  18t
B  x 2  12 x  36
C   2  10  25
D  36  25 x 2
E   2 x  1  25
F   3i  7    i  5  .
2
Exercice 5 (Objectif : résolution d’équations-produits)
Résoudre les équations-produits suivantes :
 2x  4 x  3  0
y 3  2 y   0
2
2
3z  4 2z  5  0 .
Exercice 6 (Objectif : factorisations et équations-produits)
Après avoir effectué une factorisation, résoudre les équations suivantes :
a)  5 x  7  x  2    5 x  7  x  4   0
b)  x  3 x  7    x  311  2 x   0
c)  x  2  x  5   x  11 x  2   0
d)  5  5 x  2 x  3   5  5 x  x  4   0 .
22
La figure ci-contre représente un carré ABCD de côté a. On a tracé l’arc de cercle EM de centre D, de
rayon DM = x, et l’arc de cercle MF de centre C, de rayon CM.
1) Montrer que le périmètre P de la surface colorée est égal à 2a 
a
2
.
2) Montrer que P est une fonction linéaire de variable a.
 Semaine 24
● Le thème central inclut un travail sur l’équation x 2  a .
● En apprentissage parallèle, le DNS19, outre l’entretien des techniques, permet aux élèves de se
confronter à des exercices de brevet. Un problème plus compliqué et facultatif illustre une situation
géométrique faisant intervenir le calcul littéral. Suite au retour en classe sur le DNS18, il est
davantage traité (environ 20% des élèves).
On considère l’expression E   4 x  3   4 x  3 x  5  .
2
1) Développer et réduire l’expression E.
2) Factoriser l’expression E.
3) Résoudre l’équation  4 x  3 5x  2   0 .
Exercice 4 (Objectif : factorisations avec identités remarquables)
Factoriser les expressions littérales suivantes.
A  x 2  18 x  81
B  4 x 2  12 x  9
C  25 y 2  16 .
Exercice 5 (Objectif DNB)
1) On considère l’expression: E   x  3   x  1 x  2  .
2
1-a) Développer et réduire E.
2
1-b) Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de 99997  99999  99998 ?
2-a) Factoriser l’expression: F   4 x  1   4 x  1 7 x  6  .
2
2-b) Résoudre l’équation:  4 x  1 7  3x   0 .
On a posé à des élèves de 3e la question suivante :
2
« Est-il vrai que, pour n’importe quelle valeur du nombre x, on a : 5 x  10 x  2  7 x  4 ? »
2
– Léa a répondu : « Oui, c’est vrai. En effet, si on remplace x par 3, on a : 5  3  10  3  2  17 et
7  3  4  17 ».
– Myriam a répondu : « Non, ce n’est pas vrai. En effet, si on remplace x par 0, on a :
5  02  10  0  2  2 et 7  0  4  4 ».
Une de ces deux élèves a donné un argument qui permet de répondre de façon correcte à la
question posée dans l’exercice. Indiquer laquelle en expliquant pourquoi.
23
On considère la figure ci-contre dans laquelle les triangles TER et GEF sont des triangles rectangles
isocèles en E.
ER = ET = x cm (avec x  0 ) ; RG = TF = 5 cm. On souhaite déterminer x afin que l’aire du triangle TER
soit égale au quart de l’aire du triangle GEF.
1) Exprimer, en fonction de x, les aires des triangles TER et GEF.
2) Montrer que le problème revient à résoudre l’équation : 4 x 2   x  5   0 .
2
3) Résoudre cette équation et conclure.
 Semaine 25
● Le DNS20 permet de revenir sur le thème central de la semaine précédente avec un petit exercice
technique. Un nouvel exercice faisant le lien entre calcul littéral et géométrie est proposé : les
exigences augmentent, il est désormais obligatoire.
2
Exercice 1 (Objectif : résolution de l’équation x  a )
x 2  7225
y 2  49  15
3z 2  1  364 .
Exercice 2 (Objectif : calcul littéral et géométrie)
Les questions 1 et 2 sont largement indépendantes
Dans cette figure, AEFG , AHIJ et ABCD sont des carrés.
On suppose également que 0  x  4 .
1-a) Calculer AH en fonction de x.
1-b) En déduire l'aire de AHIJ en fonction de x.
1-c) Démontrer que l'aire la partie hachurée est :  4  x   4 .
2
2-a) Développer et réduire F   4  x   4 .
2
2-b) Factoriser F.
2-c) Résoudre l'équation   x  2   x  6   0 .
2-d) Pour quelle(s) valeur(s) de x l'aire de la partie hachurée est-elle nulle ?
 Semaine 26
● Pas de calcul littéral cette semaine. L’utilisation du tableur pour programmer l’algorithme d’Euclide
permet cependant de travailler avec des variables.
 Semaine 27
● Lors du brevet blanc n°2 (7ème évaluation sommative de l’année), deux exercices en lien avec le
calcul littéral sont proposés. Dans un troisième exercice non reproduit ici (QCM), il est demandé la
2
forme factorisée de 16 x  49 .
Soit l’expression littérale E   2 x  3   2 x  3 x  1 .
2
1) Développer et réduire l’expression E.
2) Factoriser l’expression E.
3) Résoudre l’équation  2 x  3 3x  4  0 .
24
Exercice 8 (Sur 4)
La copie d’écran ci-dessous montre le travail qu’a effectué Camille à l’aide d’un tableur à propos des
fonctions g et h définies par :
g  x   5x 2  x  7 et h  x   2 x  7 .
Elle a recopié vers la droite les formules qu’elle avait saisies dans les cellules B2 et B3.
1) Donner un nombre qui a pour image -1 par la fonction g.
2) Ecrire les calculs montrant que : g  2  11 .
3) Quelle formule Camille a-t-elle saisie dans la cellule B3 ?
4-a) Déduire du tableau une solution de l’équation 5 x 2  x  7  2 x  7 .
4-b) Cette équation a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur ? Si oui, laquelle ?
Les progrès sont significatifs, l’exercice technique est plutôt bien réussi tout comme l’exercice
incluant la maîtrise du tableur (hormis la question 4-b).
 Semaine 28
● Un « défi factorisations » est proposé aux élèves sur une séquence de 1h30 min.
Ce travail en groupes permet de faire la synthèse sur les factorisations et d’approfondir la réflexion. Il
est présenté dans ce TRAAM (voir paragraphe suivant).
Défi « factorisations »
L’objectif est de factoriser les cinq expressions littérales proposées ci-dessous.
A   3  x  2 x  1   x  3 7 x  5
B   2 y  5 6 y  2    9 y  3 2 y  6 
C   4t 2  9   12t
D  81z 2   9 z  1 3z  4   1  18 z
E   2 x  3  x 2   2 x  1
2
- Indique à chaque fois quelle démarche tu souhaites entreprendre au vu de ton expérience.
- Effectue ensuite la factorisation en précisant les différentes étapes.
- En cas de blocage, indique-le et précise ton problème.
- Si tu utilises le logiciel WxMaxima (après accord du professeur), précise ce que tu as fait et en quoi
le logiciel t’a aidé à mener à bien les calculs.
 Semaines 29 à 34
● Il est prévu de poursuivre le travail sur le calcul littéral en apprentissage parallèle.
● Une huitième et dernière évaluation sommative permettra une évaluation du calcul littéral
concernant notamment la factorisation d’expressions littérales avec identités remarquables, la
résolution d’équations-produits.
● Deux thèmes centraux, l’un sur les inéquations du premier degré, l’autre sur les systèmes
d’équations viendront achever le travail engagé sur les équations.
25

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