Surfaces paramétrées Exercice 1. Chimie P 91 Exercice 6.

#216
Surfaces paramétrées
Khôlles - Classes prépa
Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel.
Chimie P 91
Équation de la surface derévolution engendrée par la rotation de Γ autour de Oz où Γ est la courbe
Exercice 1.
3

x = a cos u
3
d'équations paramétriques : y = a sin u


z = a cos 2u.
Exercice 2.
Ensi Physique 93
(a > 0)
x2 − y 2 − 4x + 2 = 0
x+z
= 1.
Déterminer la surface engendrée par la rotation de (Γ) autour de Oz .
Soit la courbe d'équations dans R3 : (Γ)
Exercice 3.
Le plan tangent coupe Oz en un point xe 

x = ρ cos θ
On considère la surface S d'équations paramétriques : y = ρ sin θ


z = f (ρ, θ)
C1.
1)
2)
3)
où f est une fonction de classe
Donner l'équation du plan tangent à S en un point M (ρ, θ).
Déterminer f de sorte que, le long d'une ligne θ = cste, le plan tangent coupe Oz en un point xe.
Exemple : f (ρ, θ) = θ. Dessiner la surface S .
Exercice 4.
Pseudo-sphère


x = a cos u/ ch v
Dessiner la surface S d'équations paramétriques : y = a sin u/ ch v


z = a(v − th v)
où a est un réel strictement
positif (pseudo-sphère).
Les normales coupent Oz ⇔ révolution
Soit S une surface d'équation z = f (x, y). Montrer que S est de révolution si et seulement si en tout
point M , la normale à S en M est parallèle ou sécante à Oz .
Exercice 5.
Exercice 6.
Que dire d'une surface S telle que toutes les normales sont concourantes ? (cf ex.??)
Contour apparent
Soit S la surface d'équation cartésienne z 2 − x2 − y 2 = 1.
1) Reconnaître S .
2) Soit D la droite d'équations : 2x + y = 0, z = 0. Déterminer les points M de S tels que le plan
tangent à S en M est parallèle à D. (Contour apparent de S dans la direction de D)
Exercice 7.
Exercice 8.
Cylindre circonscrit

2
2

x = u/(u + v )
Soit S la surface d'équations paramétriques : y = v/(u2 + v 2 )


z = 1/(u2 + v 2 ).
1) Donner une équation cartésienne de S .
14 septembre 2015
1
Thierry Sageaux
Surfaces paramétrées
2)
Déterminer l'ensemble C des points de S où le plan tangent est parallèle à la droite D d'équations :
x = y = z.
3) Déterminer l'équation cartésienne du cylindre de génératrices parallèles à D s'appuyant sur C .
(Cylindre circonscrit à S )
Équation de cône
Soit C le cercle intersection de la sphère d'équation x2 + y 2 + z 2 = 1 et du plan d'équation x + y = 1,
et S = (1, 1, 1). Déterminer l'équation cartésienne du cône de sommet S s'appuyant sur C .
Exercice 9.
Exercice 10.
Cône = cylindre ?
Soit S la surface d'équation cartésienne :
1)
2)
1
1
1
+
=
.
2
2
(x − y)
(y − z)
(x − z)2
Montrer que S est à la fois un cylindre et un cône.
Comment est-ce possible ?
Position d'une surface de révolution par rapportp
au plan tangent
Soit S une surface d'équation cartésienne z = f (ρ) où ρ = x2 + y 2 et f est une fonction de classe
C 2 . Montrer que la position de S par rapport à son plan tangent est donnée par le signe de f 0 (ρ)f 00 (ρ).
Interpréter géométriquement ce fait.
Exercice 11.
Intersection de deux cylindres
Soient S1 , S2 les surfaces d'équations x2 + y 2 + xy = 1 et y 2 + z 2 + yz = 1, et C = S1 ∩ S2 .
1) Donner en tout point de C le vecteur tangent à C .
2) Montrer que C est la réunion de deux courbes planes.
3) Quelle est la projection de C sur Oxz ?
Exercice 12.
Conoïde
Soit S la sphère de centre A = (a, 0, 0) et de rayon r (0 < r < a) et S 0 la surface constituée des droites
horizontales tangentes à S et sécantes à Oz . Déterminer l'équation cartésienne de S 0 .
Exercice 13.
Surface cerclée
Soit A = (0, 1, 0) et S la surface constituée des cercles verticaux de diamètre [A, B] où B est un point
variable sur Ox. Chercher une équation cartésienne de S .
Exercice 14.
Chimie P' 91
On considère la droite ∆ d'équations : x = a, z = 0. P est un point décrivant ∆ et CP le cercle tangent
à Oz en O et passant par P . Faire un schéma et paramétrer la surface engendrée par les cercles CP quand
P décrit ∆.
Exercice 15.
Exercice 16.Ensi
Chimie P' 93

x(t) = a cos(t)/ ch(mt)
Soit (Γ) : y(t) = a sin(t)/ ch(mt)


z(t) = a th(mt).
1) Montrer que (Γ) est tracée sur une surface (Σ) simple. Montrer que (Σ) est de révolution autour
de Oz et donner son équation.
2) Montrer que (Γ) coupe les méridiennes de (Σ) suivant un angle constant (loxodromie).
3) Réciproquement, déterminer toutes les loxodromies de (Σ).
4) Dessiner la projection de (Γ) sur xOy .
2
Thierry Sageaux
Surfaces paramétrées
Solutions des exercices
Exercice 1.
4x2 + 4y 2 − 3z 2 = a2 .
Exercice 2.
(Γ) est l'intersection d'un cylindrephyperbolique et d'un plan. C'est une hyperbole dans ce plan.
Pour M (x, y, z) ∈ Γ, on pose r = x2 + y 2 et on élimine x et y entre les équations :

2
2
2

x + y = r
x2 − y 2 − 4x + 2 = 0


x + z = 1.
ce qui donne 2z 2 = r2 , donc Γ est incluse dans l'hyperboloïde de révolution d'équation 2z 2 = x2 + y 2 et
la surface cherchée itou. La réciproque est évidente.
Exercice
3.
∂f
∂f
∂f
∂f
∂f
− ρ cos θ
x − cos θ
+ ρ sin θ
y + ρz = ρf − ρ2 .
∂θ
∂ρ
∂θ
∂ρ
∂ρ
∂f
= a(θ) ⇒ f (ρ, θ) = a(θ) + b(θ)ρ.
2) f − ρ
∂ρ
1)
sin θ
Exercice 5.
La normale en M est parallèle ou sécante à Oz
f (ρ).
Exercice 7.
1) Hyperboloïde de révolution
2) x = 2y , z 2 = 1 + 5y 2 .
⇔
y
∂f
∂f
−x
=0
∂x
∂y
⇔
∂f
=0
∂θ
⇔
f =
à deux nappes.
Exercice 8.
1) z = x2 + y 2 .
2) x + y = 12 .
3) (x − y + 21 )2 = 2(z − y + 14 ).
Exercice 9.
x2 + y 2 + z 2 − 2xz − 2yz + 2z = 1.
Exercice
 12.

(x + 2y)(y + 2z)
2
1) −(2x + y)(y + 2z) sauf pour M = ± √ (1, −2, 1).
3
(2x + y)(2y + z)
2) (x − z)(x + y + z) = 0.
3) segment x = z ∈ [−1, 1] et ellipse x2 + z 2 + xz = 1.
Exercice 13.
a2 y 2 = (x2 + y 2 )(r2 − z 2 ).
Exercice 14.
y(x2 + (y − 1)2 + z 2 ) = z 2 .
Exercice 15.
3
Thierry Sageaux
Surfaces paramétrées
a
v
x = (1 + cos u), y = (1 + cos u), z =
2
2
√
a2 + v 2
sin u.
2
Exercice 16.
1) x2 + y 2 + z 2 = a2 .


x = a cos u/ ch v
2) On paramètre (Σ) par : y = a sin u/ sh v


z = a th v.
−
→
∂M
La tangente à la méridienne passant par M (u, v) est dirigée par
et la tangente à (Γ) passant
∂v
−
→
−
→
∂M
∂M
m
par M (t, mt) est dirigée par
+m
. Après calculs, le cosinus de ces deux vecteurs vaut √ 2
∂u
∂v
m +1
donc est constant.
3) Une courbe tracée sur (Σ) est dénie par la donnée de u et v en fonction d'un paramètre t. Le
cosinus de l'angle entre cette courbe et une méridienne de (Σ) vaut √
v0
u0
, donc est constant si
u02 + v 02
et seulement si le rapport 0 est constant. En notant m cette constante et en prenant u(t) = t, on
u
trouve les courbes déduites de (Γ) par rotation autour de Oz .
4
Thierry Sageaux