DV maths 3e vers seconde 2013 - Saint

Pour un bon départ en classe de 2nde – Mathématiques 2013
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Des bases solides sont nécessaires pour réussir l’entrée en classe de seconde.
Ce travail personnel est à rendre à la rentrée, à votre professeur de mathématiques ; ce
devoir ne sera pas noté mais le sérieux, la volonté et la motivation engagés afin de réussir
seront évalués.
Ce devoir porte sur la maîtrise des nombres, des calculs, de l’algèbre et des fonctions étudiés
au collège.
Les réponses seront données directement sur le sujet et les feuilles agrafées.
Par ailleurs, vous réviserez vos cours de statistiques, de probabilités et de géométrie (propriétés des
triangles, des quadrilatères et du cercle).
Plan du devoir:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
Vocabulaire ................................................................................... page 2
Fractions ....................................................................................... page 3
Puissance d’un nombre , puissance de 10 .................................. page 4
Racine carrée................................................................................. page 5
Développement ............................................................................. page 6
Factorisations simples ................................................................... page 7
Identités remarquables et factorisations ........................................ page 8
Résolution d’équations ................................................................. page 10
Inégalités. Résolution d’inéquations ............................................. page 11
Fonctions....................................................................................... page 12
La qualité de la rédaction, le soin, et la propreté apportés à ce travail seront pris en compte dans
l’appréciation des copies. Les calculs doivent être effectués sans calculatrice. Cette dernière
pourra être utilisée pour contrôler les résultats.
Appréciation du professeur :
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I.
Vocabulaire
1. L’expression x2 + 5 se traduit par : « la somme du carré de x et de 5 ».
Traduire les expressions littérales ci-dessous en utilisant les mots suivants :
carré – cube – double – somme – produit – opposé – inverse
1
x2 + y
+ 2y
x3 × 2 y
− ( x + y)2
x
2. Transformer chacune des phrases ci-dessous en langage mathématique :
Exemple : Le triple d’un nombre est égal à 13 se traduit par 3 = 13
a) B est la somme du carré d’un nombre a et de 4.
b) C est le produit de la moitié d’un nombre
par 7.
c) D est le carré de la somme de 2 et d’un nombre .
d) Le produit d’un nombre
par la différence du double de ce nombre et de 8 est égal à 0.
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II.
1 3
= −
5 5
Fractions.
Calculer et simplifier si possible.
=
3 −9
= −
2
5
5
−2
−
−7
3
=
7 6
= ×
4 8
=
−1 −2
÷
3
5
=
1 3 7 6
− × −
5 5 4 8
7 6
= −
4 8
=
−1 −2
+
3
5
=
1 3
× 5 5
3 −9
= ×
2
5
=
5
−2
÷
−7
3
=
7 6
5
−2
× ×
÷
4 8 −7
3
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III.
Puissance d’un nombre, puissance de 10.
Donner le résultat sous la forme irréductible (forme : 10 pour les calculs A à E).
= 10 × 10!
=
#10$' %$"
=
10$(!
= #10$ %&
10 !
= )10 × " *
10
−2
−5 '
=
×+ ,
5
3
10
10"
'
3 '
=+ ,
2
7' 6
5
−2
=
× ×
÷
4
8 #−7%
3
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IV.
Racine carrée.
1. Compléter :
√… … = 3
√… … . . = 12
√… … = 0,1
√4 = ⋯ … … ….
20,04 = ⋯ …
2#3,5%' = ⋯ ….
√8100 = ⋯ ….
29 × 10' = ⋯ … ..
1 '
3+ , = ⋯ ..
3
2. Réduire:
= 2√3 − √2 + √12
1
3 = ⋯ ….
36
2#−5%² = ⋯ … ..
210'5 = ⋯ ….
= 5√7 − 11√49 − 10√2
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V.
Développement.
1.
Qu’est-ce que développer ?
2.
Développer les expressions suivantes :
= −# − 5 + 6 − 67%
=
= # − 2%#4 − 5% + #− + 2%# + 1%
= # − 3% − #2 − 6%# + 1%
=4
= # − 2%# + 5% + #
'
− 9 − #2 + 3%#− + 5%
+ 9 − # − 46 + 38%
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'
− 4%
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VI.
Factorisations simples.
1. Que veut dire « factoriser » ?
2. Factoriser après avoir souligné le facteur commun.
= 7 + 12
= −6#3 − 2% + #3 − 2%# + 5%
=2 9−9
3. Faire apparaitre le facteur commun et factoriser.
= 4 + 12
= 2 + 67
= −4
'
+8 6
= 35 − 5
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VII. Identités remarquables et factorisation
1. Rappeler les trois identités remarquables.
2. Compléter :
9
'
= #… . . %' ; 257 ' = #… … %' ; 4006 ' = #… … %' ; 121
'
= #… … %' ; 499 ' = #… … %'
3. Factoriser en utilisant une identité remarquable.
= 25
'
+ 30 + 9
= 36 + 12 +
'
= 100 − 40 + 4
=4
'
−9
= 4 − 49; '
'
=
'
+ 10 + 25
=
'
−2 +1
=
'
−4
= 100 − 25
= 36 − 49
'
'
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4. Factoriser :
= # − 2%# + 5% + #
=4
'
'
− 4%
− 9 − #2 + 3%#− + 5%
Défi : Autres factorisations .
= # − 3% + #2 − 6%# + 1%
= # − 2%#4 − 5% + #− + 2%# + 1%
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VIII. Résolution d’équations.
1. Qu’est-ce qu’une équation ?
2. Résoudre les équations suivantes.
+2=9
− 5 = 17
− + 3 = 12
3 = − − 10
2 =7
−3 + 7 = −12
− +2=3
−7 = 0
2 − 9 + 3# − 1% = 5
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Traduire par une équation et résoudre : La somme du triple de
IX.
Inégalités, résolution d’inéquations.
1. Inégalités.
Compléter :
Si < 9 =>?@ − 9 … … … … ….
Si
et de l’opposé de 3 vaut 33.
< 1 =>?@ + 5 … … … … … ….
AB > 9 =>?@ − 9 … … … … … ..
AB < 1 =>?@ − 5 … … … ….
AB ≤ 5 =>?@2 … … … … … ..
AB ≤ 5 =>?@ − 2 … … … … …
AB2 ≥ −6 =>?@ … … … …
AB − 2 ≥ −6 =>?@ … … … ..
2. Résoudre les inéquations suivantes. Représenter graphiquement les solutions de ces
inéquations.
Inéquations
Représentation graphique des solutions
+ 10 > 5
− 9 < −11
3 >5
−13 + 13 < 0
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X.
Fonctions
Exercice 1.
Soit F la fonction dont on donne la courbe représentative
carreau correspondant à l’unité), ci-dessous.
G
dans un repère orthonormé (le petit
1. Lire graphiquement le (ou les) antécédent(s) de 1, 0, -1 et 4 par la fonction F.
2. Lire graphiquement les images des nombres -1 et 1 par la fonction F.
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Soit la fonction Hdéfinie pour tout nombre relatif par H# % = 4 + 9
3. Quelle est la nature de la fonction H? Justifier en donnant une définition.
4. Représenter I la courbe représentative de Hdans le repère précédent.
5. Calculer H#2% et l’image de −4 par H.
6. Déterminer par un calcul clairement exposé, le(ou les) antécédent(s) de 0 par la fonction H.
7. A partir des questions 5 et 6, déterminer les coordonnées de trois points appartenant à
8. Graphiquement, pour quelle(s) valeur(s) de
a-t-on H# % = F# % ?
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I.
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Exercice 2 : Pour aller plus loin….
Pour cet exercice, vous ferez figurer dans votre devoir vos traces de recherche, même
incomplètes ou non fructueuses…
ABCD est un carré de côté 4, M est un point de la diagonale [BD] . H est le pied de la perpendiculaire
à la droite (BC), issue de M. On pose BH = . (Voir figure page 16).
1. Compléter :
2. Démontrer que HM = .
……….≤
≤ ⋯ … … ….
3. Démontrer que l’aire J du trapèze AMHB est égale à
K
#
'
+ 4%.
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4. Dans les questions précédentes, nous avons défini une fonction H. Laquelle ?
5.
a.
b.
c.
Soit H la fonction définie dans la question 4.
Calculer l’image de 2 par H.
Est-ce que 5 a une image par H ?
Déterminer les antécédents de 0 par H.
______________________Bonne rentrée________________________
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