une ligne de niveau : l`ensemble des points m tels que

UNE LIGNE DE NIVEAU :
L'ENSEMBLE DES POINTS M TELS QUE

AMB = 70°
OUTIL
Un logiciel de géométrie
dynamique.
Soient deux points A et B. Où sont situés les sommets des angles de
mesure 70° tels que les côtés passent par A et B ?
C'est cette recherche qui t'est proposée dans cette activité.
Partie I. Découvrir l'ensemble des points
1. Construis un segment [AB] à l'aide d'un logiciel de géométrie
dynamique.
2. Place, à différents endroits de la figure mais du même côté de
AEB = 70°,
la droite (AB), des points E, F, G, H, I et J tels que 

AFB = 70°... . Essaie d'être le plus précis possible en affichant la
mesure des angles.
3. Comment semblent être placés les points E, F, ...,J ? Fais une
construction pour étayer cette hypothèse.
4. De la même façon, construis des points de l'autre côté de la
droite (AB), toujours avec un angle de 70°. Que remarques-tu ?
Était-ce prévisible ?
Partie II. Des éléments de démonstration
= 70° puis
AEB tel que AEB
1. Sur une feuille, trace un angle 
construis le cercle ( ) circonscrit au triangle AEB. Soit O le centre
de ce cercle.
2. Si F est un point du cercle ( ) situé du même côté de (AB) que
? Pourquoi ?
E, combien vaut AFB
3. On suppose qu'il existe un point P situé du même côté de (AB)
= 70°.
que E, qui n'appartient pas au cercle ( ) et tel que APB
Soit H le point d'intersection de (AP) et l'arc de cercle ( ).
AHB ? Est-ce possible ? Qu'en déduis-tu forcément
Combien vaut 
pour le point P ?
REMARQUE
C'est ce qu'on appelle un
raisonnement par
l'absurde.
AOB ?
4. Combien mesure l'angle 
5. Quelle est la nature du triangle AOB ? Déduis-en la mesure des
et 
OBA .
angles OAB
3e G4 – Angles et polygones
Ligne de Niveau
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Partie III. Construction précise de l'ensemble des
points M tels que 
AMB = 70°.
1. Trace sur papier un segment [AB] de longueur 5 cm.
2. À l'aide des résultats de la Partie II. question 4., construis
précisément le centre du cercle puis l'arc de cercle contenant les
AMB = 70°.
points M d'un côté de [AB] tels que 
REMARQUE
Cet ensemble de points
s’appelle une ligne de
niveau.
3. Place un point sur cet arc de cercle et vérifie avec ton
rapporteur que la mesure de l'angle est bien celle attendue.
4. Reprends les questions 1. 2. et 3. avec un logiciel de géométrie
dynamique. Procède de la même façon pour les points de l'autre
côté de [AB].
Partie IV.Et si l'angle est droit ou obtus ?
1. Que se passe-t-il si l'angle est droit ? Dans ce cas précis, sur
quel cercle se trouvent les points M et quel théorème permet de
l'affirmer ?
INDICATION
Pense à utiliser les
théorèmes de 4e sur les
triangles rectangles !
2. Construis, avec un logiciel de géométrie dynamique, le lieu des
AMB = 120°. Que remarques-tu ?
points M tels que 
3. Que penses-tu

AMB = 180° ?
4. Que penses-tu

AMB = 0° ?
de
l'ensemble
l'ensemble
des
des
points
points
M
M
tels
tels
que
que
5. Que peux-tu dire de l'ensemble des points M tels que

AMB = 130°ou 
AMB = 50° ?
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Ligne de Niveau
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Scénario d'usage
Phase
Rôle du professeur
Tâche de l'élève
durée
collective
individuelle
en groupe
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Nom activité
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4e N5 - Équations
Côté professeur
Fiche Mutuamath : adresse de la page de l'activité.
Fiche d'identification :
Objectifs :
– Découvrir un lieu de point et ses propriétés géométriques (en particulier la symétrie) ;
– Démontrer en partie les éléments observés ;
– Utiliser ces démonstrations pour construire précisément ce lieu sur papier et avec le logiciel ;
– Étendre la réflexion en faisant varier la ligne de niveau et observer ces variations.
Prérequis :
– Bonne connaissance d'un logiciel de géométrie dynamique ;
– Avoir traité en classe le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre.
Mots clés :
Compétences du programme :
Compétences du socle :
B2I :
Thème de convergence :
Intentions :
Cette activité peut être vue comme la généralisation du théorème de 4e qui dit que tout triangle rectangle
est inscrit dans un demi-cercle et réciproquement. Que se passe-t-il pour des triangles ayant un angle
constant qui n'est pas égal à 90° ?
On peut aussi présenter l'activité de façon concrète. Si on regarde un mur avec des œillères permettant un
angle de vue de 70°, quelles sont toutes les positions où le mur prendra exactement tout le champ de
vision. Cela peut être visualisé avec une animation (voir ci-dessus)
L'activité en détail : On peut "passer" toute la partie 2 qui consiste à faire la démonstration. Cependant,
les résultats de cette partie permettent de faire la construction de la partie 3.
Les prolongements :
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Correction
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