Estimation et quantification des entrées de profil

Estimation et quantification des entrées de profil à
l’aide d’observateurs triangulaires à modes
glissants
H. Imine12 , N. K. M’Sirdi1 , et Y. Delanne2
1
Laboratoire de Robotique de Versailles
10-12 Avenue de l’Europe 78140 VELIZY. France
2
Laboratoire Central des Ponts et Chaussées (LCPC)
Route de Bouaye - BP 4129 - 44341 Bouguenais cedex. France
[email protected]
Résumé– Cet article traite l’estimation du profil de route à l’aide d’observateurs robustes par
modes glissants à entrées inconnues. Nous développons l’observateur triangulaire et nous étudions la
convergence en temps fini de celui-ci afin de quantifier les entrées de chaussée. Des résultats de simulation et une validation expérimentale montrent
les performances de ces observateurs.
Mots-clés– Profil de route, modèle du véhicule, observateur triangulaire à modes glissants, estimateur
Fig. 1. principe du théodolite
I. Introduction
La géométrie et les déformations du sol modifient constamment la répartition des forces de contact
roue/sol. Les orientations du véhicule et les positions et orientation des roues (élasto cinématique
des trains) en dépendent également. Ces éléments influencent donc directement la réponse dynamique du
véhicule. Le profil est donc une entrée indispensable
à connaitre pour assurer la validité des simulations et
études en dynamique automobile.
La mesure et la reconstruction du profil de chaussée a été pendant des années le sujet de beaucoup de
recherches ([1], [2], [3], [4], [5]). Dans les applications
routières plusieurs méthodes ont été développées :
— Relevé topographique ou assimilé :
- Par théodolite et mire (Rod and Level en anglais)
comme le montre la figure (1) ;
- par règle et repérage de nivellement (figure (2)) ;
- par relevé topographique et GPS différentiel.
Ces méthodes s’avérent cependant, relativement
lourdes à mettre en oeuvre. La précision de la première et de la troisième méthode dépend beaucoup
de l’opérateur et peut atteindre, au mieux, l’ordre du
Fig. 2. principe de la règle
cm pour un relevé de 100m de long. La seconde citée
est en cours de développement au LCPC. Sa précision
devrait être de l’ordre de quelques millimètres.
Ces méthodes ne relèvent que le profil sur une seule
trace. En conséquence, elles sont peu applicables et
pas généralisablespour obtenir un profil 3D.
— Mesure par un appareil dynamique :
Il existe plusieurs appareils, les plus utilisés sont
ceux à référence inertielle :
- L’analyseur de profil en long du LCPC qui donne
une ”image” du profil sur une trace de mesure dans
une bande de longueur d’onde comprise entre 0.7 et
50m ([6], [7]).
- Le GMR Road profilometer, dite méthode inertielle : la méthode la plus utilisée dans le monde. Elle
a été developpée par General Motors et consiste à faire
passer sur une chaussée, un véhicule muni de capteurs
de distance et d’accéléromètres dans les deux traces de
roulement et d’enregistrer les signaux décrivant l’état
dynamique de la caisse ([8], [9]).
A partir de ces différents signaux mesurés, on reconstruit le profil de la route. Cette méthode présente
cependant quelques inconvénients :
- elle reste tributaire du type et du nombre de capteurs nécessaires pour extraire l’information voulue ;
- il est impossible de détecter les grandes longueurs
d’ondes de chaussée par utilisation de simples accéléromètres ;
- il est impossible de relever un profil 3D des mesures élémentaires nécessaires pour le module de simulation d’interaction véhicule/route.
Notre travail, qui entre dans le cadre d’une collaboration de recherche entre le Laboratoire de Robotique
de Versailles et le Laboratoire Central des Ponts et
Chaussées, consiste à développer un estimateur des
quatre traces de roulement du véhicule que l’on souhaite précis (précision inférieure au mm ) et économique (réduire le nombre de capteurs). L’approche
considérée, est basée sur la mise en oeuvre d’observateurs non linéaires robustes à modes glissants, partant de mesures disponibles : débattements et vitesses
([10], [11], [12]). Afin de pouvoir remonter vers un profil 3D de la chaussée, nous avons besoin des quatre
traces de roulement du véhicule sur la route. La mise
au point d’un tel estimateur, nécessite au préalable le
développement d’un modèle dynamique du véhicule
qui doit être en même temps assez complet et simple
pour une simulation proche du comportement réel du
véhicule.
II. Modèle dynamique du véhicule
Dans cette partie, nous nous intéressons aux excitations de chaussée et à l’interaction pneumatique-route
([13], [14]). Le modèle est établi en faisant un certain
nombre d’hypothèses simplificatrices suivantes :
— Le véhicule roule à vitesse constante ;
— les roues roulent sans glissement et sans perte de
contact ;
— nous supposons les angles de débattement de suspension faibles.
Le modèle dynamique du système peut s’écrire
sous la forme suivante :
M q̈ + C q̇ + Kq = [ζ T ζ T1 ]T ,
£
(1)
¤T
le vecteur
avec q = z1 z2 z3 z4 z θ φ ψ
des coordonnées généralisées. Les variables ζ et ζ 1 ∈
<4×4 sont définies par :
½
ζ = A11 U + B11 U̇
.
ζ 1 = [0 0 0 f (δ f , β)]T
(2)
Les matrices A11 et B11 sont données par : A11 =
diag(kr1 , kr2 , kf 1 , kf 2 ), B11 = diag(Br1 , Br2 , Bf 1 , Bf 2 ).
Le vecteur ζ 1 est fonction de l’angle de braquage δ f
et de l’angle de dérive du véhicule β ([15]). La fonction
f (δ f , β) est donnée par :
f (δf, β) = −2(r1 Cyf − r2 Cyr )β + 2r1 Cyf δf
(3)
où r1 et r2 représentent respectivement la distance
entre le centre de gravité et les deux axes avant et
arrière. Les coefficients Cyr et Cyf sont les raideurs de
dérive qui dépendent de la nature de l’adhérence de
la chaussée (neige, pluie..).
Les matrices A11 ∈ <4×4 et B11 ∈ <4×4 sont données par : A11 = diag(kr1 , kr2, kf 1 , kf 2 ) et B11 =
diag(Br1 , Br2, Bf 1 , Bf 2 )
la matrice
d’inertie
M ∈ R8×8 représente
∙
¸
M1 0
du système : M =
où M1 =
0 M2
diag(m1 , m2 , m3 , m4 ) et M2 = diag(m, Jxx , Jyy , Jzz ).
mi représente la masse de la roue i, m est la masse
suspendu, Jxx , Jyy et Jzz sont respectivement les moments d’inertie de la caisse du véhicule suivant les axes
X, Y et Z. C ∈ <8×8 est la matrice d’amortissements :
∙
¸
C11 C12
C=
,
(4)
C21 C22
(Cij , i, j = 1, 2) sont des matrices définies dans le
domaine <4×4 ,
où C11 = diag(B1 + Br1 , B2 + Br2 , B3 + Bf 1 , B4 +
Bf 2 ) est une matrice diagonale définie positive,
⎤
⎡
−B1 C16 C17 0
⎢ −B2 C26 C27 0 ⎥
⎥
C12 = ⎢
⎣ −B3 C36 C37 0 ⎦
−B4 C46 C47 0
⎡
⎤
−B1 −B2
−B3
−B4
⎢ B1 pr −B2 pr B3 pf −B4 pf ⎥
⎥
C21 = ⎢
⎣ B1 r2 B2 r2 −B3 r1 −B4 r1 ⎦
C81
C82
C83
C84
⎤
⎡
C55 C56 C57 0
⎢ C65 C66 C67 0 ⎥
⎥
C22 = ⎢
⎣ C75 C76 C77 0 ⎦
C85 C86 C87 C88
Les éléments de ces matrices sont :
C16 = B1 pr cos(θ)
C17
C26
C27
C36
C37
C46
C47
C55
C56
C57
C65
C66
C67
C75
C76
C77
C88
= B1 r2 cos(φ)
= −B2 pr cos(θ)
= B2 r2 cos(φ)
= B3 pf cos(θ)
= −B3 r1 cos(φ)
= −B4 pf cos(θ)
= −B4 r1 cos(φ)
= (B1 + B2 + B3 + B4 )
= −((B1 − B2 )pr + (B3 − B4 )pf ) cos(θ)
= −((B1 + B2 )r2 + (B3 + B4 )r1 ) cos(φ)
= −((B1 − B2 )pr + (B3 − B4 )pf )
= −(B1 + B2 + B3 + B4 )pf pr cos(θ)
= −(−(B1 − B2 )r2 pr − (B3 − B4 )r1 pf ) cos(φ)
= −((B1 + B2 )r1 − (B3 + B4 )r2 )
= −(−(B1 − B2 )r2 pr + (B3 − B4 )r1 pf ) cos(θ)
= ((B1 + B2 )r22 + (B3 + B4 )r12 ) cos(φ)
= 2(Cyf r12 + Cyr r22 )/v
¸
K11 K12
s’exprime en foncLa matrice K =
K21 K22
tion des coefficients de raideurs où K11 = diag(k1 +
kr1 , k2 + kr2 , k3 + kf 1 , k4 + kf 2 ) est une matrice diagonale définie positive,
∙
K12
K21
K22
⎡
−k1 k1 pr
k1 r2
⎢ −k2 −k2 pr k2 r2
= ⎢
⎣ −k3 k3 pf −k3 r1
−k4 −k4 pf −k4 r1
⎡
−k1 −k2
−k3
⎢ k1 pr −k2 pr k3 pf
= ⎢
⎣ k1 r2 k2 r2 −k3 r1
K81
K82
K83
⎡
0
K55 K56 K57
⎢ K65 K66 K67
0
= ⎢
⎣ K75 K76 K77
0
K85 K86 K87 K88
⎤
0
0 ⎥
⎥
0 ⎦
0
III. Estimation et quantification des
entrées inconnues
L’objectif particulier de cette partie, est la convergence en temps fini de l’observateur de type triangulaire ([18]). Ceci permet non seulement de borner l’erreur d’estimation des entrées inconnues, mais aussi et
surtout de quantifier les valeurs estimées de ces entrées. Le vecteur de mesures disponibles, dans ce cas,
est composé des positions z1 , z2 , z3 , z4 , z, θ, φ, ψ et
des vitesses de caisse ż, θ̇, φ̇, ψ̇.
En prenant comme vecteurs d’état : x1 = q et x2 =
q̇ = (xT21 , xT22 )T , où x21 = [ż1 ż2 ż3 ż4 ]T et x22 = [ż
θ̇ φ̇ ψ̇]T , on met le modèle (1) sous la forme d’état
suivante :
⎧
x1 = q
⎪
⎪
⎪
⎪
ẋ1 = x2
⎪
⎪
.
⎪
−1
⎪
⎨ x21 = −M1 (C11 x21 + C12 x22 + K11 x1 )
−1
+M1 ζ
. (5)
.
⎪
−1
⎪
⎪ x22 = −M2 (C21 x21 + C22 x22 + K22 x1 )
⎪
⎪
−1
⎪
⎪
⎪ +M2 ζ 1
⎩
y = [xT1 , xT22 ]T
Les matrices de raideurs K11 et K22 sont définies
dans <4×8 .
Le système étant posé, nous pouvons définir l’observateur triangulaire et en étudier la convergence.
A. Observateur triangulaire par modes glissants
⎤
−k4
−k4 pf ⎥
⎥
−k4 r1 ⎦
K84
⎤
⎥
⎥
⎦
Les éléments de ces matrices sont donnés par :
K55 = (k1 + k2 + k3 + k4 )
K56 = −((k1 − k2 )pr + (k3 − k4 )pf )
K57 = −((k1 + k2 )r2 + (k3 + k4 )r1 )
K65 = −((k1 − k2 )pr + (k3 − k4 )pf )
K66 = −(k1 + k2 + k3 + k4 )pf pr + (karr + karf )
K67 = ((k1 − k2 )r2 pr + (k3 − k4 )r1 pf )
K75 = −((k1 + k2 )r1 − (k3 + k4 )r2 )
K76 = −(−(k1 − k2 )r2 pr + (k3 − k4 )r1 pf )
K77 = ((k1 + k2 )r22 + (k3 + k4 )r12 )
Nous développons dans ce qui suit, l’observateur à
modes glissants pour reconstituer les états du système
et estimer les entrées inconnues ([16], [17]).
On suppose connus les paramètres du système. La
structure de l’observateur proposé est triangulaire
([19]) :
⎧ .
⎪
⎨ x̂. 1 = x̂2 + H1 sign1 (x̃1 )
x̂21 = −M1−1 (C11 x̂21 + C12 x22 + K11 x̂1 )
⎪
⎩
+M1−1 ζ̂ + H21 sign2 (x̄21 − x̂21 )
(6)
x̂1 et x̂2 sont respectivement les états estimés de x1 et
x2 . ζ̂ est l’estimée de ζ. H1 ∈ <8×8 , H21 ∈ <4×4 et
H22 ∈ <4×4 sont des matrices de gains définies positives.
La variable x̄2 est définie par :
x̄2 = x̂2 + H1 signmoy (x̃1 )
(7)
signmoy est l’équivalent de la fonction sign dans la
surface de glissement (x̃1 = 0). Les dynamiques d’erreurs d’estimation sont données par le système d’équation suivant :
⎧ .
⎪
⎨ x̃. 1 = x̃2 − H1 sign1 (x̃1 )
(8)
x̃21 = −M −1 (C11 x̃21 + K11 x̃1 ) + M1−1 ζ̃
⎪
⎩ −H sign 1(x̄ − x̂ )
21
2 21
21
B. Etude de convergence
Le système est à entrées bornées et états bornés (EBEB), l’étude de convergence se fait en deux
étapes. La première étape, est consacrée à l’étude de
convergence de la position x̂1 . Pendant cette étape, la
fonction sign2 est mise à 0 (puisque la surface de glissement n’a pas encore été atteinte ) et elle est égale
à la fonction sign à l’intérieur de celle-ci ([19]). Le
système d’équations (8) s’écrit :
( .
x̃1 = x̃2 − H1 sign1 (x̃1 )
.
(9)
x̃21 = −M1−1 (C11 x̃21 + K11 x̃1 ) + M1−1 ζ̃
¯
¯
¯ −1 ¯
choisissant la matrice de gains hi21 > ¯Mi1
ζ̃ i ¯ pour
i = 1...4 , nous avons alors V̇21 < 0, ce qui implique la
temps fini t2 > t1 .
convergence de x̃21 vers 0 après un
.
Par conséquent, nous obtenons x̃21 = 0.
Le système (12) devient alors, après le temps t2 :
( .
x̃1 = 0
.
(15)
x̃21 = 0
Ainsi, et d’après (12), on peut estimer la variable ζ̂
telle que :
ζ̃ = ζ − ζ̂ = M1 H21 signmoy (x̃21 )
En prenant la fonction de Lyapunov suivante :
(16)
On en déduit finalement ζ telle que :
1
V1 = x̃T1 x̃1
(10)
2
On montre que si les éléments de la matrice diagonale
H1 sont choisis tels que hi1 > |x̃i2 | pour i = 1...8,
V̇1 < 0. Nous avons alors la convergence de x̃1 vers
0 après un temps fini t1. . On peut donc écrire sur la
surface de glissement : x̃1 = x̃2 − H1 signmoy (x̃1 ) = 0
⇒ x̃2 = H1 signmoy (x̃1 ).
On déduit, d’après (7) que :
La détermination de cette variable ζ est éssentielle
pour obtenir le vecteur d’entrée U . On résoud alors
l’équation différentielle suivante :
x̄2 = x2
En considérant l’état initial U (t = 0) = 0, on obtient
après résolution de l’équation (18) les éléments ui du
vecteur d’entrée inconnu U, tels que :
(11)
Par conséquent x̄21 = x21 (x22 étant mesurée).
La deuxième étape consiste à étudier la convergence
de x2 en un temps fini sur la surface de glissement
x̃1 = 0 ainsi que l’estimation du vecteur ζ (pour t >
t1 ).
Sur cette surface, la dynamique de l’erreur d’observation est la suivante :
( .
x̃1 = 0
.
x̃21 = −M1−1 C11 x̃21 + M1−1 ζ̃ − H21 sign(x̃21 )
(12)
Sur cette surface de glissement, la fonction sign2 est
remplacée par la fonction sign usuelle.
Pour étudier la convergence de l’erreur en vitesse x̃2 ,
on commence par étudier la convergence du vecteur
x̃21 .
On choisit alors la fonction de Lyapunov suivante :
1
V21 = x̃T21 M1 x̃21
2
(13)
La dérivée de cette fonction et d’après (12), donne :
V̇21 = x̃T21 (−C11 x̃21 + ζ̃ − M1 H21 signmoy (x̃21 )) (14)
Comme ζ̃ est bornée et puisque durant
cette étape, la
.
première condition reste vérifiée (x̃1 = 0) et comme
C11 est une matrice diagonale définie positive, en
ζ = ζ̂ + M1 H21 signmoy (x̃21 )
A11 U + B11
ui =
dU
=ζ
dt
ζi
aii
(1 − exp(− t)), i = 1..4
aii
bii
(17)
(18)
(19)
où aii et bii sont les éléments respectivement des matrices A11 et B11 .
IV. Résultats expérimentaux
Dans ce paragraphe, nous comparons les résultats
d’estimation du profil par observateurs à modes glissants et le pseudo profil corrigé APL. Des essais sont
effectués sur la piste du LCPC de Nantes. L’APL,
tracté par un véhicule d’essai (P eugeot 406) à une vitesse quasi constante, mesure le profil de route. L’exploitation des signaux capteurs, nécessite au préalable, un pré-traitement pour vérifier leurs cohérences
et enlever les bruits de mesure. On rappelle que la fréquence d’échantillonnage est de 400Hz. Afin d’évaluer
l’influence de la vitesse sur les résultats d’estimation
par les différentes méthodes citées plus haut, les essais
ont été réalisés à une vitesse moyenne de 72km/h. Les
courbes de la figure (3) montrent une bonne estimation des déplacements verticaux des roues puisqu’ils
convergent rapidement en temps fini.
Sur la première ligne de la figure (4), on montre
que l’estimation du débattement de caisse ainsi que
de l’angle de lacet est de bonne qualité.
Fig. 5. angles de roulis et tangage : mesurées et estimées
Fig. 3. déplacements des roues : estimés et mesurés
Fig. 6. comparaison du profil estimé par observateur et du
pseudo profil corrigé APL
bien reconstituées.
Fig. 4. Estimation de débattement de caisse et l’angle de
lacet et les vitesses respectives
L’estimation des vitesses de caisse et de lacet est
donnée sur la deuxième ligne de cette même figure.
On note une bonne observation de la vitesse de caisse
alors que la vitesse de lacet est estimée avec un léger décalage par rapport à la mesure. Les estimés des
angles de roulis et de tangage ainsi que les vitesses
respectives sont représentées sur la figure (5).
Nous remarquons que la convergence de ces états
est très rapide et l’estimation de qualité. La bonne reconstruction de ces variables d’états, permet d’estimer
les entrées inconnues.
Le profil ainsi reconstitué est représenté sur la figure
(6).
Comparé au pseudo profil corrigé APL, on remarque que ces deux profils ont la même allure.
Cependant, quelques erreurs d’estimation subsistent. La figure (9) montre que les deux plaques situées sur la piste du LCPC (figures (7) et (8)) sont
Fig. 7. plaque de la piste
En effet, la réaction de l’estimateur à ces deux pics
de hauteurs de 10 et 8 mm est satisfaisante. Elle
montre la capacité de notre approche à estimer de
tels défauts de chaussée.
V. Conclusion
Nous avons développé dans cet article des observateurs triangulaires à modes glissants, afin d’estimer les
entrées inconnues représentant l’élévation de la chaussée au niveau des quatre roues d’un véhicule instrumenté. Nous avons supposé que le vecteur de mesures
est composé des quatre débattements de caisse, du
39 m
Plaque
1m
1m
Plaque
10 mm
8 mm
[3]
[4]
environ 200m
[5]
Fig. 8. position des plaques sur la piste LCPC
[6]
[7]
[8]
[9]
Fig. 9. estimation des plaques de la piste du LCPC
déplacement de celle-ci par rapport à un repère absolu et de ses orientations (roulis, tangage et lacet).
Nous avons comparé nos résultats d’estimation aux
mesures APL (pseudo profil corrigé) qui a servi de référence pour notre étude. Nous avons remarqué que
l’estimation des différents états était correcte. L’estimation des signaux d’entrées suit l’allure du pseudo
profil APL avec un léger décalage.
Nous avons utilisé les observateurs triangulaires par
modes glissants pour estimer en un temps fini les différents états et de quantifier les valeurs des quatre
traces de roulement du véhicule sur la chaussée (profil de route). Cette comparaison est faite dans le domaine spectral de l’APL. Cette étude comparative
montre que l’estimation par ces deux méthodes est
globalement correcte. Cependant, quelques écarts locaux apparaissent, il est important de savoir si ces
écarts ne pénalisent pas l’aptitude de ces profils (de
bande passante plus large que l’APL) à déterminer la
réponse dynamique d’un véhicule (on sait que le profil
APL n’est pas correct pour estimer cette réponse dynamique). Un travail traitant ce problème a déja été
réalisé.
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
Références
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