µ - Cerfacs

MEMOIRE DE D.E.A.
Ecole MATMECA
UNIVERSITÉ DE BORDEAUX I
Mise en oeuvre de lois de parois dans le code structuré elsA
par
D ELPHINE LIZARAZU
Responsables :
Responsable de l’encadrement scientifique :
G. Puigt, CERFACS-CFD, 42 av. G. Coriolis, 31500 Toulouse
Supervision :
G. Chevalier, CERFACS-CFD, 42 av. G. Coriolis, 31500 Toulouse
R. Houdeville, ONERA CERT, DMAE, BP4025, 2 av. E. Belin, 31055 Toulouse Cedex 4
Encadrement de l’école :
Ch. Berthon, Université Bordeaux I, UFR Mathématiques et Informatique, 351 cours de la Libération,
33405 Talence cedex
Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier mon responsable de stage au sein du CERFACS, Guillaume Puigt,
pour le temps qu’il m’a consacré, la patience dont il a fait preuve et les conseils qu’il m’a prodigués. Sa
détermination quant à la reussite de ce projet a fait que ce stage s’est deroulé dans de très bonnes conditions.
Je tiens également à remercier Guillhem Chevalier, responsable de l’équipe elsA au Cerfacs qui a toujours cru en ce projet malgré les difficultés rencontrées et qui m’a toujours soutenue.
Je souhaite dire aussi un grand merci à toute l’équipe elsA du CERFACS auprès de laquelle j’ai toujours
pu trouver conseil. Enfin, j’adresse également mes remerciements a Thierry Poinsot pour m’avoir accueilli
au sein de l’équipe CFD dans laquelle j’ai trouvé une ambiance de travail très sympathique.
J’exprime aussi ma reconnaissance envers Christophe Berthon pour m’avoir donné de bons conseils pour
me préparer à ce stage. Il est vrai que l’encadrement au CERFACS a fait que je n’ai pas eu besoin de son
aide mais je sais que, dans le cas contraire, j’aurai pu faire appel à lui.
Table des matières
Remerciements
2
Introduction
2
1
Les équations de Navier-Stokes
5
2
Présentation générale des lois de paroi
2.1 Aspect thermique . . . . . . . . . . . .
2.2 Profil de vitesse en incompressible . . .
2.3 Profil de vitesse en compressible . . . .
2.4 Domaine d’application - Discussion . .
2.5 Inversion de la loi de paroi . . . . . . .
2.5.1 Calculs préliminaires . . . . . .
2.5.2 Inversion . . . . . . . . . . . .
2.6 Grandeurs conservatives à la paroi réelle
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6
6
7
7
9
9
9
10
10
3
Utilisation des flux issus des lois de paroi avec semi-glissement
10
3.1 Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Vecteur flux de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4
Construction des conditions aux limites sur les variables conservatives à la paroi fictive
13
5
Construction des conditions aux limites sur les grandeurs turbulentes
14
6
Validation
14
6.1 La plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 Le cas RAE2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Conclusion
24
1
Introduction
La simulation de l’écoulement autour de machines volantes telles que les avions ou les missiles reste
un challenge, malgré les progrés du matériel informatique. Les besoins actuels pour les industries et la
recherche dépassent toujours la capacité des processeurs, si bien que des méthodes ont été développées pour
accélerer les temps de simulation.
Avec les hypothèses d’écoulement parallèle et d’auto-similitude, il est établi qu’au voisinage d’une
plaque plane i.e. dans la couche limite, l’écoulement est 1D. En effet, les variations des variables suivant
la direction de l’écoulement sont négligeables par rapport aux variations suivant la direction normale à la
paroi. En conséquence, il est possible de coupler un code 1D pour la couche limite avec un code 3D pour la
région hors de la couche limite : c’est le couplage 1D-3D (Fig. 1).
Ecoulement 3D
Euler
z
Couche limite 1D
d / dx, d / dy << d / dz
y
Couche
Limite
x
Solide
Solide
F IG . 1 – Changement de dimension : couplage 1D-3D ( à gauche) et multiphysique-multisolveur ( à droite).
De plus, on peut remarquer que, pour les écoulements à grand nombre de Reynolds, les effets visqueux
sont prépondérants dans la couche limite et pratiquement négligeables hors de la couche limite, si bien qu’on
peut coupler deux types de solveur : solveur des équations de Navier-Stokes ou code couche-limite pour la
simulation de cette couche limite et solveur des équations d’Euler pour le reste de l’écoulement : c’est ce
que l’on appelle la technique multiphysique - multisolveur (Fig. 1).
La technique des lois de paroi consiste à utiliser le savoir du couplage 1D-3D et l’astuce du multisolveur
pour accélérer la vitesse de convergence des simulations.
Le principe des lois de paroi est d’éviter le couplage des équations de Navier-Stokes avec un modèle
de turbulence bas-Reynolds car le coût numérique lié à la finesse du maillage utilisé est très élevé. Ceci
est réalisé en créant une paroi fictive qui est translatée de δn (δ est un paramètre des lois de paroi et n est
le vecteur unitaire normal à la paroi réelle dirigé vers l’écoulement) et sur laquelle on impose de nouvelles
conditions aux limites. On espère ainsi éviter le calcul des régions où les gradients des variables sont les plus
2
forts et où les mailles sont les plus fines. La motivation est de prédire les flux à la paroi réelle en utilisant les
informations connues sur cette paroi fictive sans calculer la région intermédiaire qui contient cependant une
grande partie de la physique de l’écoulement. Dans ce cas, il n’y a plus de condition aux limites d’adhérence
sur cette paroi fictive. Aussi, dans ce mémoire, nous qualifierons cette méthode de m éthode lois de paroi
avec semi-glissement. Par le passé [1, 2], cette méthode a été utilisée et validée sur diverses configurations
2D et 3D et implémentée dans le solveur non structuré NSC2KE [3], utilisant une formulation mixte volumes finis-éléments finis (variables et flux aux sommets de la triangulation).
L’intérêt de l’utilisation de lois de paroi apparaı̂t de manière évidente lorsqu’on s’intéresse à des phénomènes physiques complexes comme le couplage fluide-structure, les phénomènes instationnaires, le mouvement de maillage, l’optimisation de formes... En effet, l’avantage des lois de paroi est de prédire des
écoulements comparables à ceux prédits par un modèle de turbulence bas-Reynolds, tout en autorisant l’emploi de maillages plus grossiers. Les gains en temps et en charge CPU concernant le remaillage, la prise en
compte de maillage mobile sont importants. L’autre intérêt des lois de paroi est leur possiblilité de prendre
en compte des phénomènes physiques difficiles à modéliser en maillant jusqu’à la paroi. Citons par exemple
la prise en compte de rugosités, la transpiration qui permet de donner une vitesse au maillage (cas de petites
déformations) et de le modifier sans remailler...
L’objectif du stage de DEA est de mettre en place la formulation mathématique de lois de paroi avec
semi-glissement dans le code elsA de l’ONERA. elsA, pour Ensemble Logiciel de Simulation en A érodynamique, est un code de résolution des équations de Navier-Stokes basé sur une approche volumes finis sur
des maillages multi-blocs structurés et est écrit en C++ et fortran avec une méthodologie orientée objet. Le
CERFACS participe au développememnt d’elsA dans le cadre d’un accord de coopération avec l’ONERA
et ce code doit entrer prochainement en production chez Airbus France.
Houdeville [4] a déjà mis en place dans elsA une formulation de lois de paroi pour laquelle la paroi
de calcul est confondue avec la paroi réelle et qui est telle que la hauteur de première maille corresponde
au domaine de validité de la loi logarithmique. Nous appelerons cette méthode m éthode lois de paroi avec
adhérence. Comme nous l’avons expliqué, les lois de paroi que nous allons mettre en œuvre sont appliquées
sur une paroi fictive. Les dessins suivants résument les deux approches.
3
Γc
δ
h0
Γw
Lois de paroi avec semi-glissement
maillage non-structuré (triangles)
Lois de paroi avec adhérence
maillage structuré (rectangles)
Γc est la paroi fictive où on applique les conditions aux limites des lois de paroi, alors que Γ w est la paroi
réelle. En pratique, on confond paroi réelle et paroi fictive et on utilise un maillage reposant sur la paroi.
Cela permet de changer facilement le paramètre δ sans avoir à remailler ou le raffinement de maillage sans
s’occuper de la translation de δ. De plus, le nombre de Reynolds doit être modifié pour l’utilisation des lois
de paroi Re Re L L δ , mais en pratique, compte tenu de la faible valeur de δ, cette modification n’est pas
active.
4
1 Les équations de Navier-Stokes
Afin de clarifier le développement qui suit, nous rappelons les équations de Navier-Stokes en variables
conservatives dimensionnées. On décompose les variables entre partie principale et fluctuante et on applique
la moyenne de Reynolds pour la densité et la pression et la moyenne de Favre pour les autres variables. Cela
conduit aux équations suivantes :
∂ρ
∂t
∂ρu
∂t
∂ρE
∂t
où
p u
χ
Cp µ
Pr
γ 1 4
0
∇p ∇ µ
∇ ρu u ∇ ρE
∇ ρu ∇ µ
µt S ∇ χ
µt Su χt
Pr 0 72
C p µt
Prt
et
Prt
(1)
χt ∇T 0 9
µ et µt sont les inverses des nombres de Reynolds laminaire et turbulent respectivement. Dans ce qui suit,
on les appelle viscosité laminaire et turbulente. Les valeurs de γ, Pr ET Pr t sont les constantes classiques de
l’air. La loi de Sutherland permet de prendre en compte les variations de viscosité laminaire :
µ µ∞
1 5 T
T∞ T∞ 110 4
T 110 4 (2)
où ∞ représente des quantités de référence.
Modélisation de la turbulence
Pour fermer le système précédent, il faut connaı̂tre les variations de µ t dans la couche limite. Nous utiliserons dans ce mémoire le modèle de turbulence k ε de Jones-Launder dont nous rappelons les équations :
∂ρk
∂t
∇ ρuk ∇ µ
µt ∇k Sk (3)
et
∂ρε
∇ ρuε ∇ µ cε µt ∇ε Sε ∂t
Les membres de droite de Eq. 3 et Eq. 4 contiennent la production et la dissipation pour ρk et ρε :
Sk
Sε
µt P 2
ρk∇ u ρε 3
2c1
ε2
ρε∇ u c2 ρ 3cµ
k
c1 ρkP La viscocité turbulente est donnée par :
µt
cµ ρ
5
k2
ε
(4)
(5)
(6)
Les constantes cµ c1 c2 cε sont respectivement égales à 0 09 0 1296 11 6 1 1 4245 et P S : ∇u.
Le modèle présenté est la version haut-Reynolds du modèle de turbulence k ε qui sera couplée avec les
lois de paroi. Pour les simulations jusqu’à la paroi, nous utiliserons aussi le modèle de turbulence k ε de
Jones-Launder équipé des fonctions d’amortissement [5] nécessaires pour prendre en compte les variations
des grandeurs turbulentes dans la couche limite.
Remarque : Nous qualifierons toujours de modèle de turbulence bas-Reynolds la version du modèle
k ε de Jones-Launder disposant des fonctions d’amortissement.
2 Présentation générale des lois de paroi
Différentes formes de lois de paroi peuvent être obtenues suivant la nature des hypothèses faites sur la
physique. Dans ce qui suit, nous présentons les hypothèses physiques utilisées par Houdeville [4],[6] dans
elsA, hypothèses qui sont communes aux deux approches.
On considère une couche limite tridimensionnelle, avec ou sans flux de chaleur, et on définit le repère
local de frottement1 (s n) tel que :
– n : vecteur normal à la paroi dirigé vers l’intérieur du domaine de calcul,
– s : vecteur tangent à la paroi et dans le plan (n U), avec la vitesse relative U par rapport à la paroi
prise au point de calcul adjacent à celle-ci :
U U n n
s
U U n n
(7)
Puisqu’elle fait intervenir la vitesse relative par rapport à la paroi, Eq. 7 est valable en formulations
“vitesse absolue dans repère absolu” et “vitesse relative dans repère relatif”. En particulier, les lois de paroi
permettront de prendre en compte les mouvements de maillage (formulation ALE).
Remarque : Pour toute la suite, on notera u s la norme de la projection du vecteur vitesse sur s :
us
U U n n (8)
2.1 Aspect thermique
En écrivant l’équation de l’enthalpie totale dans le repère local (s n) et en négligeant la convection, on
obtient :
∂
(9)
us τsn φn 0 ∂n
Ceci donne l’évolution de la composante normale du flux de chaleur en supposant que le frottement est
constant près de la paroi :
(10)
φn φw us τw Le frottement et le flux de chaleur s’expriment simplement à partir du coefficient de viscosité et du
nombre de Prandtl turbulents :
τsn
τw
φn
∂us
∂n
µ
µt ∂T
Cp
Pr Prt ∂n
µ
µt (11)
(12)
1 En toute rigueur, le repère de frottement est défini par la direction du frottement pariétal. On suppose ici que cette direction est
proche de la direction du vecteur vitesse au premier point de calcul.
6
ce qui permet d’expliciter Eq. 9 :
dT
dus
A
φw
τw
Aus A
µ
Cp
µt
µ
Pr
µt
Prt
(13)
(14)
Pour intégrer simplement cette équation, il faut supposer que A est constant, ce qui en réalité n’est vrai
que pour des nombres de Prandtl identiques Pr Prt . On obtient alors l’évolution de la température au
voisinage de la paroi :
u2
φw
T Tw A s A us (15)
2
τw
et, puisque la pression ne varie pas perpendiculairement à la paroi :
ρ
ρw Tw
T
(16)
2.2 Profil de vitesse en incompressible
Avec les relations habituelles de couche limite [7], le profil de vitesse, pour une couche limite turbulente
bidimensionnelle, peut être représenté par la loi logarithmique :
u
u
u
uτ
1
ln y κ
C1
;
uτ
;
C1
τw
ρ
5 25
;
y
;
(17)
yuτ
ν
(18)
Cette relation est valable dans la région d’équilibre, au delà de la région tampon (typiquement pour
y
50) et s’étend plus ou moins loin vers l’extérieur, vers y δ 0 15, en fonction du nombre de Reynolds
et du gradient de pression [7] (δ représentant ici l’épaisseur de couche limite et non la hauteur entre paroi
réelle et fictive). Dans la région de proche paroi, le profil est donné par la loi linéaire :
u
y
(19)
En ce qui concerne l’utilisation d’une loi de paroi dans un code Navier-Stokes, il faut modéliser l’évolution de la vitesse et du frottement dans toute la région allant de la paroi jusqu’à des valeurs de y au moins
égales à 300. Il est alors fondamental de prolonger la loi logarithmique vers le bas. Le modèle le plus simple
qui puisse être mis en œuvre est le suivant :
u
u
y
1
ln y κ
si
C1 si
y
y
11 13 11 13 (20)
La constante 11,13 correspond à l’intersection des lois linéaire et logarithmique.
2.3 Profil de vitesse en compressible
Van Driest [8] a montré que la loi logarithmique restait valable en compressible en introduisant une
vitesse transformée u définie comme une moyenne pondérée par la masse volumique :
7
u
u
uτ
;
uτ
τw ρw
u
y
;
yuτ
νw
(21)
ρ
du ρw
u
0
(22)
Pour intégrer, il suffit d’expliciter ρ ρ w à l’aide des Eq. 15 et Eq. 16 et on obtient :
u
1
arcsin
B
B
A
2Tw
2Bu C
arcsin
4B C2 ;
C
1
Cp
C
4B C2 A
;
(23)
µ µt
(24)
µ
µt
Cp
Pr Prt Dans le cas d’une paroi adiabatique, φ w est nul et donc C également. Dans le cas d’un décollement, τ w
tend vers zéro et C vers l’infini, ce qui entraı̂ne u 0.
On peut remarquer que Eq. 23 peut être très mal conditionnée. Les ordres de grandeur des différents
coefficients sont les suivants :
A
Aφw
τw Tw
B
;
1
2C p Tw
C
1
Tw
(25)
ce qui donne, en grandeurs physiques :
C 0
B C
en paroi adiabatique
1 en paroi isotherme
(26)
Le cas de la paroi adiabatique ne pose pas de problème car l’expression de u se simplifie :
u
1B arcsin Bu
(27)
En paroi isotherme, les arguments des fonctions arcsin sont très proches de 1 et l’évaluation de la
différence est très imprécise. En utilisant la relation
arcsin a arcsin b on obtient :
u
arcsin a
1
2 B
2Bu
arcsin
4B
C2
B
1 b2 b
C C
1 a2 1 u Bu
C
(28)
(29)
soit, après quelques manipulations et compte tenu de Eq. 15 :
u
1
arcsin
B
Tw T
2 B Tw T u
Au2
2
8
Tw T Au2
2
T
Tw
(30)
2.4 Domaine d’application - Discussion
La loi de paroi qui vient d’être décrite n’est valable qu’en écoulement bidimensionnel, pas trop près d’un
décollement. Ces hypothèses semblent très restrictives mais il est important de bien voir que cette loi n’est
pas utilisée sur toute l’étendue de son domaine, mais seulement au voisinage immédiat d’une paroi, dans la
première maille de calcul pour la première méthode, ou sur la paroi fictive pour la seconde. Les hypoth èses
réellement faites sont alors les suivantes :
– En tridimensionnel, la vitesse dans la première maille est supposée rester alignée avec la direction du
frottement pariétal.
– Au voisinage d’un décollement, puisque τ w devient très petit, y yuτ νw est aussi très petit (inférieur
à 11,13) et ce n’est pas la loi logarithmique qui est utilisée mais la relation u y .
– Dans une région très fortement décollée, le frottement peut redevenir relativement important et c’est à
nouveau la loi logarithmique qui peut être prise en compte. En aucun cas y ne devient négatif car on
se place toujours dans la direction de la vitesse près de la paroi pour appliquer la loi donnée par Eq. 17.
Il est clair que si toutes ces remarques indiquent que l’hypothèse utilisée est beaucoup moins restrictive
qu’il n’y paraı̂t, cela ne constitue en aucun cas une justification rigoureuse de l’intérêt d’utiliser une loi
de paroi. Ceci devra faire l’objet d’une validation aussi étendue que possible qui s’inscrira dans une étude
complémentaire à celle-ci.
2.5 Inversion de la loi de paroi
2.5.1
Calculs préliminaires
On suppose connues les variables conservatives en un point indicé 1 au voisinage d’une interface paroi
fictive. En pratique, ce point correspond au centre de la cellule adjacente et la solution est prise à l’itération
précédente (temps “n” ou “n+α” de l’itération Runge Kutta). La température, la masse volumique et la
viscosité moléculaire à la paroi s’obtiennent par :
T1
Tw
T1
ρw
ρ1
µw
U2
1
E1 A
2
Cv u2s1
2
T1
Tw
Tw 1
µ1
T1 1
(31)
paroi adiabatique (32)
(33)
S T1
S Tw
(34)
Les coefficients B et C calculés par Eq. 23 sont alors connus :
A
B
C
C
µ
µ
C p Pr
µt
au point 1 µt
Prt A
2Tw
Aφw
0
τw Tw
1
u2
Tw T1 A s1
Tw us1
2 9
(35)
paroi adiabatique paroi isotherme La composante tangentielle us1 de la vitesse dans le repère local de frottement (s n) défini en Eq. 2 est
donnée par :
us1 U1 U1 n n (36)
On peut faire deux remarques concernant l’expression de C. Premièrement, la formule en paroi isotherme
est aussi applicable en paroi adiabatique, compte tenu de la valeur de la température de paroi en adiabatique.
Ceci permet d’éviter d’avoir à distinguer les cas lors du codage. Deuxièmement, le calcul de C ne fait
pas intervenir τw : on découple ainsi le calcul de la correction de compressibilité et l’inversion de la loi
logarithmique.
2.5.2
Inversion
Pour inverser la loi de paroi, c’est-à-dire calculer u τ , on commence par multiplier Eq. 20 par y pour
faire intervenir la quantité u1 y1 , directement connue au point 1 :
u1 y1
us1
uτ
us1
uτ
ρw us1 d1
µw
y1
1 ρw uτ d1
ln
κ
µw
R d1 si
R d1
C1 si
R d1
(37)
11 132 (38)
11 132 La relation logarithmique donne la valeur de u τ par la méthode du pivot qui converge toujours rapidement. Cette grandeur étant connue, toutes les autres quantités nécessaires au calcul des conditions limites
s’en déduisent simplement. Par exemple, on calcule le flux de chaleur pariétal à partir de Eq. 15 :
φw
τw
Aus1
Tw T1 A
u2s1
2 (39)
Cette relation est valable en paroi adiabatique ou isotherme, compte tenu de Eq. 32 définissant Tw .
2.6 Grandeurs conservatives à la paroi réelle
A la paroi, la température est imposée ou donnée par Eq. 32. La masse volumique est connue à partir de
Eq. 33. La condition de non-glissement impose une vitesse nulle. On a donc :
ρwUw
ρw Ew
ρ1 T1
Tw
0
ρwCv Tw ρw
(40)
Le frottement et la composante normale du flux de chaleur à la paroi réelle sont donnés respectivement
par Eq. 21 et Eq. 39 et calculés grâce aux lois de paroi.
3 Utilisation des flux issus des lois de paroi avec semi-glissement
Comme nous venons de le voir, les lois de paroi permettent de connaı̂tre les variables et les flux à la paroi
réelle, tout en utilisant les variables conservatives prises dans la première maille au dessus de la paroi fictive.
Nous allons expliciter les relations et les conditions aux limites à imposer à la paroi fictive en fonction des
résultats issus des lois de paroi.
10
Le schéma ci-dessous va nous être utile pour comprendre les règles à appliquer. En effet, les programmes
de l’INRIA se basent sur une formulation mixte volumes-finis et éléments-finis qui permet de considérer les
variables et leurs flux aux sommets de la discrétisation (triangulaire). Dans notre cas, les variables sont
stockées aux centres des mailles et les flux imposés sur les frontières des mailles.
Centre C1 du volume V1
Volume V1
2 h1
Γc
δ
Γw
Mise en œuvre des lois de paroi
Ecrivons à nouveau l’équation de conservation de la quantité de mouvement dans la couche limite
(repère local (s n)) avec l’hypothèse que les variables varient essentiellement dans la direction normale
à la paroi et que le gradient de pression est nul dans la couche limite 2 :
∂τsn
∂n
0
(41)
En intégrant Eq. 41 entre la paroi réelle Γ w et la paroi fictive Γc , on en déduit :
τsn
Γc
τsn
Γw (42)
En intégrant Eq. 41 entre la paroi fictive (Γ c ) et le centre C1 de la maille V1 , on obtient :
τsn
Γc
τsn
C1 (43)
Hors, les lois de paroi ont pour variables d’entrée les champs au centre du volume V1 (c’est-à-dire en C1 ).
En conséquence, le flux diffusif de l’équation de conservation de la quantité de mouvement estdonné par les
lois de paroi prenant comme variables d’entrée les champs en C 1 . Ce flux est aussi lié au frottement pariétal
sur la paroi réelle car τns Γw τw sur Γw d’où τns Γc τw sur Γc du fait de Eq. 42 et Eq. 43.
Ecrivons maintenant l’équation de l’énergie simplifiée avec les hypothèses de couche limite et de variations suivant la normale à la paroi :
∂
Cp
∂n
2 Dans
µ
Pr
∂
us µ
∂n
µt dT
Prt dn µt dus
dn 0
un second temps, il sera possible de prendre en compte le gradient de pression dans la couche limite.
11
(44)
En intégrant Eq. 44 entre la paroi réelle Γ w et la paroi fictive Γc et en utilisant la relation d’adhérence à
la paroi, il vient :
Cp
µ
Pr
µt dT
Prt dn dus
µt dn us µ
Γc
Γc
Cp
µ
Pr
µt dT
Prt dn Γw
(45)
Compte tenu de Eq. 12 de définition du flux de chaleur, cela conduit à :
φ Γw
φ Γc
usc τ Γc En effectuant la même analyse entre la paroi fictive Γ c et le centre C1 du volume V1 , on obtient :
φ Γc
usc τ Γc
Puisque τw
τ Γw
τ Γc
φ C1
us1 τ C1 τ C1 , il résulte des deux relations précédentes :
φ C1
us1 τw
φ Γw
φw
φ Γc
usc τw (46)
Ainsi, à partir du flux thermique sur la paroi réelle, nous pouvons évaluer le flux diffusif à imposer pour l’équation de l’é
Remarque : Si on désire des conditions aux limites pour la température à la paroi fictive, il faut prendre
en compte les variations du champ de vitesse entre la paroi fictive Γ c et le centre de la cellule C1 , ce qui
implique que φ1 φc . Nous renvoyons à la section 4 pour plus de détails.
Remarque : Dans le cas de parois réelles athermanes, il ne faut pas croire que le flux thermique à la
paroi fictive est nul. En effet, Eq. 46 donne le flux thermique à la paroi fictive :
φc
usc τw (47)
Remarque : A la paroi fictive Γc , il n’y a pas de condition d’adhérence du fluide. En effet, la vitesse sur
la paroi fictive est usc 0.
3.1 Tenseur des contraintes
Pour reconstituer le tenseur des contraintes sur la paroi et au centre des cellules adjacentes, il faut
supposer que le vecteur force de cisaillement est égal à τ w s, c’est-à-dire que seules les composantes τ sn τns
du tenseur dans le repère local sont non nulles 3 . On obtient ainsi, par changement de base, et en appelant
(s1 s2 s3 ) et (n1 n2 n3 ) les composantes des vecteurs de la base locale :
τxxw
τyyw
τzzw
τxyw
τxzw
τyzw
τw s1 n1 τw s2 n2 τw s3 n3 τw s1 n2
τw s1 n3
τw s2 n3
s2 n1 s3 n1 s3 n2 (48)
3 Il est clair que cette hypothèse est fausse en ce qui concerne le tenseur de Reynolds mais elle est suffisante pour calculer le
bilan des flux diffusifs sur les interfaces des cellules adjacentes à une paroi.
12
3.2 Vecteur flux de chaleur
Le vecteur flux de chaleur à la paroi fictive sert au calcul des flux diffusifs. En supposant qu’il est porté
par la normale à la paroi, on a simplement :
φ φn n (49)
Le traitement complet dépend de la nature de la paroi.
– paroi adiabatique : le flux de chaleur est non nul à la paroi fictive et calculé par Eq. 47, alors qu’il
est nul à la paroi réelle :
φnw 0
(50)
φnc usc τw – paroi isotherme : Eq. 15 appliquée à la cellule adjacente à la paroi fictive donne le flux de chaleur
pariétal et Eq. 10 donne le flux de chaleur dans cette cellule à partir de φ nw et le flux de chaleur à la
paroi fictive :
τw
u2
φnw Tw T1 A s1
2 Aus1
(51)
φn1 us1 τw φnw φnc usc τw φnw 4 Construction des conditions aux limites sur les variables conservatives à
la paroi fictive
Il est maintenant nécessaire de connaı̂tre les grandeurs ρ c , u c et Ec sur la paroi fictive connaissant les
valeurs de ces champs au centre de la première maille au-dessus de la paroi fictive. On a :
τc
φc
φw
ρw u2τ
us τw
µ
µt Cp µ
Pr
∂us
∂n
µt ∂T
Prt ∂n
(52)
(53)
On suppose que le gradient de pression est nul dans la direction normale à la paroi. La loi des gaz parfaits
permet de déduire :
ρ1 T1
ρc (54)
Tc
Les changements les plus importants entre les deux approches de loi de paroi interviennent au niveau de
la condition aux limites sur la vitesse. En effet, pour l’approche existant dans elsA, la vitesse était nulle à la
paroi ce qui n’est pas le cas ici. Soit n le vecteur normal à la paroi. Le vecteur vitesse tangent à la paroi u S
est défini par Eq. 8. Notons us la composante tangentielle de la vitesse. On a :
µ
µt ∂us
∂n
d’où :
usc
ρw u2τ
us1 τc
h1 τw
µ µt
τw (55)
(56)
Il faut aussi prendre en compte la composante normale du vecteur vitesse. Nous supposons que cette
composante se conserve entre la paroi fictive et le centre de la première maille au dessus de cette dernière :
unc n un1 n u1 us1 s 13
(57)
Comme uc
usc s
unc n, on en déduit :
u c
τc h1 t µ µt
u 1 (58)
Pour la condition sur l’énergie totale, si on désigne par E c l’énergie totale à la frontière Γ c et Tc la
température associée, on a :
– En adiabatique : φw 0
φc uSc τw . De plus, nous utilisons une relation analogue à celle de Eq. 39 :
φc
τw
us 2
Tc T1 A c
Ausc
2 usc τw (59)
et on accède facilement à la température Tc :
Tc
– En isotherme : φc
φw
3
Aus 2c
2
T1
(60)
uSc τw et on dispose aussi de Eq. 59, d’où on déduit :
Tc
T1
3
Aus 2c
2
Aφw usc
τw
(61)
On déduit finalement des Eq. 58, Eq. 60 et Eq. 61 l’énergie totale :
ρc Ec
ρc Cv Tc
1
uc
2
2
(62)
5 Construction des conditions aux limites sur les grandeurs turbulentes
Dans un premier temps, seul le modèle k ε de Jones-Launder sera considéré. Les grandeurs turbulentes
sont reconstruites à la paroi fictive avec les relations :
k
ε
avec :
lε
τw
ρc Cµ
(63)
k3 2
lε
(64)
Cµ δ
δ 1 exp
3 4
2κ
Cµ
κ
3 4
et δ ρc τw
δ
µ ρw
(65)
6 Validation
L’implémentation de la nouvelle version des lois de paroi n’a pas été facile. Actuellement, deux cas-test
ont permis de valider la mise en œuvre proposée : la plaque plane adiabatique et le profil 2D RAE2822.
14
6.1 La plaque plane
Pour les simulations avec nos lois de paroi et avec un modèle de turbulence valide jusqu’à la paroi, nous
avons considéré le maillage dont les caractéristiques sont rappelées ci-après.
xmin
ymin
zmin
0 0
0 0
1 0
xmax
ymax
zmax
1 0
0 125 à 0 5
2 0
Le maillage est donc de forme trapézoı̈dale et dispose de 81 mailles dans la direction y (normale à la paroi),
de 45 mailles dans la direction x et d’une maille dans la direction z. Les hauteurs de première maille varient
ainsi entre 2 10 6 et 8 10 6. Pour comparaison, nous avons aussi considéré un maillage adapté pour les lois
de paroi développées par l’ONERA. Ce dernier dispose alors de 50 mailles dans la direction y et la hauteur
de première maille varie entre 2 2 10 4 et 9 10 4 .
L’écoulement considéré est transsonique stationnaire. Le nombre de Mach à l’entrée est de 0.7 et le
nombre de Reynolds est de 7 564 304. La température du fluide est fixée à 300K à l’infini amont et permet
de prendre en compte les variations de viscosité (Eq. 2. La paroi solide est adiabatique. Le paramètre δ des
22.
lois de paroi est fixé à 10 4 , ce qui correspond à 11 y Pour toutes les simulations, un schéma Runge-Kutta d’ordre 4 a été utilisé pour la discrétisation temporelle et un schéma centré de Jameson pour la discrétisation en espace. Les coefficients de viscosité artificielle
ont été pris tels que :
k2
0 5
k4
σ 1 0
0 016
Le CFL a été fixé a 2 pour toutes les simulations. La modélisation de la turbulence se base sur les
versions haut-Reynolds ou bas-Reynolds du modèle de turbulence k ε. L’initialisation des calculs se base
sur un écoulement à l’infini amont défini par les relations suivantes sur les variables sans-dimension :
ρ
0 79157879
ρu
ρE 1 4639985
ρk
0 52879948
1 0 10
ρv
8
ρε
0 0
ρw
1 0 10
0 0
6
Nous présentons en Fig. 2 le coefficient de frottement pariétal obtenu avec les différentes méthodes. Les
différences apparaissent au bord d’attaque mais ne sont pas caractéristiques d’une mauvaise implémentation.
A partir de l’abscisse x 0 15, lorsque la couche limite est bien établie, les différences sont complètement
négligeables.
On déduit de Fig. 2 que le flux diffusif de l’équation de conservation de la quantité de mouvement est
bien évalué par les lois de paroi. Il reste à vérifier que l’écoulement dans son ensemble est bien calculé. Pour
cela, 3 coupes dans l’écoulement ont été réalisées aux abscisses x 0 15, x 0 46 et x 0 82. Si l’on se
concentre sur la variable conservative ρu, on ne voit des différences que dans la région proche paroi et nos
résultats sont d’avantage en accord avec ceux obtenus par le modèle bas-Reynolds que ceux obtenus avec la
version initiale des lois de paroi.
Si on s’intéresse à la variation de la vitesse normale (Fig. 4), près du bord d’attaque de la plaque,
les valeurs que nous obtenons sont bien meilleures. Cependant, plus on s’éloigne (donc plus la valeur de
i augmente), meilleurs sont les résultats obtenus avec les lois déjà existantes même si les résultats de la
nouvelle implémentation sont tout à fait cohérents.
Pour la variation de l’énergie dans la couche limite (Fig. 5), quelle que soit l’abscisse choisie, le profil
obtenu est très proche du profil obtenu sans lois de paroi et, quoi qu’il en soit, plus proche que celui qu’on
pouvait obtenir en utilisant les lois existantes.
15
0.014
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
0.013
0.012
Frottement
0.011
0.01
0.009
0.008
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.25
0.5
0.75
x
F IG . 2 – Comparaison du frottement pariétal sur la plaque pour les deux approches
Nous présentons aux Fig. 6 et Fig.7 les profils de ρk et ρε pour les 3 abscises considérées. A nouveau,
les différences apparaissent essentiellement tant que la couche limite n’est pas complètement établie. Les
résultats avec notre approche sont meilleurs que ceux avec les lois de paroi avec adhérence.
Enfin, sur Fig. 8, nous dessinons les résidus de convergence en lois de paroi pour les variables conservatives et turbulentes. La convergence est rapide. Le nombre d’itérations très élevé (20000) est expliqué par
le fait que nous n’appliquons pas de lois d’augmentation en CFL au fur et à mesure de la convergence.
16
x = 0.15
x = 0.46
0.5
0.5
0.45
0.4
0.4
rovx
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
0.3
0.25
0.2
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
0.3
0.2
0.15
0.1
0.1
0.05
0
0.001
0.002
0
0.002
y
0.004
y
x = 0.82
0.5
0.4
rovx
rovx
0.35
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
0.3
0.2
0.1
0
0.005
0.01
y
F IG . 3 – Profil de ρu en différentes abscisses de la plaque (pour x=0.15, x=0.46 et x=0.82)
17
x = 0.15
x = 0.46
0.0014
0.002
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
0.0012
0.001
rovy
rovy
0.0015
0.001
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
0.0008
0.0006
0.0004
0.0005
0.0002
0
1.07658E-06
0.0500011
0
1.5023E-06
0.100001
0.0500015
y
0.100002
0.150002
y
x = 0.82
0.0012
0.0011
0.001
0.0009
0.0008
rovy
0.0007
0.0006
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0
2.93892E-06
0.100003
0.200003
0.300003
y
F IG . 4 – Profil de ρv en différentes abscisses de la plaque (pour x=0.15, x=0.46 et x=0.82)
18
x = 0.15
1.44
1.44
1.42
1.42
1.4
roE
1.4
1.38
1.38
1.36
1.36
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
1.34
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
1.34
1.32
1.32
1.3
1.3
0
0.001
0.002
0
0.001
0.002
y
0.003
0.004
0.005
y
x = 0.82
1.46
1.44
1.42
1.4
roE
roE
x = 0.46
1.46
1.46
1.38
1.36
1.34
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
1.32
1.3
0
0.005
0.01
y
F IG . 5 – Profil de ρE en différentes abscisses de la plaque (pour x=0.15, x=0.46 et x=0.82)
19
x = 0.15
x = 0.46
0.003
0.002
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
0.0025
0.0015
rok
rok
0.002
0.0015
0.001
0.001
0.0005
0.0005
0
0
0
0.0005
0.001
0.0015
0
0.002
y
0.004
0.006
y
x = 0.82
0.0018
0.0016
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
0.0014
rok
0.0012
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0
0
0.005
0.01
0.015
y
F IG . 6 – Profil de ρk en différentes abscisses de la plaque (pour x=0.15, x=0.46 et x=0.82)
20
1.4
x = 0.15
x = 0.46
1.3
0.4
1.2
1.1
1
0.8
0.7
0.6
roeps
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
0.2
0.5
0.4
0.1
0.3
0.2
0.1
0
0
0
0.0005
0.001
0.001
0.002
y
0.003
0.004
y
x = 0.82
0.25
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
0.2
roeps
roeps
Sans lois de paroi
Lois avec condition d’adherence
Lois avec condition de semi-glissement
0.3
0.9
0.15
0.1
0.05
0
0.002
0.004
0.006
y
F IG . 7 – Profil de ρε en différentes abscisses de la plaque (pour x=0.15, x=0.46 et x=0.82)
21
Residus
Residus
15
Echelle logarithmique
Echelle logarithmique
15
10
rho
rho U
rho E
5
0
-5
-10
10
rho k
rho epsilon
5
0
-5
-10
5000
10000
15000
20000
5000
iteration
10000
15000
20000
iteration
F IG . 8 – Résidus de convergence en échelle logarithmique pour les variables conservatives et le mod èle de
turbulence en utilisant la formulation semi-glissement des lois de paroi.
6.2 Le cas RAE2822
Nous considérons le cas-test rae2822 [9]. Le maillage est mono domaine et dispose de 257x65x2 mailles.
L’écoulement est caractérisé par un nombre de Mach de 0.73, un nombre de Reynolds de 6 5 10 7 et une
incidence de 2.79 deg. On impose en données à l’infini amont le jeu de valeurs suivant :
ρ
1 0
ρw
ρk
ρu
0 99881465
0 0
ρE
ρε
1 0 10 8
ρv 0 048675444
3 8509369
1 0 10 6
La température du fluide est fixée à 271.1K à l’infini amont, tandis que la paroi solide est adiabatique.
Pour toutes les simulations, un schéma Runge-Kutta d’ordre 4 a été utilisé pour la discrétisation temporelle et un schéma centré de Jameson pour la discrétisation en espace. Les coefficients de viscosité artificielle
ont été pris tels que :
k2
0 5
k4
0 032
σ 1 0
Le CFL a été fixé à 1.7 pour la simulation avec lois de paroi et à 0.3 pour la simulation bas-Reynolds.
36 5
Pour la simulation avec lois de paroi, nous avons fixé δ 1 10 4 , ce qui correspond à 11 4 y Nous montrons en Fig. 9 une comparaison de la distribution du nombre de Mach au voisinage de l’aile.
Les deux écoulements sont comparables.
Enfin, en Fig. 10, nous comparons le coefficient de pression pariétal obtenu par les lois de paroi ou par
une simulation avec un modèle de turbulence bas-Reynolds avec les données expérimentales. Les résultats
obtenus avec les lois de paroi sont en accord avec les données expérimentales. La simulation bas-Reynolds
donne une bonne idée des résultats que l’on pouvait attendre, même si le C p est plus éloigné des données
expérimentales dans ce cas qu’avec les lois de paroi. Ceci peut s’expliquer par des difficultés à faire converger l’écoulement en bas-Reynolds sans utiliser une implicitation robuste et efficace des équations. De plus,
ce cas-test démontre que les lois de paroi permettent une convergence rapide qui est plus difficile à atteindre
avec un modèle de turbulence bas-Reynods.
22
Simulation avec modele de turbulence bas-Reynolds
Simulation avec lois de paroi
1.25
0.75
0.5
0.25
M
1.2293
1.1427
1.0561
0.969499
0.882898
0.796296
0.709695
0.623093
0.536491
0.44989
0.363288
0.276687
0.190085
0.103484
1
0.75
z
1
z
1.25
M
1.2293
1.1427
1.0561
0.969499
0.882898
0.796296
0.709695
0.623093
0.536491
0.44989
0.363288
0.276687
0.190085
0.103484
0.5
0.25
0
0
-0.25
-0.25
-0.5
-0.5
0
0.5
1
1.5
0
0.5
x
1
1.5
x
F IG . 9 – Comparaison de la distribution du nombre de Mach au voisinage du profil.
Coefficient de pression parietal
1.5
Lois de paroi
Modele Bas-Reynolds
Donnees experimentales
1
C_p
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X(m)
F IG . 10 – Coefficient de pression pariétal obtenu avec les lois de paroi ou avec le modèle de turbulence
k ε bas-Reynolds. Comparaison avec les données expérimentales.
23
Conclusion
La première partie du stage a permis l’implémentation des lois de paroi dans le code elsA et la validation
de ces lois sur deux cas en 2 D : une plaque plane et un profil RAE. Les résultats obtenus sont comparables
à ceux obtenus avec une simulation bas-Reynolds. Ainsi, les premiers résultats sont très encourageants.
Cependant, on ne peut parler que de ”premiers résultats” car les cas étudiés sont d’un niveau de difficulté
faible.
Les objectifs actuels sont de passer à des cas-tests plus réalistes 2D et 3D, notamment en augmentant la
complexité de l’écoulement (écoulements décollés, instationnaires,...). De plus, du point de vue utilisateur,
il faut aussi mettre en relief l’impact du raffinement de maillage et du choix de δ sur la solution. Avec
la formulation lois de paroi avec semi-glissement, les résultats doivent être pratiquement indépendants du
raffinement de maillage et le choix du paramètre δ ne doit pas influencer notablement la solution, dans la
300. Enfin, du point de vue purement numérique, nous regarderons aussi
mesure où l’on respecte 0 δ le couplage des lois de paroi avec des techniques de maillages AMR ou multigrilles. Ainsi, nous pourrons
combiner l’accélération de la convergence des écoulements par modification de la physique (lois de paroi)
avec les techniques d’accélération numérique de la convergence.
Enfin, une note sera rédigée et insérée dans [10, 5, 11] afin de permettre aux utilisateurs et aux personnes
en charge du développement d’elsA un bonne compréhension du traı̂tement effectué.
24
Références
[1] B. Mohammadi and G. Medić (1998), A Critical Evaluation of the Classical k ε Model and WallLaws for Unsteady Flows over Bluff Bodies, IJCFD, 10, Number 1, pp. 1-12.
[2] G. Puigt (2001), Modélisation, étude mathématique et numérique des lois de paroi pour les
écoulements à grande vitesse sur parois lisses et rugueuses, thèse de doctorat de l’Université Montpellier II.
[3] B. Mohammadi (1994), CFD with NSC2KE : an User Guide, INRIA Technical Report RT-164.
[4] R. Houdeville, E. Goncalves, A. Jolles (1999) Spécification et implémentation d’une loi de paroi avec
conditions limites de non-glissement, Note Technique elsA.
[5] ONERA (1999), Manuel théorique elsA.
[6] E. Goncalves (2001), Implantation et validation de lois de paroi dans un code Navier-Stockes, thèse
de Doctorat de l’Ecole Nationale Supérieure de l’Aéronautique et de l’Espace.
[7] J. Cousteix (1990), Turbulence et couche limite, Cepadues Ed.
[8] E.R. Van Driest (1951), Turbulent Boundary Layers in Compressible Fluids, J. of Aeronautics Science,
18, No. 145.
[9] P.H. Cook, M.A. McDonald, M.C.P. Firmin, AGARD Advisory Report No. 138, (1979 unpublished).
[10] ONERA (2000), Developper’s guide elsA.
[11] ONERA (2001), Manuel utilisateur elsA.
25
Résumé
Le code elsA de résolutions des équations de Navier-Stokes de l’ONERA est basé sur une approche de
type volumes finis sur des maillages structurés et est écrit en C++ et fortran avec une méthodologie Orientée
Objet. Le CERFACS participe au développement d’elsA, dans le cadre d’un accord de coopération avec
l’ONERA. Ce code doit entrer en production chez Airbus France prochainement.
L’objectif du stage est de mettre en œuvre une technique d’accélération de la convergence des calculs :
les lois de paroi. Le principe des lois de paroi est de remplacer la condition aux limites d’adhérence à la
paroi par des relations plus sophistiquées entre les variables et leurs dérivées. Les nouvelles conditions aux
limites trouvées ne sont plus appliquées directement à la paroi, mais sur une paroi fictive située près du haut
de la couche limite. Ainsi, on ne calcule pas la région intermédiaire qui contient cependant la plus grande
partie de la physique.
Il a d’abord été question d’étudier la théorie des lois de paroi. Nous nous sommes aussi intéressés à la
mise en œuvre des lois déjà implantées dans elsA, lois qui utilisent un principe de concaténation des mailles
proche-paroi et conservent la condition d’adhérence. Nous avons ainsi mis en relief les modifications à
apporter pour implémenter la méthode de la paroi fictive. En parallèle, il était indispensable de comprendre
la structure du code et en particulier, les différentes classes. Ensuite a suivi la phase de codage de la nouvelle
technique des lois de paroi. Plusieurs simulations d’écoulements transsoniques stationnaires permettront de
valider les lois.