METHODE DES DEPLACEMENTS - Pagesperso

METHODE
DES
DEPLACEMENTS
1- Domaine d’application:
Æ poutres droites
Æ poutres à inertie constante
♦hypothèses:
N et V négligés
Mt = 0 (torsion)
♦ Approximation sur les déplacements:
Flexion :
N et V :
♦ Bases de calcul:
Equations de WILSON et MANEY
♦ Inconnues de la méthodes :
Elles sont appelées inconnues auxiliaires
Ce sont:
les rotations imposées aux nœuds wA, wB
les déplacements imposés aux nœuds vA, vB
Exemples :
⇒ le nombre d ’inconnues est
indépendant du d°h.
Méthode intéressante pour les
structures hautement hyperstatiques.
2- Nœuds fixes / déplaçables:
U Un nœud est fixe si 2 barres ⊥ entre elles partant du
nœud aboutissent à un point fixe.
U Une structure est à nœuds fixes si tous les nœuds sont
fixes.
U Une structure est à nœuds déplaçables dans le cas
contraire.
Exemples:
3- Structure à nœuds fixes :
Exemple :
Travail demandé :
Trouver les actions aux appuis et tracer les
diagrammes des efforts de cohésion le long de la poutre.
Principe :
Ecrire l’équilibre de chaque nœud.
MBA est l’action du nœud B sur la barre BA.
Donc l’action de la barre sur le nœud vaut : -MBA
⇒
r
r
∑ M B = 0 ⇒ − M BA − M BD − M BE − M BC + M ext = 0
Ici :
Nœud 2 :
- M21 - M23 = 0 ⇔
M21 + M23 = 0
(1)
M32 + M34 = 0
(2)
Nœud 3 :
- M32 - M34 = 0 ⇔
Il faut ensuite exprimer chaque moment en fonction
des rotations.
(Equations de WILSON et MANEY)
Nœuds fixes :
(barres bi-encastrée
aux autres barres)
2 EI
M AB =
(2 wA + wB ) + M AB
l
2 EI
M BA =
( wA + 2 wB ) + M BA
l
Actions encastrement parfait
⇓
FORMULAIRE
2
2
M 23
ql
=
12
M 32
ql
=−
12
Nœuds fixes :
(barre articulée à
une extrémité)
3EI
M AB =
( wA ) + M AB
l
M BA = 0
Actions encastrement parfait
⇓
FORMULAIRE
M 12 = 0
ql
M 21 = −
8
2
Cela nous donne donc :
Nœud 2 :
3EI
ql122
( w2 ) + (−
)
M 21 =
8
l21
M 23
2
23
ql
2 EI
=
(2 w2 + w3 ) +
12
l23
3EI
25q
⎧
⎫
M 21 =
w2 −
⎪
⎪
5
8
⇒⎨
⎬
49q
2 EI
⎪M 23 =
⎪
(2 w2 + w3 ) +
7
12 ⎭
⎩
− 25 49
3EI 4 EI
2 EI
w3 + q (
+
+ )=0
(1) ⇔ (
) w2 +
12
5
7
7
8
41EI
2 EI
92q
⇔
w2 +
w3 +
=0
35
7
96
41
2
EI .w2 + EI .w3 = −1917
⇔
35
7
Nœud 3 :
2
2 EI
q7
M 32 =
(2 w3 + w2 ) −
7
12
2
3EI
q8
( w3 ) +
M 34 =
8
8
53
2
(2) ⇔
EIw3 + EIw2 = −7833
56
7
On aboutit à n équations à n nœuds, la résolution
du système donne toutes les rotations des nœuds.
2
⎧ 41
⎫
+
.
=
−
1917
.
EI
w
EI
w
2
3
⎪ 35
⎪
7
⎨ 53
⎬
2
⎪
EIw3 + EIw2 = −7833 ⎪
7
⎩ 56
⎭
⎧ EIw2 = 412.5
⎨
⎩ EIw3 = −8401
Il faut ensuite déterminer les moments aux
extrémités en remplaçant les rotations par
leur valeurs.
3EI 412.5 25q
M 21 =
(
)−
⇒ M 21 = −6002.5 N .m
EI
8
5
M23 = 6002.5 N.m
3EI 8401
M 34 =
(−
) + 8q ⇒ M 34 = 12850 N .m
8
EI
M = -12850 N.m
32
Il reste ensuite à déterminer les actions aux appuis
en tenant compte d ’une superposition pour les
appuis intermédiaires.
R1 = R12
R2 = R21 + R23
R3 = R32 + R34
R4 = R43