CORRIGE 6 – 5

S1
2009
« Plus que le rire, le nombre est le propre de l'homme »
Georges Ifrah – Historien des mathématiques
CONCOURS INTEGRAL
Concours scolaire solidaire
Lundi 26 janvier 2009 – Durée : 45 min
CORRIGE 6ème – 5ème
De drôles de maths !
Organisé au profit de l’opération
« UN VACCIN, POUR LA VIE ! ! »
© Geenen / Unicef
0 à 5 réponses correctes par question
BAREME
Proposition correcte cochée :
Proposition mauvaise cochée :
+ 3 pts
-2 pts
Crédit :
120 pts
EPREUVE SANS CALCULATRICE : les calculs
s’effectuent toujours simplement, avec un peu
d’astuce.
CHAQUE PARTICIPANT recevra le Livret
Scientifique Integraλ, ainsi qu’un abonnement
découverte de 5 numéros à Mon Quotidien ou l’Actu.
ACTION SCOLI’DAIRE – Association Loi de 1901 – Préfecture du Rhône n° 0691049381 – SIRET n°450 069 141 000 23
19 rue de la Villette – 69425 LYON CEDEX 03 – France
Tél. : 00.33 (0) 4.72.34.17.25 – Email : [email protected] – Internet : www.concours-integral.org
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λ
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« Drôles de maths ! » – 2009
1
Allez, c’est la tournée du chef. Miam, des bons points à prendre ! Ne poussez pas, il y en
aura pour tout le monde.
Un cercle possède :
A) un rayon
B) un diamètre C) un sommet
D) un centre
E) un périmètre
Toutes les propositions sont bonnes, sauf la proposition C). Un cercle ne possède pas de
sommet.
Un cercle possède un rayon, un diamètre, un centre et un périmètre.
Les réponses correctes sont les réponses A, B, D et E.
λ
2
Un nombre est entré en collision avec un signe de multiplication. Une vraie boucherie… La
police multiplicative effectue son enquête. On retrouve tous les « morceaux » du nombre :
3 centièmes, 7 unités, 2 dizaines et 5 dixièmes.
Ce nombre vaut :
A) 27 + 0,53
B) 27 + 0,35
C) 27,53
D) 20 + 7 + 0,5 + 0, 03
E) 72,35
Le nombre recherché est constitué de 2 dizaines, 7 unités, 5 dixièmes, 3 centièmes, ce
qui donne le nombre : 27,53 .
Ce nombre est également le résultat des sommes 27 + 0,53 et 20 + 7 + 0,5 + 0, 03 .
Ce nombre vaut donc : 27, 53 , 27 + 0, 53 ou encore 20 + 7 + 0, 5 + 0, 03
Les réponses correctes sont les réponses A, C et D.
λ
3
Kératina parle à ses mains. « Ouaahhh les beaux ongles ! » s’exclame-t-elle. L’ongle de
chacun de ses doigts pousse de 5 cm par an. C’est la moyenne chez les humains !
Quelle est la longueur d’ongle produite chaque année par les 10 doigts de Kératina ?
A) 50 cm
B) 25 cm
C) 5 m
D) 0,5 m
E)
1
m
2
La longueur d’ongle produite chaque année par les dix doigts de Kératina est :
10 × 5 = 50 cm
ou encore
0,5 m
ou encore
1
m
2
La longueur d’ongle produite chaque année par les doigts de Kératina est :
50 cm, ou encore 0, 5 m, ou encore
1
m.
2
Les réponses correctes sont les réponses A, D et E.
Pour l’ensemble de la population mondiale, cela représente environ 3 250 000km par an. Si
l’on tient compte également des orteils, c’est une longueur de 4 550 000km, soit 100 fois le
tour de la Terre, une distance supérieure à la distance Terre-Lune !
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« Drôles de maths ! » – 2009
4
Do you love la salade ? Yes, no ? Et bien voilà une belle salade de parenthèses !
Toutes ces opérations ont le même résultat, sauf une. Laquelle ?
A) 3 × 5 − 2 × 3
B) ( 3 × 5 ) − 2 × 3
C) 3 × ( 5 − 2 )
D) ( 3 × 5 ) − ( 2 × 3)
E) 3 × ( 5 − 2 ) × 3
On effectue les calculs en respectant les priorités : calculs entre parenthèses d’abord,
multiplication et division ensuite, additions et soustractions de gauche à droite pour finir.
On a : 3 × 5 − 2 × 3 = 15 − 6 = 9
(3 × 5) − 2 × 3 = 15 − 2 × 3 = 15 − 6 = 9
3× (5 − 2) = 3× 3 = 9
(3 × 5) − (2 × 3) = 15 − 6 = 9
3 × (5 − 2 ) × 3 = 3 × 3 × 3 = 9 × 3 = 27
C’est la dernière opération qui est l’intruse !
La réponse correcte est la réponse E.
λ
5
Dans le monde, chaque année, 2 400 000 enfants de
Hépatite B
(600 000)
moins de 5 ans meurent de maladies pour lesquelles des
Autres
(700 000)
vaccins existent (graphique ci-contre).
Combien sont victimes de la rougeole ?
A) 800 000
B) 850 000
C) 900 000
D) 950 000
E) 1 000 000
Coqueluche
(300 000)
Rougeole
On obtient le nombre d’enfants victimes de la rougeole en retranchant à l’effectif total,
2 400 000 , le nombre d’enfants victimes de l’hépatite B, de la coqueluche ou d’une autre
maladie (fièvre jaune, poliomyélite, diphtérie, etc.).
On a :
2 400 000 − (600 000 + 700 000 + 300 000)
= 2 400 000 − 1 600 000
= 800 000
Dans le monde, 800 000 enfants de moins de cinq ans meurent chaque année de la
rougeole.
La réponse correcte est la réponse A.
Quand on sait que 9 doses de vaccin valent seulement 1 euro….
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λ
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« Drôles de maths ! » – 2009
6
Deux signes d’inégalités dirigent un casting pour une comédie numérique. Ils comparent
des nombres décimaux. Attention, certains de ces nombres se sont déguisés en fraction !
Quelles sont les affirmations exactes ?
A) 0, 03 <
1
2
B)
1 1
<
10 2
C) 0,3 <
1
10
D)
3
< 0,3
100
E) 0,3 +
1 1
<
10 2
Pour comparer tous ces nombres, on peut utiliser leurs écritures décimales, en remarquant
que :
1
= 0,5
2
1
= 0,1
10
3
= 0, 03
100
0,3 +
1
= 0,3 + 0,1 = 0, 4
10
On a alors :
0, 03 < 0,5
donc
0,1 < 0,5
donc
0,3 > 0,1
donc
0, 03 < 0,3
donc
0, 4 < 0,5
donc
Les affirmations exactes sont donc :
0, 03 <
0, 03 <
1
2
1 1
<
10 2
1
0,3 <
10
3
< 0,3
100
1 1
0,3 +
<
10 2
est vrai
est vrai
est faux
est vrai
est vrai
1 1 1
3
1 1
,
< ,
< 0, 3 , 0, 3 +
<
2 10 2 100
10 2
Les réponses correctes sont les réponses A, B, D et E.
λ
7
Calendos travaille dans le camembert. Oui mais attention, le camembert de caractère, celui
qui titille les papilles et dégage les narines ! Il conserve ses plus beaux échantillons dans des
boîtes carrées et se pose la question suivante.
Quel est le diamètre du plus grand cercle que l’on peut placer à l’intérieur d’un carré
de côté c ?
A)
c
2
B) c
C) 2c
D)
c c
+
2 2
E) 2π c
Dans un carré de côté c , on peut placer un cercle de diamètre c .
Si le diamètre est plus grand, le camembert ne rentrera pas dans la boîte !
c
, c’est la moitié de c . Et si on ajoute deux moitiés, on obtient le tout.
2
c c
+ =c
2 2
Par ailleurs,
Donc :
Le diamètre du plus grand cercle que l’on peut placer à l’intérieur d’un carré
de côté c est : c ou encore
c c
+
2 2
Les réponses correctes sont les réponses B et D.
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c
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« Drôles de maths ! » – 2009
8
Dédé lance des dés. Dédé n’est pas un dadais, il s’interroge, Dédé.
Combien peut-on obtenir de résultats différents en ajoutant les nombres inscrits sur
les faces supérieures de deux dés à jouer ?
A) 6
B) 7
C) 10
D) 11
E) 12
La plus petite somme que l’on peut obtenir est 1 + 1 = 2 .
La plus grande est 6 + 6 = 12 .
Toutes les sommes intermédiaires, comprises entre 2 et 12 , peuvent également être
obtenues.
On peut donc obtenir les sommes 2,3, 4,5, 6,7,8,9,10,11,12 , qui sont au nombre de 11 .
En ajoutant les valeurs affichées par deux dés, on peut obtenir 11 sommes
différentes.
La réponse correcte est la réponse D.
λ
9
Alvéola, 16 ans, fume un paquet de 20 cigarettes par jour depuis 10 ans. Après avoir
toussé un peu fort, elle retrouve son poumon droit collé au mur… Alertée par ce petit
contretemps, elle décide d’un traitement radical : la navétothérapie. Désormais, elle croquera
20 navets par jour au lieu de fumer 20 cigarettes !
Combien de navets croquera-t-elle en un an, à 20 près ?
A) 365
B) 730
C) 3 650
D) 7 300
E) 73 000
20 navets par jour pendant une année de 365 jours, cela représente :
20 × 365 = 365 × 2 ×10 = 730 × 10 = 7 300 navets
Si l’année est bissextile, elle compte un jour de plus, le 29 février, et Alvéola consommera
20 navets de plus.
En un an, Alvéola croquera 7 300 navets (à 20 navets près).
La réponse correcte est la réponse D.
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λ
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« Drôles de maths ! » – 2009
10
Au coin d’une rue sombre, 1101 et 99 menacent de te diviser par quatre si tu ne donnes
pas le quotient du premier par le second. Si tu ne donnes qu’un ordre de grandeur du
résultat, ils se contenteront de te réduire de moitié !
Quel est le meilleur ordre de grandeur de
A) 1
B) 10
1 101
?
99
C) 11
D) 110
E) 1 000
Le nombre 1101 est très proche de 1100 .
Le nombre 99 est très proche de 100 .
1100
= 11 .
100
On vérifie que 11× 99 = 10 × 99 + 1× 99 = 990 + 99 = 1 089 est proche de 1101 .
Un ordre de grandeur du quotient est donc :
10 ne serait-il pas un meilleur ordre de grandeur ?
On a :
10 × 99 = 990
990 est plus éloigné de 1100 que 1 089 .
Le meilleur ordre de grandeur pour le quotient est donc 11 .
La réponse correcte est la réponse C.
λ
11
Cinq belles tranches de jambons rêvent de finir en sandwich.
Pour rejoindre la baguette, elles doivent traverser un labyrinthe.
Elles vont toujours tout droit, sauf lorsqu’elles rencontrent un
mur ou un obstacle. Dans ce cas, elles tournent sur leur gauche
quand cela est possible, sinon, elles stoppent.
Quelles sont les tranches de jambon qui finiront en sandwich ?
A
B
C
D
E
Il suffit, à l’aide d’un crayon, de tracer le trajet de chaque tranche de jambon, en tournant à
gauche à chaque obstacle.
A
B
C
D
E
La tranche B est rapidement bloquée dans une impasse. La tranche E tourne « en rond »
indéfiniment. Pour les autres tranchent, leur rêve devient réalité.
Les tranches de jambon qui finiront en sandwich sont les tranches A, C et D.
Les réponses correctes sont les réponses A, C et D.
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« Drôles de maths ! » – 2009
12
Dans une famille de timbrés, il y a Tamponné, qui possède 80 timbres et son
frère Oblitéré qui n’en a que 40 . Chaque jour, Tamponné donne 2 timbres à
Oblitéré et Papa leur fait cadeau à chacun de 2 timbres.
Au bout de combien de jours les deux frères auront-ils le même nombre de timbres ?
B) 20
C) 30
D) 45
E) Jamais
A) 10
Chaque jour, Tamponné reçoit 2 timbres et en donne 2 , donc, globalement, son nombre de
timbres ne change pas, il en a toujours 80 .
Oblitéré, lui, gagne 4 timbres. La différence entre eux se réduit de 4 unités chaque jour. Or,
elle doit se réduire de 40 unités. Il faudra donc
40
= 10 jours.
4
Les deux frères auront le même nombre de timbres au bout de 10 jours.
La réponse correcte est la réponse A.
λ2
13
Pour entretenir un mathosaure, on doit lui donner à manger 300 kg de triangles par mois à
euros le kilogramme et lui aiguiser les sommets tous les deux mois pour 60 euros.
Quel est, en euros, le coût d’entretien d’un mathosaure, pour un an ?
A) 360
B) 720
C) 1 260
D) 7 260
E) 7 560
Commençons par la nourriture. Chaque mois, 300 kg à 2 euros le kilogramme coûtent 600
euros. Il y a 12 mois dans une année, donc au total :
600 × 12 = 6 × 12 × 100 = 7 200 euros.
En ce qui concerne l’aiguisage des sommets, on a 6 périodes de 2 mois dans l’année,
donc le coût est :
60 × 6 = 6 × 6 × 10 = 36 × 10 = 360 euros
Au total :
7 200 + 360 = 7 560 euros
Le coût d’entretien d’un mathosaure est de 7 560 euros.
La réponse correcte est la réponse E.
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« Drôles de maths ! » – 2009
14
Boutan Trinh a écrit une somme au tableau :
10 000 1 000 100 10 1
+
+
+ +
10 000 1 000 100 10 1
Tang, tang, ça le fait rigoler ! Et toi, ça t’amuses ? Allez, un petit sourire…
On peut dire de cette somme qu’elle est :
A) supérieure ou égale à 1
B) égale à 5
C) égale à 10
D) égale à 11
E) égale à 11111
La dernière fraction de la somme,
1
, vaut 1.
1
On s’aperçoit que pour chaque fraction, le dénominateur est égal au numérateur, c'est-à-dire
qu’on divise le numérateur par lui-même. Chaque fraction vaut donc 1 et la somme vaut :
1 10 100 1 000 10 000
+ +
+
+
= 1+1+1+1+1 = 5
1 10 100 1 000 10 000
On peut dire de cette somme qu’elle est supérieure ou égale à 1 , égale à 5 .
Les réponses correctes sont les réponses A et B.
λ
15
Un soda de la marque Glouglou contient une masse de 200 g de sucre par kilogramme de
soda. Omer en boit chaque jour 4 verres de 200 g. Attention les dégâts !
La masse de sucre contenue dans le soda absorbé chaque jour par Omer est ?
A) 0,16 kg
B) 1, 6 kg
C) 20 g
D) 160 g
E) 20 % de la masse absorbée
Il s’agit d’une situation de proportionnalité.
La proportion de sucre dans ce soda est de 200 g pour 1 000 g ( 1 kg= 1 000 g),
soit 20% car
200
20
=
.
1 000 100
Dans le verre, le mélange est le même, donc la proportion sera également de 20% .
Méthode 1 :
Donc, dans 4 verres de 200 g, c’est-à-dire 800 g, la masse de sucre sera :
20
20 × 8 × 100
× 800 =
= 160 g
100
100
Méthode 2 :
Appelons m la masse de sucre recherchée, en grammes, et dressons un tableau de
proportionnalité.
Masse de soda en g
1 000
4 × 200
m
Masse de sucre en g
200
Par proportionnalité, on doit avoir :
m
200
=
4 × 200 1 000
4 × 200 × 200
= 160
1 000
La masse de sucre est donc 160 g ou encore 0,16 kg.
(car 1g = 0, 001kg et 160 × 0, 001 = 0,16 )
d’où
m=
La masse de sucre contenue dans le soda absorbé chaque jour par Omer est 20% de
la masse de soda absorbée, ou encore 160 g, c’est-à-dire 0,16 kg.
Les réponses correctes sont les réponses A, D et E.
160g, c’est l’équivalent de 32 morceaux de sucre. Gloups, pas bon pour l’espérance de vie,
tout ça !
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« Drôles de maths ! » – 2009
16
Non, non, non ! Non-non pourrait te demander ce qui est, n’est-ce pas, mais il préfère te
demander ce qui n’est pas, c’est beaucoup plus amusant, hein mon canard !
15 n’est pas :
A) un multiple de 3
B) un nombre pair
C) inférieur à 4 × 4
D) le périmètre d’un carré de côté entier E) un diviseur de 14 990
est un multiple de 3 car 15 = 3 × 5 .
n’est pas un nombre pair.
est inférieur à 4 × 4 = 16 .
n’est pas le périmètre d’un carré de coté entier. En effet, le périmètre d’un carré de côté
entier c est égal à 4c . C’est donc un multiple de 4 . Or, 15 n’est pas un multiple de 4 .
15 n’est pas un diviseur de 14 990 . En effet, 14 990 qui est un multiple de 5 n’est pas un
15
15
15
15
multiple de 3 , donc ne peut pas être un multiple de 15 .
15 n’est donc ni un nombre pair, ni le périmètre d’un carré de côté entier, ni un
diviseur de 14 990 .
Les réponses correctes sont les réponses B, D et E.
λ
17
On convoque tous les nombres de 4 chiffres dans une boîte d’allumettes, mais la place
manque. On ne laisse entrer que ceux qui ont 7 comme chiffre des centaines.
Combien de nombres ne seront pas acceptés dans la boîte ?
A) 810
B) 900
C) 8 100
D) 9 000
E) 9 900
Commençons par dénombrer les nombres de 4 chiffres.
Le chiffre des milliers est à prendre entre 1 et 9 , les suivants entre 0 et 9 .
On a donc 9 choix pour le chiffre des milliers. Une fois ce chiffre choisi, on a dix choix pour
le chiffre des centaines, soit 9 × 10 possibilités pour le choix des deux premiers chiffres. Le
raisonnement est le même pour les deux chiffres suivants.
Finalement, le nombre de nombres de 4 chiffres différents est : 9 × 10 × 10 × 10 = 9 000
Parmi ces nombres, combien y en a-t-il qui ont 7 comme chiffre des centaines ?
Le chiffre des milliers est à prendre entre 1 et 9 , donc présente 9 choix.
Le chiffre des centaines doit être 7 , donc présente 1 choix.
Le chiffre des dizaines est à prendre entre 0 et 9 , donc présente 10 choix.
Le chiffre des unités est à prendre entre 0 et 9 , donc présente 10 choix.
Soit 9 × 1 × 10 × 10 = 900 possibilités.
Les nombres qui ne seront pas acceptés dans la boîte sont ceux qui n’ont pas 7 comme
chiffres des centaines.
Il y en a :
9 000 − 900 = 8 100
8 100 nombres ne seront pas été acceptés dans la boîte.
La réponse correcte est la réponse C.
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« Drôles de maths ! » – 2009
18
Une paire de jambes participe à la course à la bretelle. Sur le trajet comportant n virages,
les virages sont numérotés dans chacun des deux sens, de 1 à n . La paire de jambes se
prépare à aborder le virage n° 7 . Elle passe alors trois virages puis se retourne et voit que le
panneau dans l’autre sens porte le n° 8 .
Combien y a-t-il de virages en tout sur le trajet ?
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
A) 9 ou plus
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Arrivé devant le virage n° 7 , la paire de jambes passe ensuite 3 virages numérotés 7 , 8 et
9 . Le trajet comporte donc 9 virages ou plus.
Puis, passé le virage n° 9 , elle a dans son dos le virage numéroté dans l’autre sens n° 8 .
C’est donc qu’elle a encore dans le sens de son déplacement 7 virages à franchir.
Au total, elle a sur son trajet 9 + 7 = 16 virages
Le trajet comporte 9 virages ou plus. Il en compte exactement 16 .
Les réponses correctes sont les réponses A et E.
λ
19
XO et WA jouent avec des brouettes nucléaires. C’est XO qui commence.
* S’il donne 2 brouettes à WA, WA lui rend 1 fois ce qu’il reste à XO ;
* S’il donne 3 brouettes à WA, WA lui rend 2 fois ce qu’il reste à XO ;
* S’il donne 4 brouettes à WA, WA lui rend 3 fois ce qu’il reste à XO.
Sachant qu’après un échange de coups, XO possède 9 brouettes nucléaires, on peut
affirmer qu’avant l’échange, il en avait entre :
A) 0 et 3
B) 4 et 7
C) 8 et 11
D) 12 et 16
E) 17 et 25
Si WA rend à XO 1 fois ce qu’il lui restait, ce qui reste à XO double.
Si WA rend à XO 2 fois ce qu’il lui restait, ce qui reste à XO triple.
Si WA rend à XO 3 fois ce qu’il lui restait, ce qui reste à XO quadruple.
On observe que 9 = 3 × 3 . 9 est un multiple de 3 mais pas de 2 , encore moins de 4 .
On est donc dans le deuxième cas, ce qui restait à XO a été triplé par WA.
9
= 3 brouettes. C’est donc
3
qu’avant de donner ces 3 brouettes nucléaires, il en avait 3 + 3 = 6 .
Juste après avoir donné 3 brouettes à WA, il restait donc à XO
Avant de jouer, XO possédait 6 brouettes nucléaires, donc entre 4 et 7 .
La réponse correcte est la réponse B.
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ème
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« Drôles de maths ! » – 2009
20
Après une soirée un peu trop arrosée, Parano et Parana sont attaqués par des canards !
Ils se réfugient dans la cage du putois. Ils communiquent par code secret. Parano annonce,
en langage codé : DC RCKP CKCEWXL KY EGGESY, ce qui signifie : CA SENT BIZARRE
LA DEDANS. Parana lui répond : FUVENK CC SGVTNXLZ OYO MGV NPBEGFXK.
Parmi les mots suivants, quels sont celui ou ceux transmis par Parana ?
A) PARFUMER B) SOURCILS C) RESPIRER D) RECYCLER E) OREILLES
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« Drôles de maths ! » – 2009
La correspondance entre les longueurs des mots semble indiquer qu’il y a une
correspondance directe entre les mots. Par exemple, DC serait la traduction de CA, RCKP
serait celle de SENT.
Si on essaie de mettre en correspondance les lettres, on observe le processus suivant :
C D
A B C
R 
C  D 
K  L  M 
P  Q  R  S 
S
E
N
T
B
I
Z
A
R
R
E
C
J
A
B
S
S
F
K
B
C
T
T
G
C
D
U
U
H
E
F
E
B
O
T
G
F
C
P
U
G
D E
Q R S
V W X Y
E
V W
V W X
I J K L
K  L
Y  Z  A
D
E
D
A
N
S
Utilisons le processus inverse pour décoder la réponse de Parana :
S 
A  B 
I  J  K 
E  F  G  H 
S
T
C
L
I





E
T
U
D
M
J






F
U
V
E
N
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C D E
P Q R S
La réponse de Parana est : « ESSAIE DE RESPIRER PAR LES OREILLES ! »
Les mots présents dans la réponse de Parana sont les mots RESPIRER et OREILLES.
Les réponses correctes sont les réponses C et E.
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