Résumé sur la diffusion

Phénomènes de transport à travers
les membranes biologiques
Phénomènes de Transport à travers
les membranes biologiques
1.
• définition : la diffusion correspond à un phénomène de
transport d’une grandeur physique.
1. La Diffusion Libre
1.1 Introduction
1.1.1
1.1.2
Transport de chaleur
Transport de molécules à l’état gazeux
1.2 Diffusion de masse dans les solutions : Transport de soluté
1.2.1
1.2.2
1.2.3
Diffusion libre : approche macroscopique Lois de Fick
Définitions
Régime transitoire
Régime permanent
1.1 Introduction
1.1.1
Transport de chaleur
Considérons une barre métallique isolée thermiquement de
l’extérieur :
L
Flux et densité de flux
1.4 Première loi de Fick
1.5 Loi de Fick généralisée
1.3
1.5.1
1.5.2
A
M
B
i
En milieu homogène
En milieu non homogène
x
TA
TB
x
Si TA et TB sont maintenues ctes ⇒ état d’équilibre
2. Diffusion à travers les membranes
La température au point M d’abscisse x sera donnée par la
relation :
T − TA
T (x) = TA + B
⋅x
L
Il existe alors, au point M, un gradient de température :
→
grad T =
avec :
1
∂ T → d T → TB − TA →
⋅ i =
⋅ i =
⋅ i
dx
∂x
L
TB − TA
< 0
L
si TB < TA
2
T
• Diffusion de masse : il faut qu’il y ait un mouvement
d’ensemble des molécules.
TA
Pour créer cette diffusion, il suffit d’ouvrir un orifice de
l’enceinte :
TB
O
L
x
• Il s’agit d’un équilibre dynamique car il s’accompagne d’un
flux de chaleur permanent de A vers B
• Ce flux de chaleur est caractérisé par son intensité :
dQ
dt
Au bout d’un temps très long : concentration uniforme de
gaz dans l’enceinte et dans le milieu extérieur.
• Si TA → T ’A et TB → T ’B alors la T° de la barre évolue
vers un autre état d’équilibre dynamique, par
l’intermédiaire d’un régime transitoire.
1.1.2
Transport de molécules à l’état gazeux
Pour qu’il y ait diffusion, il faut donc que la distribution
dans l’espace des molécules ne soit pas homogène
On constate aussi que :
Considérons une enceinte fermée contenant un gaz
• ce phénomène de diffusion est très lent (≈ µm/s),
• le déplacement des molécules s’effectue vers les régions
de faible concentration,
Les molécules de gaz sont
en état d’équilibre dynamique
• il est toujours possible de réaliser un régime permanent
(ou stationnaire).
C’est le phénomène
d’agitation thermique
3
4
1.2 Diffusion de masse dans les solutions : Transport
de soluté
•
1.2.1
Définitions
• solution : mélange de composés chimiquement différents
et non réactifs.
• le composé majoritaire s’appelle le solvant (eau, sang, …)
• les composés dissous sont les solutés (ions, sucre, urée …).
On supposera toujours que les solutions sont très diluées :
Nbre de molécules de soluté << Nbre de molécules de solvant
Diffusion de molécules de soluté
⇔ déplacement macroscopique de ces molécules d'une
région de forte concentration vers une région de faible
concentration, résultant de l’agitation thermique et reposant
sur l’idée de marche au hasard.
Les molécules de solutés ont des mouvements permanents
liés à l'agitation thermique.
Solution diluée : les molécules n'interagissent entre elles
que pendant les chocs.
Entre 2 collisions, le trajet des molécules est rectiligne.
• la concentration peut être définie de 3 manières :
déplacements aléatoires des molécules
1) Nombre de particules de soluté / unité de volume de
solution : concentration en molécules
dN
[C ] = L−3
C=
;
dV
A
L1
2) Masse de soluté / unité de volume de solution :
concentration massique
dm
[C ] = M ⋅ L−3
Cm =
;
dV
3) Nombre de moles de soluté / unité de volume de solution :
concentration molaire
dn
[C ] = L−3
x=
;
dV
L2
Li
B
A l'échelle microscopique, suite de chemins irréguliers en
zig-zag
phénomène décrit par la marche au hasard et
caractérisé par :
N
∑ Li
∆x = i=1
libre parcours moyen (= distance moyenne
N
parcourue par une molécules entre 2 chocs)
ex : 1 mole de glucose (M = 180 gmol-1) dans 1 litre d’eau
x = 1 mole/litre = 103 moles/m3
C = 6,02.1023 molécules/litre = 6,02.1026 molécules/m3
Cm = 180 g/litre = 180 kg/m3
∆t intervalle de temps moyen entre 2 chocs
5
6
A l'échelle macroscopique, on définit une vitesse moyenne
des molécules < v > = vitesse d'ensemble
Régime transitoire
1.2.2
Considérons une enceinte fermée :
A l'équilibre dynamique : pas de mouvement d'ensemble des
molécules
cloison
Compartiment C2
Compartiment C1
A≡B
A
x
O
<v>=0
B
M
L
à t = 0, on enlève la cloison ⇒ diffusion des molécules de
soluté du compartiment le + concentré () vers le
compartiment le moins concentré ().
il y a un flux de particules de soluté
Diffusion de masse = diffusion des molécules de solutés
à t > 0, variation de la concentration : C = C(x,t).
Taux de variation de C = gradient de concentration
A≠B
A
→
grad C =
<v>≠0
∂C →
i
∂x
(diffusion unidirectionnelle)
C(x,t)
B
C1
grad C
t=0
Remarques importantes
t > 0 fixé
• Pour qu'il y ait diffusion, il faut que la concentration en
molécules de solutés soit inhomogène dans l'espace
• Le déplacement des molécules s'effectue vers les régions
de faibles concentrations
• Diffusion : phénomènes très lents ( < v > ≈ µm.s-1)
FLUX
C2
0
L/2
Le flux s'oppose au gradient de concentration
7
x
L
∂C
∂x
<0
8
C + C2
à t = ∞, nouvel état d’équilibre : C = C∞ = 1
uniforme
2
∂C
=0
dans l’enceinte
⇒
∂x
•
Flux de soluté
C’est le nombre de particules de soluté traversant un plan
d’abscisse x donné, par unité de temps
sens > 0 de propagation
S
C(x,t)
J
t=∞
C∞
∂C
∂x
L
0
1.2.3
J(x,t)
x
O
x
Il est possible de créer un régime permanent ou stationnaire
le gradient de concentration doit être maintenu différent
de zéro
mais
x
Si dN est le nbre de particules de soluté ayant traversé S
pendant dt, alors :
Régime permanent
∂C
≠ 0 ∀t
∂x
L
J(x, t) =
[J] = T -1
dN
dt
unité S.I. : s-1
∂C
=0
∂t
• Densité de flux de soluté
C = C(x) indépendant de t
Rq : La concentration moyenne C est C =
j(x,t)
La densité de flux est égale au nombre de molécules de
soluté qui traversent l’unité de surface par unité de temps
⇔ la densité de flux est le flux par unité de surface
traversée.
1 L
∫ C(x) ⋅ dx
L0
Si S est l’aire de la section transversale de l’enceinte, alors :
j(x, t) =
1.3 Flux et densité de flux de soluté
Nous considérerons dans la suite une
unidirectionnelle, dans le sens des x par exemple.
diffusion
9
[j] = L-2 T -1
1 dN
S dt
⇔
j(x, t) =
1
J(x, t)
S
unité S.I. : m-2 s-1
10
Remarques
1.4 Première Loi de Fick
• J et j sont liés au gradient de concentration,
• J et j est de sens contraire au gradient de concentration
i) J(x,t) et j(x,t) sont algébriques (> 0 ou < 0)
S
Ainsi,
S
J(x,t) > 0
j (x, t) = − D ⋅
J(x,t) < 0
x
∂C
∂x
le signe - ⇔ flux des régions de forte concentration
vers les régions de faible concentration,
x
ii) Définitions générales
- intensité ou flux d'une grandeur physique : J ou I ou φ
= quantité transportée par unité de temps à travers une
surface S
unité S.I. : [J] = [I] =[φ] = [unité de la quantité].s-1
D est le coefficient de diffusion
− Dimensions : [D] =
[j] ⋅ [dx] = L−2T −1 ⋅ L = L2T −1 ;
[dC ]
L−3
− Unité SI : m2s-1 {si C est en moles(ou molécules)/m3}
- densité de flux : j
quantité transportée par unité de temps à travers une
surface unitaire arbitraire.
−
Ordres de grandeur :
Dans l’air D(H2) = 6,4 10-5 m2 s-1
Dans l’eau D(glucose) = 6,7 10-10 m2 s-1
Dans l’eau D(ADN) = 1,3 10-12 m2 s-1
unité S.I. : [j] = [unité de la quantité].m-2.s-1
j
J
• Conséquences de la 1ère loi de Fick
quantité
unités
nom
unités
nom
particules
m-2.s-1
s-1
masse
kg.m-2.s-1
flux de
particules
flux de masse
charge
électrique
C.m-2.s-1
ou
A.m-2
densité de flux
de particules
densité de flux
de masse
densité de
courant
kg.s-1
C.s-1
ou
A
intensité du
courant
En milieu homogène :
⇒
∂C
=0
∂x
⇒
j=0
C = cte ∀ x
pas de flux de diffusion
En régime permanent : C indépendant de t
⇒
11
C = C(x) et j = j(x)
12
⇒
∂C
=0
∂t
C2 < C1
Or l'équation de continuité (conservation du nombre de
particules de soluté) s'écrit :
∂C
∂t
∂j
D'où
∂x
=−
∂j
∂x
C
C
C1
C2
C2
C1
=0
O
j = cte ∀x et ∀t
Soit
Or
Donc
Et,
j = −D
∂C
∂x
=
dx
Soit :
dC
∂x
dx
= cte = a
C(x) = ax + b
j = −D
<0
j = cte > 0
L
x
C − C1
= −D 2
= cte
dx
L
dC
dC
dx
>0
j = cte < 0
1.5 Loi de Fick généralisée :
Flux en présence de forces extérieures constantes
C(x = 0) = C1
C(x = L) = C

2
On se limite à l'étude du mouvement d’une particule de
soluté dans un solvant immobile sous l’action d’une force
extérieure uniforme et constante dans le temps et d'un
gradient de concentration s'il existe.
C(x = 0) = b = C1

C2 - C1

C(x = L) = a L + C1 = C2 ⇒ a =
L

C(x) = C1 +
O
x
C(x) varie linéairement
Conditions aux limites :
D’où :
L
Ainsi :
∂ C(x, t)
dC
C2 > C1
C2 − C1
L
→
fe
x
= force extérieure
= force de gravitation, force électrique, …
13
14
1er cas : En milieu homogène : Etude du mouvement
1.5.1
Principe fondamental de la dynamique
d’une particule de soluté dans un solvant sous l’action d’une
force extérieure constante dans le temps
force extérieure = force de gravitation, force électrique …
le solvant est considéré immobile
• milieu homogène ⇒ C = cte ⇒
→
→
fe + fv = m
→
→
fe = fe i et
Or
dv
dt
→
→
v =v i
→
∂C
∂C
=0
= 0 ⇒ j = −D
D
∂x
∂x
Projection du PFD sur Ox
fe − α v = m
mais les particules de soluté se déplacent sous l’action
→
dv
dt
f
dv α
+ v= e
dt m
m
Soit
d’une force extérieure fe
Il existe un flux d'entraînement JE ≠ 0
→
avec fe et v composantes (> 0 ou < 0) respectives de fe et v
suivant Ox
JD = 0 ⇔ pas de flux de diffusion de soluté
•
→
Solution générale vH de l’équation sans 2nd membre
Etude du mouvement des particules de soluté
dv H
Soit m la masse d’une particule de soluté
dt
Forces exercées sur cette particule :
+
α
m
vH = 0
⇒
v H = A exp( −
α
m
t)
A = cte
→
fe : force d’entraînement
→
fv : force de frottement visqueux :
→
Solution particulière vP de l’équation complète
→
fv = − α v
2nd membre ct
⇒
où α = coefficient de frottement > 0 ;
α dépend de la viscosité du solvant, de la forme et de la
taille des molécules de soluté.
→
v vitesse moyenne d'une molécule de soluté
Hypothèse
→
→
→
→
à t = 0, v = 0 et application de fe = fe i
15
⇒ on cherche vP = cte
f
vP = e
α
Solution générale de l’équation complète
v(t) = A exp(−
→
→
Condition initiale : v (t = 0) = 0
f
α
t) + e
m
α
⇒
f
A=− e
α
16
α

− t 
fe 
v(t) =  1 - e m 
α



Soit,
Ordre de grandeur de τ
Existence d’une vitesse limite :
vl = lim v(t) =
t →∞
fe
molécule d’urée (M = 60 g.mol-1), supposée
sphérique (rayon r = 3 Å)
Solvant :
eau (viscosité : η = 10-3 Poiseuille)
⇒
α
On définit la constante de temps caractéristique de la
m
vitesse : τ =
α
Soluté :
D’où :
τ=
m
10−25
=
≈ 2 10-14 s
-10
−3
α 6π 10 3 10
La particule de soluté atteint sa vitesse limite vl après un
temps très court
On a vl = vP
En effet, vl est la vitesse atteinte pas les particules de
Remarques
→
→
60 10-3
≈ 10−25 kg
6,02 1023
Dans le cas d’une particule sphérique : α = 6π η r
t

− 

v(t) = vl  1 - e τ 




Soit,
m=
Si v = v i avec v > 0
soluté en régime permanent
dvl
=0
D'où vl = cte ⇒
dt
f
α
Et par conséquent :
vl = e
m
m
v
vl
régime
permanent
régime
transitoire
•
⇔
f
vl = vP = e
α
Flux et densité de flux d'entraînement
→
0
τ
≈5τ
Sous l’action de fe , chaque particule de soluté va se
déplacer.
t
17
18
1.5.2
On se place en régime permanent
2ème cas : Solution non homogène : Etude du
mouvement d’une particule de soluté dans un solvant sous
l’action d’une force extérieure constante dans le temps et
d’un gradient de concentration
Pendant ∆t, chaque particule parcourt la distance :
∆x = vl ∆t
Le nbre de particules traversant un plan de section S
perpendiculairement à Ox pendant ∆t est égal à :
les densités de flux de diffusion et d’entraînement
∆N = C ∆V = C S ∆x = C S vl ∆t
j(x, t) = j D (x, t) + j E (x, t)
s’ajoutent
→
La force fe crée donc un flux dans la direction x,
appelé flux d’entraînement :
JE =
∆N
∆t
C’est à dire
j(x, t) = −D
∂ C(x, t)
= C S vl
et une densité de flux d'entraînement:
En remplaçant
J
j E = E = C vl
S
vl =
fe
α
j(x, t) = −D
Remarque
=
∂x
D
kT
+ C(x, t) vl
fe ,
∂ C(x, t) D
+
C(x, t) fe
kT
∂x
JE et jE sont algébriques (> 0 ou < 0), dans le sens de vl .
∃ une relation entre α et D :
α=
kT
D
relation d’Einstein
où k est la cte de Boltzmann.
Finalement :
f
j E = C vl = C e
α
⇒
jE =
D
kT
C fe
19
20