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Bac Pro indus
RÉGIME ALTERNATIF SINUSOïDAL MONOPHASÉ
I) Aspect mathématique d’une tension alternative sinusoïdale
1) Caractéristiques d’une tension alternative sinusoïdale
L’oscillogramme traduit les variations de la tension u au cours du temps. u est la tension
instantanée.
U (en V)
Um
T
0
- Um
À partir de cette courbe, on lit :
-
la tension maximale (en V) notée Um (parfois Umax) et appelée amplitude
-
la période (en s) notée T, temps au bout duquel le signal se reproduit identique à luimême.
Et on déduit :
-
la fréquence (en Hz) notée f, inverse de la période.
-
la pulsation (en rad/s) notée ω.
ω = 2π f =
f =
2π
T
1
T
2) Représentation de Fresnel
JJJG
La sinusoïde représentant la tension alternative sinusoïdale u, est engendrée par le vecteur U m
JJJG
appelé vecteur de Fresnel. À l’origine des temps, U m est l’axe Ox, origine des phases.
Le vecteur tourne autour du point O. La vitesse angulaire de rotation est égale à la pulsation ω
de la tension.
Sens
de
rotation
x’
y
0
U (en V)
JJJG x
Um
0
T
4
t (s)
y’
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3) Valeur instantanée de la tension
La tension est une fonction sinusoïdale du temps.
a) Cas où la tension est nulle au temps t = 0
Dans ce cas U(0) = 0. La tension est donné par :
u = U m sin (ωt ) = U eff 2 sin (ωt )
U m = U eff 2 ,
Um : tension maximale
Ueff : tension efficace
b) Cas où la tension prend la valeur u0 au temps t = 0
Dans ce cas U(0) = u0. La tension est donné par :
u = U m sin (ωt + ϕ ) = U eff 2 sin (ωt + ϕ )
φ : phase à l’origine.
Sens
de
rotation
x’
y
U (en V)
u0
0
φ
JJJG x
Um
T
0
t (s)
y’
II) Déphasage entre deux tensions
y
U (en V)
JJG
Vm
x’
0
v0
φ
JJJG x
Um
0
t (s)
y’
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JJG
JJJG
Les vecteurs U m et Vm représentent respectivement les tensions u et v. L’angle φ tel que
JJJG JJG
ϕ = U m ;Vm est appelé déphasage.
JJJG
JJG
U m et Vm ont la même vitesse angulaire. Le déphasage reste constant.
(
)
III) Additivité des tensions
~
A
Dans le circuit ci-dessus uAC = uAB + uBC.
B
C
JG
JG
JG
Si les vecteurs U AC , U AB et U BC représentent respectivement les tensions uAC, uAB et uBC ,
alors :
JG
JG
JG
U AC = U AB + U BC
JG
U AC
Diagramme de Fresnel :
JG
U AB
JG
U BC
φ
IV) Courant alternatif sinusoïdal
1) Expression de l’intensité
Un dipôle soumis à une tension alternative u = Um sin (ωt) est traversé par un courant
alternatif sinusoïdal d’intensité i = Im sin (ωt+φ) où φ est le déphasage de i par rapport à u.
i
u
2) Vecteur de Fresnel
JJG
Comme pour une tension, un courant peut être représenté par un vecteur de Fresnel I m où
I m = I eff 2
JJG
Im
JJJG
Um
φ
3) Loi des noeuds
i = i1+ i2
G JG JJG
Si les vecteurs I , I1 et I 2 représentent respectivement les intensités i, i1 et i2, alors :
G JG JJG
I = I1 + I 2
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V) Impédance d’un circuit
1) Définition
U
Le rapport
est appelé impédance du circuit et se note Z.
I
U : tension en V
I : intensité en A
Z : impédance en Ω
Z=
U
I
Cette relation conduit à la loi d’Ohm en régime sinusoïdal : Z = U × I
2) Principaux dipôles passifs
G
Le vecteur de Fresnel I associé au courant i est pris comme référence d’origine des phases.
Dipôle
Impédance
Diagramme de Fresnel
Résistor
parfait
Z=R
R : résistance
en Ω
φ = 0.
JG
U
G
G I
JG
U et I sont en phase
JG
G
U = Lω I
Bobine
parfaite
Condensateur
parfait
Z = Lω
L : inductance
en henrys (H)
1
Cω
C : capacité en
farads (F)
Z=
ϕ=
Oscillogramme
i
u
i
π
G 2
I
G
JG
U est en quadrature avance sur I .
G
I
u
i
G
JG I
U=
Cω
G
JG
U est en quadrature retard sur I .
u
Dipôles réels
Dipôle
équivalent
Dipôle
Bobine réelle
uL
ur
L
r
Impédance
JG
JG JG
U bobine = U L + U r
Z = r 2 + ( Lω )
ubobine
i
2
JG
K
U = ZI
iR
 1 
Z = r +

 Cω 
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2
cos ϕ =
K
Lω I
φ
K
rI
r
Z
K
I
JG
U
r
G
G G
I condensateur = I C + I r
iC
Condensateur
réel
Diagramme de Fresnel
JG
U
Z
φ
JK
U ⋅ C ⋅ω
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