Polycopié 4e : Chapitre 1 : Pour l`initiation à la démonstration :

CHAPITRE 5
CARACTÉRISATION D’UN TRIANGLE RECTANGLE PAR L’ÉGALITÉ DE PYTHAGORE.
I. CARRÉ D’UN NOMBRE.
Définition :
Si a est un nombre, alors on appelle carré de a le nombre a
2
= a × a .
a 2 se lit « a au carré » .
Exemples :
●
3 2 = …………
(car
3 2 = …………  ………… )
●
8 2 = …………
(car
8 2 = …………  ………… )
A la calculatrice :
Pour calculer
32
à la calculatrice, il suffit de repérer la touche
et de taper la séquence
suivante :
Exemples :
Le tableau suivant est à connaître :
Nombre
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Carré
L. GUADALUPI
Chapitre 5 – Synthèse
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II. ÉGALITÉ DE PYTHAGORE.
Définition :
On dit que trois nombres a , b et c vérifient l’égalité de Pythagore s’ils sont tels que :
a2 = b2 + c2
On dit également que le triplet ( a ; b ; c ) est un triplet pythagoricien.
Exemples
●
Les nombres 3, 4 et 5 vérifient-ils l’égalité de Pythagore ?
D’une part :
et d’autre part :
32 + 42
………
2
=
9 + 16
=
…………
=
25
Donc les nombres 3, 4 et 5 vérifient l’égalité de Pythagore.
●
Les nombres 65, 72 et 97 vérifient-ils l’égalité de Pythagore ?
D’une part :
et d’autre part :
65 2 + 72 2
97
2
=
………………… + …………………
=
…………………
=
…………………
Donc les nombres 65, 72 et 97 vérifient l’égalité de Pythagore.
L. GUADALUPI
Chapitre 5 – Synthèse
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III. RACINE CARRÉE D’UN NOMBRE POSITIF.
Définition :
Si a est un nombre positif, alors le nombre positif dont le carré est égal à a s’appelle la racine
carrée de a. On le note
a .
En langage mathématique : Si a est un nombre positif, alors
a
=
(
a
) 2=
a ×
a .
Exemples :
2
●
9
= …………
car
………… = 9.
●
81 = …………
car
………… = 81.
●
–1 n’existe pas
car
(–1) est un nombre négatif.
2
A la calculatrice :
Pour calculer
81
à la calculatrice, il suffit de repérer la touche
et de taper la
séquence suivante :
IV. VOCABULAIRE.
Définition :
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
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Chapitre 5 – Synthèse
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V. TRIANGLES RECTANGLES ET ÉGALITÉ DE PYTHAGORE
Propriétés de Pythagore :
● …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
● …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
● …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
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Chapitre 5 – Synthèse
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VI. DÉMONTRER QU’UN TRIANGLE DONT ON CONNAÎT LA LONGUEUR DES TROIS CÔTÉS EST RECTANGLE.
Méthode pour démontrer qu’un triangle dont on connaît la longueur des trois côtés est
rectangle :
…
L’unité de longueur est le centimètre
Soit MER un triangle tel que :

ME = 8.5 ;

ER = 7.5 ;

MR = 4.
…
Démontrons que le triangle MER est rectangle.
…
On sait que le côté le plus long du triangle MER est le côté …………………… .
Donc si le triangle MER est rectangle, ce ne peut être qu’en ……………… .
D’une part
ME
2
= ……………………
= ……………………
et d’autre part ……………
Ainsi
……………
2
2
+ ……………
2
2
= …………… + ……………
2
=
…………………… + ……………………
=
…………………… + ……………………
=
……………………
2
2
Donc, d’après ……………………………………………………………………………………………………………………… le triangle MER est
rectangle ……………………… .
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VII. DÉMONTRER QU’UN TRIANGLE DONT ON CONNAÎT LA LONGUEUR DES TROIS CÔTÉS N’EST PAS
RECTANGLE.
Méthode pour démontrer qu’un triangle dont on connaît la longueur des trois côtés n’est pas
rectangle :
…
L’unité de longueur est le centimètre
Soit TOC un triangle tel que :

TO = 77 ;

OC = 35 ;

CT = 85.
…
Démontrons que le triangle TOC n’est pas rectangle
On sait que le côté le plus long du triangle TOC est le côté …………………… .
Donc si le triangle TOC est rectangle, ce ne peut être qu’en ……………… .
D’une part
…
CT 2 = ……………………
= ……………………
et d’autre part ……………
Ainsi
……………
2
2
+ ……………
2
2
≠ …………… + ……………
2
=
…………………… + ……………………
=
…………………… + ……………………
=
……………………
2
2
Donc, d’après ………………………………………………………………………………………………
le triangle TOC n’est pas
rectangle ……………………… , et donc le triangle TOC n’est pas rectangle.
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III. APPLICATION AU CALCUL DE LONGUEUR.
1. Méthode pour calculer la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont on connaît la
longueur des deux côtés de l’angle droit :
I
L’unité de longueur est le centimètre
Soit GIF un triangle rectangle en I tel que :
 GI = 5,7
 IF = 7,6
Calculer la longueur du segment [GF].
G
F
On sait que le triangle GIF est rectangle en I.
Donc, d’après le théorème de Pythagore,
……………
= …………… + ……………
……………
= …………… + ……………
= …………… + ……………
= ……………
Et donc
……………
= ……………
= ……………
Le côté [GF] mesure donc ………………………………………………………………………………………………………………………………… .
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2. Méthode pour calculer la longueur d’un côté de l’angle droit d’un triangle rectangle dont on
connaît la longueur de l’hypoténuse et de l’autre côté de l’angle droit :
L’unité de longueur est le centimètre
D
Soit MDR un triangle rectangle en M tel que :
 MD = 3
 DR = 5
M
Calculer la longueur du segment [MR].
R
On sait que le triangle MDR est rectangle en M.
Donc, d’après le théorème de Pythagore,
……………
= …………… + ……………
……………
= …………… + ……………
= …………… + ……………
Ainsi,
……………
= …………… – ……………
= ……………
Et donc
……………
= ……………
= ……………
Le côté [MR] mesure donc ……………………………………………………………………………………………………………………………… .
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