04 dimensionnement flexion

Cours de béton armé
4: Dimensionnement du béton en
flexion
BAC3 - HEMES -Gramme
1
Dr Ir P. Boeraeve - Unité 9 Construction 2009
Dimensionnement
CAS 1 : dimensionnement complet
2
On connaît :
Les charges sollicitant la poutre, donc le moment
sollicitant à l’ELU : MEd
On veut déterminer h, b et As
Cas 1 : MEd connu, calcul de h, b et As,requis
hypothèses
La zone comprimée est modélisée par un
diagramme rectangulaire équivalent.
Droite de déformations passe par pivots AB
(matériaux utilisés au mieux)
εc =3
.5 10 -3
d
εs =1
0 10 -3
3
Cas 1 : MEd connu, calcul de h, b et As,requis
Déformations limites à l’ELU en FLEXION : PIVOTS A et B
Droite des déformations
Si déformations suivant droite AB : les matériaux sont utilisés au mieux!
4
Cas 1 : MEd connu, calcul de h, b
et As,requis
x
3,5 10 + 3,5
1. Compatibilité déformations ……………………….
=
→ u = 0, 259
2. Equilibre M (autour de T)
xu
d
d
M Ed,ELU = C……………………….
. ( d − 0.4 xu ) =0,8.xu . f cd b ( d − 0.4 xu )
εc =3
.5 10 -3
MEd
εs =1
0 10 -3
5
→ bd ≅
M Ed,ELU
→ As ≅
M Ed,ELU
2
d
0.1 f ck
0.9d . f yd
Dimensionnement
CAS 1 : dimensionnement complet
On connaît :
Les charges sollicitant la poutre, donc le moment
sollicitant à l’ELU : MEd
On veut déterminer h, b et As
CAS 2 : dimensionnement des armatures
6
On connaît :
les dimensions de la section : b et h fixés par
l’architecte
Les charges sollicitant la poutre, donc le moment
sollicitant à l’ELU : MEd
On veut déterminer As
Cas 2 : h et b fixés, MEd connu, calcul de
As,requis
hypothèses
La zone comprimée est modélisée par un
diagramme rectangulaire équivalent.
εc,max=0.0035 (si classe résistance ≤ C50/60)
ε=0.0
035
d
εs =?
7
Cas 2 : h et b fixés, MEd connu,
calcul de As,requis
1. Les efforts internes à la ruine, C et T, doivent au
moins équilibrer le moment sollicitant de calcul MEd.
Donc, en prenant le moment par rapport au CG des
armatures :
……………………….
M Ed,ELU = C. ( d − 0.4 xu ) =0,8.xu . f cd b ( d − 0.4 xu )
MEd
8
Cas 2 : h et b fixés, MEd connu,
calcul de As,requis
2. On obtient donc une équation du second degré en xu
dont on extrait la seule racine plausible :
xu =
2 M Ed
d − d² −
b. f cd
0.8
MEd
9
Cas 2 : h et b fixés, MEd connu,
calcul de As,requis
3.Vérification du rapport xu/d :
(xu/d)lim = 0,45 pour des bétons de classe de
résistance ≤ C35/45 et
(xu/d)lim = 0,35 pour des bétons de classe
de résistance ≥ C40/45.
Si xu/d > (xu/d)lim, on doit ajouter des
armatures comprimées pour ramener le xu/d
dans les limites (armatures doubles) : pas
souhaitable, à ne faire que si la hauteur ne
peut être changée.
10
Cas 2 : h et b fixés, MEd connu,
calcul de As,requis
=0.0035
4. fs = ?
On a vu que le respect des limites sur
xu/d entraîne automatiquement que fs =fyd
11
xu
Cas 2 : h et b fixés, MEd connu,
calcul de As,requis
5. Les efforts internes à la ruine C et T doivent au
moins équilibrer le moment sollicitant de calcul Msd.
Donc, en prenant le moment par rapport au CG de la
zone comprimée, on en déduit As:
M Ed = T…………………..
. ( d − 0.4 xu ) =As f s ( d − 0.4 xu )
M Ed
⇒ As = ……………………
f s ( d − 0.4 xu )
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MEd
Dimensionnement : Cas pratique : planchers
d’un espace bureaux d’une usine
13
Dimensionnement : Cas pratique :
comprendre la structure
MUR PORTEUR
COLONNES
14
Dimensionnement : Cas pratique :
comprendre la structure
MUR PORTEUR
COLONNES
15
POUTRES
Dimensionnement :
Cas pratique
Types de dalles
Chantier
Galeries St-Lambert
16
Dimensionnement : Cas pratique
HOURDIS
HOURDIS
17
Dimensionnement : Cas pratique
Dalles en BA coulées sur place
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Dimensionnement : Cas pratique
Dalle portant dans 2 sens et rapport entre
longueurs côtés >2 = Dalle portant dans
un sens
Dalle portant dans un sens étude d’une
bande de 1m
19
Dimensionnement : Cas pratique : planchers
d’un espace bureaux d’une usine
Portée = ?
20
Dimensionnement : Cas pratique : planchers
d’un espace bureaux d’une usine
Portée effective : leff = ln + a1 + a2
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Dimensionnement : Cas pratique :
Calcul de la portée effective
leff = ln + a1 + a2= 430+20/2+20/2=450cm
…………………..
Charges :
Pp béton armé : 25 kN/m³
Chape en mortier de ciment+carrelage : 7cm (20kN/m³)
Surcharge d’exploitation : 3 kN/m²
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Ln = 430 cm
Msd
Dimensionnement : Cas pratique
ELU flexion
23
MEd,ELU= 33,26
kN.m
…………………..
…………………..
Classe d’exposition : XC1
Classe de résistance minimale : C20/25
…………………..
Enrobage min pour durabilité : cmin,dur = 10mm
……….
Enrobage réel :
cnom = cmin,dur + 10mm (tolérance) = 20mm
…………………..
d(hauteur utile)= 200-20-φ/2= 175mm
….. si on choisit
φ=10mm
(dalles : φ=8 à 12 mm en général)
xu= 22.1mm
……….
As,requis= ……….
460 mm²/m
composition des armatures (Tableau dans manuel) :
1φ10 tous les 170mm (462mm²)
……….
Dimensionnement : Cas pratique
ELS flexion : fissuration
Section minimale d’acier pour maîtrise de la
fissuration (MC:14.3.1 / EC2:art. 7.3.2 (2) ) :
As,min = 0.4 Act fctm/fyk
Act est l'aire de la section droite de béton
tendu. La zone de béton tendue est la partie
de la section dont le calcul montre qu'elle est
tendue juste avant la formation de la première
fissure. Donc ici, Act=b.h/2
……….
As,min = 0.4 Act fctm/fyk = 176
mm²
……….
24
Dimensionnement : Cas pratique
ELS flexion : fissuration
Section minimale d’armatures tendues
……….
……….
200 mm²
227.5
mm²
(MC:13.1.5.1 )
f ctm
As,min = max(0,26
bt .d ;0, 0013.bt .d )
f yk
où bt = largeur moyenne de la zone tendue
Section maximale d’armatures tendues ou
comprimées :
A s,max = 0,04A c
où Ac = section de béton
=> As,min=227.5 mm²/m
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Dimensionnement : Cas pratique
ELS flexion : déformation (flèches)
On calcule :
ρ0 = 0.1 √fck (en %) (pourcentage d'armatures de référence)
100 As ,req (%) (pourcentage d'armatures de traction
ρ=
nécessaire à mi-portée (ou sur appui dans le cas
b.d
des consoles) pour reprendre le moment ELU)
ρ’ idem pour les armatures de compression nécessaires
l 
 
 d lim
l 
 
 d lim

ρ0

= K 11 + 1,5 f ck
+ 3, 2 f ck

ρ


ρ0
1
= K 11 + 1,5 f ck
+
ρ − ρ ' 12

fck est en MPa
26

 ρ0  
 − 1 
 ρ
 

ρ'
f ck

ρ0 
3
2
si ρ ≤ ρ0
si ρ > ρ0
Dimensionnement : Cas pratique
ELS flexion : déformation (flèches)
K est un coefficient qui tient compte des différents systèmes structuraux
K
1,0 Poutre sur appuis simples, dalle sur appuis simples portant dans une
ou deux directions
1,3 Travée de rive d'une poutre continue, d'une dalle continue portant
dans une direction ou d'une dalle continue le long d'un grand côté et
portant dans deux directions
1,5 Travée intermédiaire d'une poutre ou d'une dalle portant dans une
ou deux directions
1,2 Dalle sans nervures sur poteaux, (plancher-dalle) – pour la portée la
plus longue
0,4 Console
27
Dimensionnement : Cas pratique
ELS flexion : déformation (flèches)
Si on place plus d’armatures (As,prov ) que
celles strictement nécessaires à reprendre
MEd,ELU (As,req) alors on peut multiplier le
rapport (l/d)lim par As,prov/ As,req
Si (l/d)réel ≤ (l/d)lim : dispense du calcul des flèches
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Dimensionnement : Cas pratique
ELS flexion : déformation (flèches)
……….
ρ0 = 0,4472%
ρ = 0,2631%
……….
l 
 
 d lim
3


2
ρ

ρ
= K 11 + 1,5 f ck 0 + 3, 2 f ck  0 − 1 


ρ
ρ




si ρ ≤ ρ0
(l/d)lim=30.785
……….
……….
(l/d)réel = 25,71
< l/d dispense du calcul des flèches
29
Une structure doit être vérifiée
À l’ELU :
« Ultime » -> les charges correspondent à la ruine :
Par flexion
Par effort tranchant
Par flambement
À l’ELS :
« Service » -> les charges correspondent à une
situation normale en service : limitation des :
flèches
contraintes
ouvertures de fissures
(vibrations)
30
La dalle a déjà été vérifiée…
À l’ELU :
« Ultime » -> les charges correspondent à la ruine :
Par flexion
Par effort tranchant
Par flambement
À l’ELS :
« Service » -> les charges correspondent à une
situation normale en service : limitation des :
flèches
contraintes
ouvertures de fissures
(vibrations)
31
La dalle a déjà été vérifiée…
À l’ELS :
« Service » -> les charges correspondent à une
situation normale en service : limitation des :
flèches
contraintes
Dans le béton
fc ≤ 0,5.fck pour classes exposition XD, XF et XS.
fc ≤ 0,6.fck pour autres classes exposition.
Dans l'acier
fs ≤
32
0,8 fyk (=500*0.8=400 MPa pour du S500).
Contraintes dans domaine
élastique fissuré (rappel)
x
Avec :
33
2
x
  = ( n ρ ) + 2n ρ − n ρ
d 
3
bx
2
I=
+ ( d − x ) nAs
3
M .x
M .(d − x)
fc =
f s = n.
I
I
E s ρ = As
n=
bd
Ec
Contraintes dans domaine
élastique fissuré (variante) À démontrer
xef
xef = d . 

z=d−
Avec :
34

n
ρ
+
2
n
ρ
−
n
ρ
( )

2
xef
Bras de levier des efforts internes
3
2M
M
fc =
fs =
bxef .z
As .z
E s ρ = As
n=
bd
Ec
Contraintes dans domaine
élastique fissuré
x
x= 29.9mm
…………………..
…………………..
z = 165
mm
M= 23.8
kN.m
……………
N/mm²
fc=9.6
……………
35
……………
fs=312
N/mm²
La dalle a déjà été vérifiée…
À l’ELU :
« Ultime » -> les charges correspondent à la ruine :
Par flexion
Par effort tranchant
Par flambement
À l’ELS :
« Service » -> les charges correspondent à une
situation normale en service : limitation des :
flèches
contraintes
ouvertures de fissures
(vibrations)
36
Contrôle fissuration
EC2 7.3.3 (1) Dans le cas des dalles
en béton armé ou précontraint dans
les bâtiments, sollicitées à la flexion
sans traction axiale significative,
aucune disposition particulière n'est
nécessaire pour la maîtrise de la
fissuration lorsque l'épaisseur totale
de la dalle n'excède pas 200 mm.
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Notre dalle a déjà été vérifiée…
À l’ELU :
« Ultime » -> les charges correspondent à la ruine :
Par flexion
Par effort tranchant
Par flambement
À l’ELS :
« Service » -> les charges correspondent à une
situation normale en service : limitation des :
flèches
contraintes
ouvertures de fissures
(vibrations)
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