CORRECTION Exercice supplémentaire n° 7 - XMaths

CORRECTION
Exercice supplémentaire n° 7
1°) a) On fait un tirage d'un jeton dans S1. L'ensemble des éventualités Ω1 est l'ensemble des tirages
possibles d'un jeton parmi trois. On suppose que les éventualités sont équiprobables, et comme le sac
S1 contient un seul jeton blanc, la probabilité d'obtenir un jeton blanc est :
Card E1
P(E1) =
, donc
P(E1) = 1
3
Card Ω1
En appelant Ω2 l'ensemble des tirages successifs d'un jeton dans S1 puis d'un jeton dans S2, on peut
dire que :
• Si E1 est réalisé, le deuxième sac contient 2 jetons blancs et 1 jeton noir, la probabilité de tirer un
jeton blanc de S2 est alors égale à 2 (en supposant les tirages équiprobables).
3
PE (E2) = 2 .
1
3
Donc

• Si E1 est réalisé, le deuxième sac contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc, la probabilité de tirer un
jeton blanc de S2 est alors égale à 1 (en supposant les tirages équiprobables).
3
 (E ) = 1 .
PE
2
1
3
Donc

Sachant que E2 est la réunion des deux événements incompatibles (E2 ∩ E1) et (E2 ∩ E1), on peut
écrire, en utilisant la formule des probabilités totales :


 (E ) x P(E )
P(E2) = P(E2 ∩ E1) + P(E2 ∩ E1) = PE (E2) x P(E1) + P E
2
1
1
Comme

P(E1)
1
= 1 - P(E1) = 1 - 1 = 2 , on obtient :
3 3
P(E2) = 2 x 1 + 1 x 2 ,
3 3 3 3
donc
P(E2) = 4
9
b) De la même façon que précédemment, pour tout entier k tel que 1 £ k £ n , en se plaçant dans
l'ensemble Ωk des éventualités de k tirages successifs d'un jeton dans S1, puis dans S2, ⋯, puis dans
Sk , on obtient :
• Si Ek est réalisé, le (k+1)ème sac contient 2 jetons blancs et 1 jeton noir. La probabilité de tirer un
jeton blanc de S(k+1) est alors égale à 2 (en supposant les tirages équiprobables).
3
2
Donc PE (Ek+1) = .
k
3

• Si Ek est réalisé, le deuxième sac contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc, la probabilité de tirer un
jeton blanc de S(k+1) est alors égale à 1 (en supposant les tirages équiprobables).
3
1
 (E
Donc P E
k+1) = .
k
3

Sachant que Ek+1 est la réunion des deux événements incompatibles (Ek+1 ∩ Ek) et (Ek+1 ∩ Ek), on
peut écrire, en utilisant la formule des probabilités totales :


 (E
P(Ek+1) = P(Ek+1 ∩ Ek) + P(Ek+1 ∩ Ek) = PE (Ek+1) x P(Ek) + P E
k+1) x P(Ek)

Donc P(Ek+1) = 2 x P(Ek) + 1 x P(Ek)
3
3
Donc
http://xmaths.free.fr/
pk+1 = 1 pk + 1
3
3
k
c'est-à-dire :
k
pk+1 = 2 pk + 1 (1 - pk)
3
3
pour tout k tel que 1 £ k £ n .
TS - Révisions - Exercice supplémentaire n°7 - Corrigé
1/2
2°) u1 = 1 et, pour tout k ³ 1, uk+1 = 1 uk + 1 . D'autre part, pour tout k ³ 1 , vk = uk - 1 .
3
3
3
2
*
1
1
1
1
1
1
1
a) On peut écrire pour tout k de IN : vk+1 = uk+1 - = uk + - = uk - = uk - 1 = 1 vk .
2 3
3 2 3
6 3
2 3
*
pour tout k de IN
vk+1 = 1 vk
3
, c'est-à-dire que :
(vk) est une suite géométrique de raison 1 .
3
k-1
*
vk = v1 x 1
.
b) La suite (vk) étant géométrique de raison 1 , on peut écrire : pour tout k de IN
3
3
k-1
*
Comme v1 = u1 - 1 = 1 - 1 = - 1 , on en déduit que : pour tout k de IN vk = - 1 x 1
6 3
2 3 2
6
k-1
k-1
+ 1 = 1 - 1 x 1
+ 1 = 1
Enfin on sait que vk = uk - 1 , donc uk = vk + 1 = - 1 x 1
2
2
6 3
2
2  3 3
 2
k
1
-   + 1
 3

On obtient donc :
*
pour tout k de IN
k
uk = 1 - 1 + 1 .
2  3

k
On sait que lim 1 = 0 car - 1 < 1 < 1, on en déduit alors que :
3
k→+∞3
(uk) est convergente et lim uk = 1
k→+∞
2
3°) D'après les questions précédentes, p1 = 1 et pk+1 = 1 pk + 1 pour tout entier k tel que 1 £ k £ 10.
3
3
3
Les nombres pk sont donc les dix premiers termes de la suite (uk).
On peut alors écrire :
k
k
k
0,4999 £ pk £ 0,5 ⇔ 0,4999 £ 1 - 1 + 1 £ 0,5 ⇔ - 0,0002 £ - 1 £ 0 ⇔ 0 £ 1 £ 0,0002
2  3
3
3

k
1
On sait que   est un réel strictement positif, on peut alors utiliser la fonction ln, croissante sur ]0 ; +∞[
3
k
1
ln   £ ln 0,0002 ⇔ k ln 1 £ ln 0,0002 ⇔ (- ln 3)k £ ln 0,0002 ⇔ k ³ - ln 0,0002
3
ln 3
3
(on sait que ln 3 < 0)
Comme k est un entier et que - ln 0,0002 ≈ 7,75 à 10-2 près, on obtient :
ln 3
0,4999 £ pk £ 0,5 pour 8 £ k £ 10
Remarque : on pouvait obtenir le résultat en calculant les valeurs approchées de p1,⋯, p10 à 10-5 près.
http://xmaths.free.fr/
TS - Révisions - Exercice supplémentaire n°7 - Corrigé
2/2