Equation de Korteweg

Transcription

Motivation et découverte
Modélisation
Interprétation et résultats numériques
Equation de Korteweeg-de Vries : de
la modélisation au calcul scientifique
Mostafa ABOUNOUH
[email protected]
Univérsité Cadi Ayyad
F.S.T. Marrakech-Maroc
Essaouira, 23 et 24 Novembre 2012
Mostafa ABOUNOUH
Equation de KdV : de la modélisation au calcul scientifique
Modélisation
Plan
1
2
3
Modélisation
Interprétation de l’équation et analyse numérique
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Motivation
L’équation de Korteweg-de Vries modélise la propagation
d’ondes longues de faibles amplitudes à la surface d’un canal
peu profond.
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Les ondes à la surface de l’eau sont très intéressantes pour le
physicien. Elles correspondent à de nombreux phénomènes :
vagues en mer
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
ondes de sillage des bateaux
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
raz-de-marées
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Elles comportent des classes d’ondes très variées selon les
conditions aux limites :
ondes linéaires non dispersives −→ ondes non-linéaires
dispersives.
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Découverte
Onde solitaire observée par John Scott Russel en 1834.
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
J’observais le mouvement d’un bateau qui était tiré
rapidement le long d’un canal étroit par une paire de chevaux
quand, soudain, le bateau s’arrêta ... une masse d’eau qu’il
avait mise en mouvement s’accumula autour de la proue du
bateau puis l’abandonna, roula vers l’avant à grande vitesse
prenant la forme d’une grande élévation solitaire, d’un paquet
d’eau rond, à la forme douce et bien définie, qui continua sa
course dans le canal, apparemment sans changement de forme
ou diminution de vitesse.
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Je la suivis à cheval et la dépassais alors qu’elle roulait encore
à la vitesse de 8 ou 9 miles à l’heure, préservant sa forme
originale de 30 pieds de long et d’un pied et demi en hauteur.”
extrait de J. Scott Russel, Report on waves. In John Murray,
editor, Report on the Fourteenth Meeting, pages 311-390 +
57 plates, London, 1844, British Association for the
advancement of science
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Equations de base et conditions aux limites
60 ans après la découverte, le phénomène est mis en équation
par Korteweg et de Vries en 1895.
G.B. Whitham, Linear and Nonlinear waves, John Wiley
and Sons, New York (1974).
A. Miranville, R. Temam, Mathematical Modelling in
Continuum Mechanics , Cambridge University Press ,
(1999).
M. Peyrard, T. Dauxois , Physique des solitons , EDP
Sciences/CNRS Editions
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Fluide parfait décrit par le système d’Euler :
Système d’Euler
→
(
→
−
− −
→
−
−
−
v .∇ →
v = ρ→
g − ∇P
ρ∂ v + ρ →
∂t
→
− →
∇.−
v = 0
−
ρ : masse volumique du fluide, →
v : champ de vitesse.
→
−
g : accélération de la pesanteur, P : pression dans le fluide.
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Pour obtenir l’équation de propagation des ondes de surface,
on ajoute au système d’Euler les relations imposées par les
conditions aux limites.
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Condition à la limite cinématique
Vn
v.n
F(r,t) = 0
−r , t) = 0 : équation de la surface du fluide
F (→
→
− →
∇F (−r , t)
→
−
n = →
− − : normale à la surface
r , t)
∇F (→
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
La composante normale de la vitesse d’un point de la surface
est :
−
d→
r0
−
−
Vn (→
r0 , t) = →
n.
dt
→
−
→
−
−
→
−
v ( r , t).→
n
(H.1)
Vn ( r0 , t) = −
lim−
→
→
r −→ r0
Il découle de l’équation de la surface du fluide
−
− −
∂F
d→
r0 →
+
. ∇F (→
r0 , t) = 0
∂t
dt
−
1
∂F .
Donc Vn (→
r0 , t) = − →
− →
∂t
−
∇F ( r0 , t)
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
(H.1) =⇒
−
→
− −
∂F (→
r0 , t) →
−
+−
v (→
r0 , t). ∇F (→
r0 , t) = 0.
(1)
∂t
−
Si →
v = (u, v , w ) et F = η(x, y , t) − z, l’équation (1) =⇒
w=
∂η
∂η
∂η
+u
+v
∂t
∂x
∂y
Mostafa ABOUNOUH
(2)
Modélisation
Condition à la limite physique

on néglige la tension superficielle et on suppose



la pression dans le fluide en un point très proche
(H.2)
de la surface est égale à la pression PA du gaz



qui surmonte le fluide.
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Formulation mathématique du problème
On se place dans le cas d’un mouvement bidimensionnel et on
note par u 0 (x 0 , z 0 , t 0 ), 0, w 0 (x 0 , z 0 , t 0 ), les composantes du
vecteur vitesse et z 0 = h0 + η 0 (x 0 , t 0 ) l’équation de la surface,
où h0 est la hauteur de fluide au repos.
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Le fluide est surmonté par un gaz dont la pression PA0 est
constante et uniforme dans l’espace et est soumis à la densité
→
−
−
volumique de force f = ρ→
g due à la pesanteur.
(H.3)
on suppose le fluide irrotationnel
=⇒
∂u 0 ∂w 0
−
=0
∂z 0
∂x 0
Mostafa ABOUNOUH
(3)
Modélisation
Les équations de définition du problème comprennent :
Le système d’Euler :
∂u 0
∂u 0
∂w 0
1 ∂P 0
+ u0 0 + w 0 0 = −
∂t
∂x
∂x
ρ ∂x 0
(4)
∂w 0
∂w 0
∂w 0
1 ∂P 0
+ u0 0 + w 0 0 = −
−g
∂t
∂x
∂z
ρ ∂z 0
(5)
∂u 0 ∂w 0
+
=0
∂x 0
∂z 0
(6)
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
La condition à la limite au fond (z 0 = 0)
w 0 (z 0 = 0) = 0
(7)
condition à la limite cinématique à la surface
w0 =
0
∂η 0
0 ∂η
+
u
en z 0 = h0 + η 0 (x 0 , t 0 )
∂t 0
∂x 0
(8)
La condition à la limite physique à la surface
PA − P 0 = 0 en z 0 = h0 + η 0 (x 0 , t 0 )
(9)
Les conditions initiales données à t 0 = 0
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Pour éliminer des équations ci-dessus la pression du gaz qui
surmonte le fluide, on utilise les solutions statique et
dynamique :
−
solution statique (→
v = 0)
0
1
∂P
(5) =⇒ −g − ρ 0 = 0
∂z
D’où la relation fondamentale de l’hydrostatique
P00 = −g ρ(z 0 − h0 ) + PA
On définit la pression dynamique
p 0 (x 0 , z 0 , t 0 ) = P 0 (x 0 , z 0 , t 0 ) − P00 (z 0 )
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Les deux premières équations du système d’Euler deviennent :
∂u 0
∂u 0
∂w 0
1 ∂p 0
+ u0 0 + w 0 0 = −
∂t
∂x
∂x
ρ ∂x 0
(10)
∂w 0
∂w 0
∂w 0
1 ∂p 0
+ u0 0 + w 0 0 = −
∂t
∂x
∂z
ρ ∂z 0
(11)
et la condition à la limite physique à la surface devient
p 0 = ρg η 0 (x 0 , t 0 ) en z 0 = h0 + η 0 (x 0 , t 0 )
Mostafa ABOUNOUH
(12)
Modélisation
Addimensionnement
réduire le nombre de paramètres
permettre des approximations correctement contrôlées
L0 : longueur caractéristique (décrivant la position dans le
fluide)
A0 : Amplitude caractéristique (décrivant la déformation de la
surface du fluide)
√
c00 : célérité caractéristique c00 = gh0 (obtenue à partir des
équations linéarisées)
0
t00 = L0 : temps caractéristique
c0
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
On pose
t=
t0
x0
z0
η0
,
x
=
,
z
=
,
η
=
t00
L0
L0
A0
On définit
u=
w0
p0
u0
,
w
=
,
p
=
A0 /t00
A0 /t00
ρA0 L0 /(t00 )2
On introduit les nombres sans dimension
F =
g (t00 )2
A0
h0
nombre
de
Froude
,
=
et
δ
=
L0
L0
L0
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
En reportant dans les équations de définition de système, on
a:
∂u
∂u
∂w
∂p
+ u
+w
=−
(13)
∂t
∂x
∂x
∂x
∂w
∂w
∂w
∂p
+ u
+w
=−
(14)
∂t
∂x
∂z
∂z
∂u ∂w
+
=0
∂x
∂z
(15)
w = 0 en z = 0
(16)
∂η
∂η
+ u
en z = δ + η
∂t
∂x
p = F η en z = δ + η
w=
Mostafa ABOUNOUH
(17)
(18)
Modélisation
En remplaçant l’expression de p donnée par (18) dans (13), on
obtient une nouvelle forme de la condition à la limite de
surface :
∂u
∂u
∂w
∂η
+ u
+w
+F
=0
(19)
∂t
∂x
∂x
∂x

 On suppose , δ 1 et indépendants
(H.4) On suppose ∼ δ 2

On conduira les calculs jusqu’à l’ordre δ ou δ 3 .
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Il est commode de mesurer le déplacement η de la surface en
unité de δ en posant η = ϕδ, ce qui donne z = δ(1 + ϕ).
L’équation (19) devient (F δ = 1)
∂u
∂u
∂w
∂ϕ
+ u
+w
+
=0
(20)
∂t
∂x
∂x
∂x
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Ecoulement irrotationnel =⇒
∃Φ(x, z, t) : u =
∂Φ
∂Φ
et w =
∂x
∂z
La condition (15) donne Φxx + Φzz = 0 développable en
série entière (z ∼ δ)
Φ(x, z, t) =
+∞
X
Φn (x, t)z n
(21)
n=0
On obtient la relation de récurrence
∂2
Φn + (n + 2)(n + 1)Φn+2 = 0
∂x 2
Mostafa ABOUNOUH
(22)
Modélisation
(22) + condition sur le bord inférieur =⇒ ∀n ∈ IN
(
Φ2n+1 (x, t) = 0
(−1)n ∂ 2n
Φ2n (x, t) =
Φ.
(2n)! ∂x 2n 0
Comme on fait les développements à l’ordre δ 3 et
z = δ(1 + ϕ), on se limitera à
1
u(x, z, t) = usurface = f − δ 2 fxx
2
1
w (x, z, t) = wsurface = −δ(1 + ϕ)fx + δ 3 fxxx
6
avec f = f (x, t) = ∂Φ0 .
∂x
Mostafa ABOUNOUH
(23)
(24)
Modélisation
Equation non-linéaire en eau peu profonde
En remplaçant usurface et wsurface dans les conditions à la
surface cinématique (17) et physique (20) en gardant les
termes jusqu’à l’ordre δ ou δ 3 on obtient le système de
Boussinesq à l’ordre 1
(
ϕt + fx + (ϕf )x − 16 δ 2 fxxx = 0
(Boussinesq)
ft + ϕx − 21 δ 2 fxxt + ffx = 0
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
De Boussinesq à Korteweg-de Vries
On fait la dernière hypothèse :
prévéligier les ondes se déplacent
(H.5)
uniquement de la gauche vers la droite
=⇒ substituer à l’équation des cordes vibrantes l’équation de
transport :
ft + fx = 0
On résout le système de Boussinesq par un développement
perturbatif :
à l’ordre 0 en et δ, on a : f = ϕ
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Comme on cherche un modèle d’ordre 1, on corrige de la façon
suivante : on cherche des fonctions A et B de x et t telles que
f = ϕ+A+δ 2 B
En substituant f et ϕ dans le système de Boussinesq et on
résout, on obtient :
A = − 14 ϕ2 et B = 13 ϕxx
2
Donc f = ϕ− 4 ϕ2 + δ3 ϕxx
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
En reportant l’expression de f dans la première équation du
système de Boussinesq, on obtient l’équation de Korteweg-de
Vries (KdV)
3
1
ϕt + ϕx + ϕϕx + δ 2 ϕxxx = 0
2
6
(25)
Si on change de repère, en posant ψ(t, x) = ϕ(t, x + t) et si
on fait un changement de variable convenable, on obtient
l’équation de KdV à l’ordre 1
ψt + ψψx + ψxxx = 0
Mostafa ABOUNOUH
(26)
Modélisation
ψt + ψψx
+ ψxxx
= 0
⇑
⇑
terme non linéaire
terme linéaire
Lorsque le terme non linéaire l’emporte
conséquence : l’onde finit par se casser
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
lorsque le terme linéaire l’emporte
lorsque les deux termes s’équilibrent
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
En conclusion :
Le terme linéaire est dominant lorsque la profondeur est
grande.
Le terme non linéaire est dominant lorsque la profondeur est
petite.
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
On s’interesse ici à l’équation de KdV périodique, en espace,
amortie et en présence d’une force extérieure :
∂t u + γu + u∂x u + ∂xxx u = f .
(27)
u : R+
t × Tx −→ R
(t, x)
7−→ u(t, x) périodique par rapport à x.
γ > 0 : le paramètre d’amortissement
f : la force extérieure, indépendante de t
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
J-M. Ghidaglia, Weakly damped forced Korteweg-de Vries
equations behave as a finite dimensional dynamical system in
the long time, J. Diff. Eq., 74, pp 369-390, (1988).
J-M. Ghidaglia, A note on the strong convergence towards
attractors for damped forced KdV equations, J. Diff. Eq. 110,
356-359, (1994).
O. Goubet, Asymptotic smoothing effect for weakly damped
forced Korteweg-de Vries equations, Discrete Contin. Dynam.
Systems 6 (2000), no. 3, 625–644.
O. Goubet, R. Rosa Asymptotic smoothing and the global
attractor of a weakly damped KdV equation on the real line ,
J. Differential Equations 185 (2002), no. 1, 25–53.
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Semi-discrétisation en temps de KdV
Construction du schéma On approche la partie dissipative
de (27)
(
1
2 ut + γu = 0
(28)
u(t = 0) = u0
par la méthode de Crank-Nicolson
(
1
1
u n+ 2 − u n + γ u n+ 2 + u n = 0
2
∆t
u 0 = u0 .
1
=⇒ u n+ 2 = Θu n =
1−
1+
Mostafa ABOUNOUH
γ∆t
2
γ∆t
2
un.
(29)
(30)
Modélisation
Pour l’autre partie de (27)
1
ut + uxxx + uux = f
2
(31)
on l’approche comme suit :
1
u n+1 − u n+ 2
+∂x3
∆t
1
u n+1 + u n+ 2
2
!
1
+ ∂x
2
1
u n+1 + u n+ 2
2
!2
=f.
(32)
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
(30) + (32) =⇒
 n+1
2
− Θu n + ∂ 3 u n+1 + Θu n + 1 ∂ u n+1 + Θu n = f

 u
x
2 x
2
2
∆t
0
u = u0

 n
u est periodique en x
(33)
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
C’est un schéma d’ordre 1
2
u(t + ∆t) − Θu(t) 1
u(t + ∆t) + Θu(t)
+ ∂x
+
∆t
2
2
u(t + ∆t) + Θu(t)
1
3
∂x
−f =
∂x u 2 − 2f (γ.∆t) + o(∆t 2 )
2
4
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Il est stable dans L2 (T), uniformément en ∆t.
Proposition 1
Si γ∆t est assez petit, alors
2
ku n kL2 ≤ Θn ku0 kL2 + (1 − Θn ) kf kL2 .
γ
Mostafa ABOUNOUH
(34)
Modélisation
Existence du semi-groupe discret S n
Soit
E = {u0 ∈ L2 (T) ;
√
∆tku0 k2L2 < 1}.
On a
Proposition 2
√
Pour f ∈ L2 (T) avec 4 ∆tkf k2L2 ≤ γ 2 , l’équation (33)
possède un semi-groupe discret S n , n ≥ 1, vérifiant :
∀u0 ∈ E ,
u n+1 = Su n = S n+1 u0 est solution de (27).
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
On écrit (33) comme
u n+1 + Θu n
∆t
∆t
= ΘRu n + Rf − R∂x
2
2
4
où R =
3
1 + ∆t
2 ∂x
−1
2
u n+1 + Θu n
2
(35)
satisfait les estimations :
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Lemme 1
Il existe une constante c positive telle que :
3s
2
, ∀ 0 ≤ s ≤ 3,
(i) kRkL(L2 ,H s ) ≤
∆t
(ii) k∂x RkL(L1 ,L2 ) ≤ √c .
∆t
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
On applique la méthode du point fixe à
F : w 7−→ ΘRu n +
∆t
∆t
Rf −
R∂x (w )2
2
4
sur une boule de E et on utilise le lemme 1.
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Theorème 1
Le semi-groupe discret S : E −→ E défini par Su n = u n+1
possède un attracteur global compact dans H 3 (T).
Proof : Toute solution de (33) se décompose comme suit :
u n = v n + w n , ∀n ∈ IN
( n+1
v
− Θv n + ∂ 3 v n+1 + Θv n
= 0
x
2
∆t
v 0 = u0
 n+1
w
− Θw n + ∂ 3 w n+1 + Θw n +


x

2
∆t
2
1 ∂ u n+1 + Θu n
= f
x

2
2

 0
w = 0
Mostafa ABOUNOUH
(36)
(37)
(38)
Modélisation
Proposition 3
Les problèmes (37) et (38) sont bien posés et les solutions v n
et w n satisfont
lim kv n kL2 = 0,
(39)
n−→∞
et il existe c = c (γ, kf kL2 , ku0 kL2 ) > 0 tel que
k∂x3 w n kL2 ≤
c
3
(∆t) 2
.
Mostafa ABOUNOUH
(40)
Modélisation
1
2
le semi-groupe S n possède un ensemble borné absorbant
(d’après la proposition 1).
le semi-groupe S n se décompose comme somme d’une
partie compacte et une partie petite.
On applique Theorème I.1.1 dans
R. Temam, Infinite Dimensional Dynamical Systems in
Mechanics and Physics, Springer-Verlag, Second Edition, 1997.
=⇒ ∃ attracteur global A∆t .
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
De plus, A∆t est borné dans H 3 (T). Pour montrer sa
compacité, on utilise un argument de J. Ball
J. Ball, Global attractors for damped semilinear wave
equations. Partial differential equations and applications,
Discrete Contin. Dyn. Syst. 10 (2004), no. 1-2, 31–52.
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Proposition 4
A∆t est de dimension de Hausdorf finie.
Pour tout u ∈ A∆t , on pose v = Su et on note par DS la
différentielle de S au point u.
La forme quadratique
Z v + Θu v + Θu
2
2
2
q(ξ) = kξkH 1 −
ξ +
2 ∞ kξkL2 .
2
L
est positive et satisfait
q(DS.h) ≤ Θ2 q(h) + ∆tΘ2 Mkhk2L2 ,
où M = M(γ, kf kL2 )
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Soit QN la projection orthogonale :
QN H 1 (T) = Vect(Φk )k≤N .
Φk fonction propre associée à la valeur propre λk de
l’opérateur -Laplacien + C.L. périodiques (λk ∼ ck 2 , ∀k).
On montre que DS contracte tous les m-volumes situés à
l’exterieur de QN H 1 .
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Pour tout m ≥ 1 et pour toute famille orthogonale
h1 , ..., hm ∈ (I − QN )H 1 , on montre que :
Gram(DS.h1 , ..., DS.hm ) < Gram(h1 , ..., hm ),
où Qm est la projection orthogonale sur Vect(h1 , ..., hm ) et
Gram(h1 , ..., hm ) est le déterminant de Gram des vecteurs
h1 , ..., hm .
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Comme
Gram(DS.h1 , ..., DS.hm ) = det(Qm DS t DSQm )Gram(h1 , ..., hm )
on montre que
det(Qm DS t DSQm ) < 1
Soit φ1 , ..., φm une base orthonormale des vecteurs propres
de Qm DS t DSQm .
φk ∈ (I − QN )H 1 =⇒ kφk k2L2 ≤ c2 k∂x φk k2L2 ≤ c2
N
N
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
m
Y
det(Qm DS t DSQm ) =
≤
m
Y
k=1
Θ2 q(φk ) + ∆tΘ2 Mkφk k2L2
k=1
≤
≤
≤
Mostafa ABOUNOUH
q(DS φk )
2m
Θ
m
Y
(1 + ∆tMkφk k2L2 )
k=1
m Y
2m
Θ
c∆tM
1+
N2
k=1
m∆t cM
N2 .
Θ2m e
Modélisation
Puisque
2m
Θ e
m∆t cM
2
N
cM
∼ 1 − m∆t 2γ − 2
N
si
2γ −
cM
>0
N2
on a le résultat.
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
Discrétisation totale de KdV
M. Abounouh, H. Al-moatassime, C. Calgaro and J.P. Chehab
A numerical scheme for the long times simulation of a forced
damped KdV equation , soumis.
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
γ = 0.1 u0 = sin x et ∆t = 0.001
On représente ku − uexacte k∞
−3
3
U0=sin(x) alpha=0.1 N=128 dt=0.001 |u−uex|
x 10
AACC
DSS
2.5
Erreur
2
1.5
1
0.5
0
0
10
20
30
40
50
60
70
t
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
γ = 2.6 u0 = sin x et ∆t = 0.001
−3
1.8
x 10
U0=sin(x)
alpha=2.6 N=128 dt=0.001 |u−uex|
AACC
DSS
1.6
1.4
Erreur
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
t
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
γ = 0.1 u0 = sin x et ∆t = 0.01
−3
5
U0=sin(x) alpha=0.1 N=128 dt=0.01 |u−uex|
x 10
AACC
DSS
4.5
4
3.5
Erreur
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
10
20
30
40
50
60
70
t
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
γ = 2.6 u0 = sin x et ∆t = 0.01
U0=sin(x)
alpha=2.6 N=128 dt=0.01 |u−uex|
0.015
AACC
DSS
Erreur
0.01
0.005
0
0
5
10
15
t
Mostafa ABOUNOUH
Modélisation
γ = 0.01 f = choc, ∆t = 0.001 (t=120).
On mesure la régularité de Sobolev.
Régularité alpha=0.01 N=130 dt=0.001 f=Choc t=120
4.6
4.4
4.2
4
3.8
3.6
3.4
3.2
3
2.8
2.6
0
20
Mostafa ABOUNOUH
40
60
80
100
120
Modélisation
γ = 0.1 u0 = choc, f = sin x et ∆t = 0.01 (t=120)
Régularité U0=Choc f=sin(x) alpha=0.1 dt=0.01
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
50
100
Mostafa ABOUNOUH
150
200
250
300
350
400
Modélisation
γ = 2.6 f = choc et ∆t = 0.001 (t=120)
Régularité alpha=2.6 N=130 dt=0.001 f=Choc t=120
4
3.8
3.6
3.4
3.2
3
2.8
2.6
0
20
Mostafa ABOUNOUH
40
60
80
100
120

Equation de Korteweg

Transcription

Documents pareils

Curriculum Vitae - LESIA

Débuter avec LaTeX

Méthodes d`Euler, de Runge-Kutta et de Heun.

Product Information AUDIO-TECHNICA - AT875R-F

Camping le Front de Mer

Le Guilvinec.indd

contrôle optimal pour des edps non lin eaires

Séjour en Croatie HOTEL CLUB ZORA ***

Le Bahamas Beach - Nos vacances en Vendée