Ligne de niveau - Mathématiques au collège et lycée
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Ligne de niveau Extrait du Mathématiques au collège et lycée http://maths.ac-amiens.fr/spip.php?article237 Ligne de niveau - TICE - Ressources académiques - Date de mise en ligne : dimanche 1er avril 2012 Copyright © Mathématiques au collège et lycée - Tous droits réservés Copyright © Mathématiques au collège et lycée Page 1/4 Ligne de niveau Présentation de l'activité ABC est un triangle isocèle de sommet principal A et A' est le milieu de [BC]. 1. Soit G le barycentre des points pondérés (A,2), (B,1) (C,1). Construire le point G sur la figure. 2. On considère l'ensemble (E) des points M du plan tels que $\|2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\|=2\|\vec{AA'}\|$ a) Montrer que A et A' sont des points de (E). b)Déterminer l'ensemble (E) et le représenter sur la figure. Public / Niveau • • Première S Terminale S Durée Une heure en demi-classe : chaque élève dispose d'un ordinateur. Copyright © Mathématiques au collège et lycée Page 2/4 Ligne de niveau Objectifs • • • Conjecturer et rechercher un ensemble de points. Déstabiliser des idées fausses sur les vecteurs. Travailler sur les constructions, sommes, normes de vecteurs. Ce qui a été fait avant • • Barycentre d'un système de points pondérés. Formule de réduction (pour l'activité en terminale S, pas en première S). Déroulement de l'activité Côté des élèves • Question 1 : application directe du cours. • Utilisation de GeoGebra pour : • construire la figure, • construire une somme de vecteurs puis la norme, • vérifier que A et A' conviennent, • tester d'autres points et conjecturer. S'il vous plaît, installer Java 1.5 [http://java.sun.com/getjava] (ou ultérieur) pour visualiser cette page. • Les élèves ont comparé les normes des vecteurs quand M varie. • • Lors de la conjecture, certains ont pensé à un losange. Le fait de tester certains points leur permet de valider ou non, seul, leur conjecture. D'autres ayant conjecturé le cercle l'ont tracé et ont placé M sur celui-ci. • Démonstration du résultat conjecturé. Côté du professeur • Utilisation de GeoGebra avec un vidéo-projecteur pour appuyer la conjecture des élèves à partir de la figure. Deux possibilités de visualiser l'ensemble : • Activer la trace de M quand il vérifie l'égalité demandée et conjecturer ainsi le cercle (attention toutefois à la précision, il ne faut pas aller trop vite !!). S'il vous plaît, installer Java 1.5 [http://java.sun.com/getjava] (ou ultérieur) pour visualiser cette page. • Colorier d'une couleur les points M vérifiant $\|2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\|\geq2\|\vec{AA'}\|$ et d'une autre Copyright © Mathématiques au collège et lycée Page 3/4 Ligne de niveau ceux vérifiant $\|2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\|\leq2\|\vec{AA'}\|$. S'il vous plaît, installer Java 1.5 [http://java.sun.com/getjava] (ou ultérieur) pour visualiser cette page. Apport des TICE • Les TICE permettent d'abord de rendre plus concrète la recherche de l'ensemble (E) puisqu'on peut tester au fur et à mesure toutes les idées et conjectures des élèves. • Distinction entre un vecteur et sa norme. • Retour sur certaines erreurs telles que « normes égales implique vecteurs égaux » ou « norme d'une somme égale somme des normes ». Prolongements possibles • Au cours suivant en classe entière, un prolongement en demandant de déterminer l'ensemble (F) des points M du plan tels que $\|2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\|=\|\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}\|$ • Visualisation des conjectures des élèves et du résultat attendu, avec un vidéo-projecteur. Post-scriptum : Personnes à contacter pour cette activité : Guillaume MIANNAY Copyright © Mathématiques au collège et lycée Page 4/4