BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET

SESSION 2013
Métropole - Réunion - Mayotte
BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL
ÉPREUVE E4
CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES
Toutes options
Durée : 2 heures
Matériel(s) et document(s) autorisé(s) : Calculatrice
Le sujet comporte 5 pages
Les annexes A et B sont à rendre avec la copie
SUJET
Les quatre exercices sont indépendants.
L’auto-entrepreneur Tailleboit travaille dans l’entretien des espaces verts chez des particuliers.
EXERCICE 1 (6 points)
L’auto-entrepreneur souhaite s’équiper d’une remorque pour évacuer les déchets verts. Pour cela, il réalise
une étude statistique du volume, en mètre cube, de végétaux débités chez ses clients. Il a relevé les
résultats suivants :
25
7
20
12
5
10
30
16
45
8
51
6
12
14
22
9
11
37
25
19
Relevé des volumes de déchets évacués (en m3) chez ses clients
1. Combien de clients ont un volume de déchets inférieur à 15 m3 ?
2. L’auto-entrepreneur choisit une remorque d’une capacité maximale de 21 m3.
2.1 Pour combien de clients, la capacité de la remorque conviendra ?
2.2 Calculer le pourcentage de clients pour lesquels la remorque a une capacité suffisante.
3.
3.1 Donner les valeurs du premier quartile Q1, de la médiane, Me et du troisième quartile Q3.
(Le détail des calculs n’est pas demandé et les valeurs peuvent être obtenues avec la calculatrice, le
tableau ci-dessus ou le diagramme ci-dessous).
3.2 Quelle analyse de la série ces valeurs permettent-elles de réaliser ?
Diagramme « boîte à moustache » représentant la répartition des volumes des déchets évacués
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4. Déterminer le volume moyen x , ainsi que l’écart-type σ de cette série statistique. Les résultats seront
arrondis à 10 -1 près. Le détail des calculs n’est pas demandé.
5. On considère que le choix est judicieux si pour 75% de ses clients, la remorque de l’auto-entrepreneur a
une capacité suffisante.
5.1 Le choix d’une remorque de 21 m3 est-il satisfaisant ?
5.2 Parmi les indicateurs calculés (moyenne, écart-type, quartiles Q1, Q3, médiane), lesquels permettent
d’effectuer le choix le plus judicieux ?
5.3 Quelle capacité maximale peut-on lui conseiller ?
EXERCICE 2 (4 points)
L’auto-entrepreneur Tailleboit dispose désormais d’une remorque de 25 m3.
On choisit au hasard un volume de déchets à évacuer parmi l’ensemble des volumes des déchets évacués
chez ses clients (tableau exercice 1 page 1).
Compléter le QCM entourant la bonne réponse sur de l’annexe A (à rendre avec la copie). Pour chaque
question, une seule réponse est exacte.
EXERCICE 3 (4 points)
L’auto-entrepreneur Tailleboit pour son installation a réalisé un emprunt de 150 000 €.
L’emprunt est remboursable en 20 versements appelés annuités.
La première annuité est de 7 500 € et sera versée le 01/07/2013. Puis chaque année, l’annuité augmente
de 2,5% par rapport à celle de l’année précédente.
(Les résultats seront arrondis au centime près)
1. Montrer que le montant de deuxième annuité versée le 01/07/2014, sera de 7 687,5 €.
2. Calculer le montant de la troisième annuité versée le 01/07/2015.
3. En utilisant les résultats précédents, montrer que le montant de l’annuité payée chaque année suit une
suite géométrique de premier terme 7 500 et de raison 1,025.
4.
4.1 Déterminer à quelle date on versera la 20e annuité.
4.2 Calculer la somme des 20 annuités. (Tous les modes de calcul sont acceptés)
EXERCICE 4 (6 points)
L’auto-entrepreneur Tailleboit teste durant 8 jours un nouveau désherbant bio sur des plantes indésirables
d’environ 15 cm de hauteur.
La plante traitée fane et sa taille diminue avec le temps.
Son pouvoir d’action est tel que l’évolution de la taille f (en centimètre) des plantes indésirables traitées en
fonction du temps x (exprimé en jour) est modélisée par la fonction f définie sur l’intervalle I = [0 ;8] par :
f(x) = 18e–0,22x – 3
(Les résultats seront arrondis à 10–2 près.)
1.
1.1 Calculer f(4,5).
1.2 Interpréter ce résultat.
2. Montrer que sur l’intervalle I = [0 ; 8] la fonction dérivée de la fonction f est : f ' ( x ) = −3,96 e
−0,22 x
.
3. En déduire que la fonction f est décroissante sur l’intervalle : I = [0 ; 8]
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4. La courbe représentative de la fonction est donnée en annexe B (à rendre avec la copie).
4.1 Résoudre l’équation : f(x)=3. (Tous les modes de résolution sont acceptés)
4.2 Traduire la signification du résultat par rapport au problème.
5. La valeur moyenne de flétrissement de la plante se calcule par l’intégrale suivante :
1 8
∫ f ( x )dx
8 0
5.1 Montrer qu’une primitive de la fonction f est : F ( x ) = −
5.2 Calculer
8
∫0 f ( x ) dx
900 −0,22 x
− 3x
e
11
(Tous les modes de calculs sont acceptés)
5.3 Montrer que la valeur moyenne de flétrissement de la plante se situe entre 5 et 6 cm.
FORMULAIRE
Suite géométrique de premier terme u0 et de raison q
La somme des (n+1) premiers termes d’une suite
géométrique : u0+u1+…+un
eax
un = u0 × qn
S = u0
(1 − q n +1)
(1 − q )
f( x )
f’(x)
a (constante réelle)
0
a (constante réelle)
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ae
ax
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MINISTÈRE DE L’AGRICULTURE
M. EX.
EXAMEN :
Nom :
(EN MAJUSCULES)
Prénom(s) :
Date de naissance :
N° ne rien inscrire
Spécialité ou Option :
ÉPREUVE :
19
Centre d’épreuve :
Date :
" ...........................................................................................................................................................................................................
ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)
N° ne rien inscrire
EXERCICE 2
QCM, pour chaque question une seule réponse est correcte. Entourer la bonne réponse.
Question
a
b
c
d
Choix 1
Choix 2
Choix 3
Choix 4
1
2
1
20
0,70
0,80
1
5
0,80
La probabilité d’avoir un client ayant moins de 15 m3
de déchets est de
0,15
0,10
La probabilité d’avoir un client qui a un volume de
déchets compatible avec la capacité de la remorque
est de
0,75
0,25
La probabilité d’avoir un client ayant un volume de
déchets demandant plus de deux chargements est
de
0,25
0,10
1
20
La probabilité d’avoir un client ayant un volume de
déchets compris entre 6,5 et 31,9 m3 est de
0,75
0,25
0,50
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MINISTÈRE DE L’AGRICULTURE
M. EX.
EXAMEN :
Nom :
(EN MAJUSCULES)
Prénom(s) :
Date de naissance :
N° ne rien inscrire
Spécialité ou Option :
ÉPREUVE :
19
Centre d’épreuve :
Date :
" ...........................................................................................................................................................................................................
ANNEXE B (à compléter et à rendre avec la copie)
N° ne rien inscrire
EXERCICE 4
Courbe représentative de la fonction f
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SESSION 2013
Métropole-Réunion-Mayotte
BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL
ÉPREUVE E4
CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES
Toutes options
EXERCICE 1
1)
10 clients
2)
2.1) 13 clients
2.2) 13
20 = 0,65 soit 65 %
3)
3.1)
Q1 = 9
Me = 14
Q3 = 25
3.2) Cela permet d’analyser que 50 % des clients se situent entre 9 et 25 m³ de déchets verts.
25 % ont moins de 9 m³, et 25 % ont plus de 25 m³.
4)
5)
x = 19,2 m³
σ = 12,7 m³
5.1) Non, car cela correspond à seulement 65 % des clients (voir question 2.2)
5.2) Une remorque de 25 m³ permettra de satisfaire 80 % de la clientèle. On l’observe avec la moyenne
et les quartiles
5.3) On peut lui conseiller valablement une remorque de 25 m³.
EXERCICE 2
EXERCICE 3
1) 7 500 × 1,025 = 7 687,50 €
2) 7 500 × 1,025² = 7 879,69 €
3) Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme U0 = 7 500 et de raison q = 1,025
4) 4.1) La 20ème annuité sera versée le 01/07/2032
4.2) Sn = 7 500 ×
1 - 1,025-19
1-1,025
= 179 595,06 €
EXERCICE 4
1)1.1) f(4,5) = 18e(-0,22 × 4,5)- 3 = 3,69
1.2) Au bout de 4,5 jours, la plante ne mesure plus que 3,69 cm après traitement.
2) f’(x) = - 0,22 × 18e(-0,22x)
f’(x) = - 3,96 e(- 0,22x)
3) e(-0,22x) est croissante sur [0 ; 8]
Donc - 3,96 e(-0,22x) est décroissante sur [0 ; 8]
4)
4.1) f(x) = 3 graphiquement, on observe x = 5
2) Au bout de 5 jours, la plante ne mesure plus que 3 cm.
EXERCICE 5
1)
Si on dérive F(x), on obtient : - 0,22 ×
- 900 (- 0,22x)
-3
11 e
F(x) est une primitive de f(x).
8
2)
0
∫ f(x) dx = F(8) - F(0)
- 900
- 900 e(- 0,22 × 8) - 3 × 8 - [
11
= 11
e0]
= - 14,08 - 24 + 81,8 = 43,72 unités
3) Donc
1
8
0
∫
8
f(x) dx =
43,72
= 5,46 cm
8
La valeur moyenne de flétrissement est de 5,46 cm.
soit
18e(- 0,22x) - 3, c’est à dire F’(x) = f(x)