Suites récurrentes linéaires - Caignaert

Suites récurrentes linéaires
3-1
Sommaire
1. Suites vérifiant un+1 − a un = b
1.1. un+1 − a un = 0 . . . . . . . . . . . . . .
1.2. un+1 − a un = b . . . . . . . . . . . . . .
2. Suites vérifiant un+2 + a un+1 + b un = c
2.1. un+2 + a un+1 + b un = 0 . . . . . . . . .
1
2.2. un+2 + a un+1 + b un = c . . . . . . . . .
1
1 3. Avec Maple
1
1
2
2
Le but est de déterminer toutes les suites (un )n∈N qui vérifient
∀n ∈ N, a un+2 + b un+1 + c un = d, a,b,c,d ∈ K
(1)
On considère E l’espace vectoriel des suites sur K, et
(
E → E
ϕ:
(un )n∈N 7→ ( a un+2 + b un+1 + c un )n∈N
ϕ est clairement linéaire. Il s’agit de résoudre
ϕ (un )n∈N = (d)n∈N
où (d)n∈N est la suite constante. On se retrouve donc face à une équation linéaire.
On va donc chercher les solutions de l’équation homogène associée :
∀ n ∈ N, a u n + 2 + b u n + 1 + c u n = 0
Ces solutions forment un sous espace vectoriel de E.
Il suffira d’ajouter une suite qui est solution particulière de (1).
1.
1.1.
Suites vérifiant un+1 − a un = b
un+1 − a un = 0
Ce sont les suites géométriques de raison a, ∀n ∈ N,
1.2.
un = an u0.
un+1 − a un = b
On cherche d’abord une solution particulière sous forme de suite constante vn = k, ce qui donne (1 − a) k = b.
b
b
• Si a 6= 1, on trouve k =
, et donc ∀n ∈ N, un = an α +
où α s’exprime en fonction des
1−a
1−a
b
conditions initiales : α = u0 −
.
1−a
• Si a = 1, la suite est arithmétique, ∀n ∈ N, un = u0 + nb
Une fois qu’on a l’expression générale de la solution, on tient compte des conditions initiales éventuelles.
2. Suites vérifiant un+2 + a un+1 + b un = c
2.1.
un+2 + a un+1 + b un = 0
Théorème : L’ensemble des suites vérifiant ∀n ∈ N,
un+2 + a un+1 + b un = 0 est un K-e.v. de dimension 2.
Démonstration : La structure d’espace vectoriel est donnée par le fait que c’est le noyau d’une application
linéaire.
Une suite est déterminée par ses deux premiers termes.
On considère (αn )n∈N et (βn )n∈N telles que α0 = 1, α1 = 0, β0 = 0, β1 = 1.
La suite (vn )n∈N définie par
vn = u0 αn + u1 βn
c Christophe Caignaert – Lycée Colbert – 59200 Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr
Cours de Spé T.S.I. 3-2
Suites récurrentes linéaires
vérifie la relation de récurrence et v0 = u0 , v1 = u1 , ce qui prouve que (vn )n∈N = (un )n∈N et donc (αn )n∈N et
(βn )n∈N forment une famille génératrice, donc une base de l’ensemble des solutions.
En pratique, on recherche les suites géométriques de raison non nulle r vérifiant
un+2 + a un+1 + b un = 0
ce qui revient à chercher les solutions de
r2 + a r + b = 0
• 2 racines distinctes r1 ,r2
On a alors
(ce qui correspond sur C, à ∆ 6= 0, ou sur R, à ∆ > 0)
(un )n∈N = (α rn1 + β rn2 )n∈N
• 1 racine double r (ce qui correspond à ∆ = 0)
Montrons que (nrn )n∈N vérifie aussi la relation de récurrence.
(n + 2) rn+2 + a (n + 1) rn+1 + b n rn = n rn r2 + a r + b + rn+1 (2r + a)
= 0 car r =
−a
2
L’ensemble des solutions est donc
(α rn + β n rn )n∈N
• Pas de racine (ce qui correspond sur R, à ∆ < 0)
On résout sur C, r2 = r1 , r1 = |r| eiθ , |r|n einθ et |r|n e−inθ sont donc solution sur C.
Ce qui fait que |r|n cos nθ et |r|n sin nθ sont solution sur C par combinaison linéaire de solutions.
Mais ces solutions sont réelles et donc aussi solution sur R!!! Elles forment clairement une famille libre
et forment donc une base de l’ensemble des solutions sur R.
Les solutions sont donc
α |r|n cos nθ + β |r|n sin nθ n∈N
2.2.
un+2 + a un+1 + b un = c
On cherche donc une solution particulière sous la forme...
• une suite constante un = k
On obtient k (1 + a + b) = c, on a donc une solution quand 1 + a + b 6= 0.
• quand (1 + a + b = 0), on cherche une suite arithmétique un = k n
On obtient k ((n + 2) + (n + 1) a + n b) = c, d’où k (2 + a) = c, on a donc une solution quand 2 + a 6= 0.
(
)
1+a+b = 0
• quand on a à la fois :
, on cherche une suite un = k n2
2+a = 0
On obtient k (n + 2)2 + (n + 1)2 a + n2 b = c, d’où k (4 + a) = c et donc 2k = c. On a donc toujours
une solution.
Une fois qu’on a l’expression générale de la solution, on tient compte des conditions initiales éventuelles.
3.
Avec Maple
Comme pour tout l’algèbre linéaire, il faut d’abord charger le pack linalg :
> with(linalg);
C’est ensuite rsolve qui permet de rechercher ces suites. Donnons un exemple :
> rsolve(u(n)=-3*u(n-1)-2*u(n-2),u);
c Christophe Caignaert – Lycée Colbert – 59200 Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr
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