corrigé du devoir n°2

UC de Logique
Sciences du langage
2009-2010
Logique
Cours de Licence de Sciences du Langage (L2)
Alain Lecomte – Professeur, Université Paris 8
Devoir n°2 - corrigé
Exercice 1
On admet que les trois phrases suivantes sont vraies :
- Nicolas aime Audrey Tautou ou Lara Fabian
- Si Nicolas n’aime pas Patrick Bruel, alors il n’aime pas non plus Audrey Tautou
- Si Nicolas aime Lara Fabian, alors il n’aime pas Patrick Bruel
1- En admettant que Nicolas aime une et une seule personne parmi les trois citées, qui aime-til ?
Les trois phrases peuvent se symboliser comme suit :
-t∨f
- ¬b ⇒ ¬t
- f ⇒ ¬b
Tables de vérités de ces formules :
t
f
b
t∨f
¬b ⇒ ¬t
f ⇒ ¬b
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
Les seules lignes qui nous concernent dans cette table sont celles où N. aiment une et une
seule personne, autrement dit les lignes n° 4, 6 et 7. A la ligne n°4, la phrase n°2 est fausse, à
la ligne n° 6, les trois sont vraies, à la ligne n°7, la phrase n°1 est fausse. Donc la seule ligne
où les trois phrases sont vraies et où N. aime une et une seule personne est la ligne n°6, ce qui
correspond au cas où il aime Lara Fabian.
2- En admettant qu’il aime exactement deux personnes parmi ces trois, quelles sont ces deux
personnes ?
En ce cas, les lignes qui nous intéressent sont les lignes n° 2 (Tautou et Fabian), 3 (Tautou et
Bruel), et 5 (Fabian et Bruel). Parmi ces lignes, seule la ligne n°3 rend vraies les trois phrases,
ce qui correspond au cas où il aime Tautou et Bruel.
Exercice 2
Pierre dit : « je n’ai pas fumé de cigarettes et je n’ai pas bu d’alcool »
Sa mère dit : « si tu as bu de l’alcool, alors tu as fumé des cigarettes »
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Sciences du langage
2009-2010
Son père dit : « ou bien tu as fumé des cigarettes, ou bien tu as bu de l’alcool »
1- Ces trois paroles sont-elles compatibles ?
2- Si le père et la mère disent vrai, que conclure de ce que dit Pierre ? qu’a-t-il fait ?
Pierre : ¬c ∧ ¬a
Mère de Pierre : a ⇒ c
Père de Pierre : c ⊕ a
Tables de vérité :
c
1
1
0
0
a
1
0
1
0
¬c ∧ ¬a
0
0
0
1
a⇒c
1
1
0
1
c⊕a
0
1
1
0
Dire que les trois phrases sont compatibles est dire qu’il existe une ligne où elles sont toutes
les trois vraies en même temps. Or, il n’existe pas de telle ligne. Donc ces trois phrases sont
incompatibles. Il y a forcément quelqu’un qui ment !
Il n’y a qu’un seul cas où le père et la mère disent vrai, c’est la deuxième ligne. Dans ce cas,
Pierre évidemment ment. Il n’a pas bu d’alcool, certes, mais il a fumé des cigarettes !
Exercice 3 – Enquête policière
On sait qu’un crime a été commis dans une pièce aux alentours de 20h. On est arrivé aux
conclusions suivantes :
Si Nicolas est entré dans la pièce un peu avant 20 heures, alors de deux choses l’une : ou bien
François n’est jamais venu dans la pièce ou bien Bernard était déjà là. Il n’est pas vrai que
Nicolas et Bernard aient été ensemble dans la pièce. Si Bernard était dans la pièce au
moment où le meurtre a été commis, alors Xavier n’y était pas. Il est avéré que Xavier était
dans la pièce, mais pas seul et que Xavier n’a pas pu commettre le meurtre.
Alors… qui a tué ?
Formules :
n ⇒ (¬f ⊕ b) équivalente à n ⇒ ( f ⇔ b)
¬(n ∧ b)
b ⇒ ¬x
x
b∨n∨ f
Table :
Comme x est vrai, on va se contenter des lignes de la table où x est vrai.
x
1
1
1
1
1
1
1
1
b
1
1
1
1
0
0
0
0
n
1
1
0
0
1
1
0
0
f
1
0
1
0
1
0
1
0
f ⇔b
1
0
1
0
0
1
0
1
n ⇒ ( f ⇔ b)
1
0
1
1
0
1
1
1
¬(n ∧ b)
0
0
1
1
1
1
1
1
b ⇒ ¬x
0
0
0
0
1
1
1
1
b∨n∨ f
1
1
1
1
1
1
1
0
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Sciences du langage
2009-2010
Comme on le voit, il y a en réalité deux solutions possibles :
La solution x = 1, b = 0, n = 1, f = 0, où Nicolas est le coupable
La solution x = 1, b = 0, n = 0, f = 1, où François est le coupable.
Exercice 4
Les formules suivantes sont-elles des tautologies ?
((¬p ∨ q ) ∧ (r ⇒ ( p ⇔ q)))
((¬( p ⇔ q ) ∨ (q ∧ r )) ⇒ p)
(( p ⇒ r ) ⇒ ((q ⇒ r ) ⇒ (( p ∨ q) ⇒ r )))
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
¬p∨q
1
1
0
0
1
1
1
1
p⇔q
1
1
0
0
0
0
1
1
r⇒ (p⇔q)
1
1
0
1
0
1
1
1
(¬p∨q)∧( r⇒ (p⇔q))
1
1
0
0
0
1
1
1
D’où il ressort que la formule (¬p∨q)∧( r⇒ (p⇔q)) n’est pas une tautologie.
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
¬(p⇔q)
0
0
1
1
1
1
0
0
(q∧r)
1
0
0
0
1
0
0
0
¬(p⇔q)∨ (q∧r)
1
0
1
1
1
1
0
0
(¬(p⇔q)∨ (q∧r))⇒p
1
1
1
1
0
0
1
1
Cette formule n’est donc pas, non plus une tautologie
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
p⇒r
1
0
1
0
1
1
1
1
q⇒r
1
0
1
1
1
0
1
1
p∨q
1
1
1
1
1
1
0
0
(p∨q) ⇒r
1
0
1
0
1
0
1
1
(q⇒r) ⇒ ((p∨q) ⇒r)
1
1
1
0
1
1
1
1
formule
1
1
1
1
1
1
1
1
La formule (( p ⇒ r ) ⇒ ((q ⇒ r ) ⇒ (( p ∨ q) ⇒ r ))) est donc une tautologie. De fait, il est
toujours vrai que si on a la fois p et q qui impliquent une proposition r, alors l’alternative (p
ou q) implique bien r.