Circuits linéaires dans l`ARQS

PCSI
CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L’ARQS
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CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L’ARQS
I.
INTRODUCTION
Sous nommes maintenant munis des outils et connaissances nécessaires pour aborder l’étude des
circuits lentement variables (au sens de l’ARQS). Nous utiliserons dans ce chapitre des sources de
courant et de tension continues et nous nous intéresserons aux régimes transitoires des circuits. Les
circuits alimentés par un générateur de tension ou courant variables seront vus en deuxième partie
de l’année.
II.
DIPÔLES R, L, C SOUMIS A UN ECHELON DE TENSION OU DE COURANT
1) Echelon de tension
Un échelon de tension ou de courant est une variation brutale de la grandeur physique concernée
(figure 6.1.).
x
t0
t
Figure 6.1. : Echelon de la grandeur x
Dans la pratique, l’une des valeurs initiale ou finale de x est souvent nulle : on réalise alors le
montage en ouvrant ou en fermant un interrupteur K à la date t = t0 (figures 6.2., où les résistances
internes des générateurs sont considérées négligeables). Nous chercherons dans la suite à décrire
quantitativement le régime transitoire au cours duquel le circuit passe d’un régime stationnaire à un
autre.
K
K
i (t )
η
Figure 6.2.a. : Réalisation d’un échelon de courant
e
u (t )
Figure 6.2.b. : Réalisation d’un échelon de tension
PCSI
CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L’ARQS
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2) Association en série d’un condensateur et d’une résistance
a. Equation d’évolution
On considère le circuit R,C de la figure 6.3. soumis à un échelon de tension.
K
i
e
C
+
u (t )
R
Figure 6.3. : circuit R,C série soumis à un
échelon de tension
La loi des maille nous permet d’écrire :
e = Ri + u
(si la résistance interne de la source r n’est pas négligeable, il faut faire la substitution R → R + r ).
Nous avons vu au chapitre 5 qu’un condensateur était caractérisé par la relation entre la tension et la
charge portée par son armature ⊕ :
q = Cu soit, en dérivant par t : i = Cu
La loi des mailles se met donc sous la forme d’une équation différentielle linéaire à coefficients
constants portant sur la tension :
u + RCu = e ⇔ u + τ u = e
où l’on a posé τ ≡ RC , grandeur caractéristique du circuit ayant la dimension d’une durée (afin que
τ u ait la même dimension que u), et appelée constante de temps du circuit. La solution générale de
l’équation sans second membre est :
u = Ae
−
t
τ
La solution particulière évidente est
u=e
La solution générale pour la tension aux bornes du condensateur est la somme de ces solutions :
−
t
u = Ae τ + e
où la constante A est ajustée suivant les conditions initiales.
Les variations des grandeurs physiques caractérisant le circuit évolueront donc significativement sur
des durées de l’ordre de grandeur de la constante τ . Pour les circuits usuels, R ∼ 103 Ω et
C ∼ 10−6 F , d’où τ ∼ 10−3 s : retenons que le régime transitoire d’un circuit RC est très bref. Notons
que ce résultat permet de vérifier a posteriori que, même si ces durées sont brèves, les conditions de
l’utilisation de l’ARQS sont bien vérifiées :
L c ∼ 10−8 s τ
Etudions maintenant plus en détails quelques cas particuliers intéressants :
b. Charge du condensateur
L’interrupteur se ferme à t = 0 et le condensateur est initialement déchargé. On a donc, l’indice 0 se
référant à la date t = 0 :
t
− ⎞
⎛
τ
u
e
1
e
=
−
u0 = q0 × C = 0 ⇒ A = −e ⇒
⎜
⎟
⎝
⎠
PCSI
CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L’ARQS
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La tension augmente exponentiellement aux bornes du condensateur, ainsi que la charge des
armatures du condensateur qui lui est proportionnelle (figure 6.3.a.). La constante de temps τ est la
durée au bout de laquelle la valeur de l’exponentielle est divisée par e 1 : le condensateur est donc
pratiquement chargé au bout de quelques τ . Cette durée est aussi appelée temps de relaxation du
circuit. Comme nous l’avions annoncé dans le chapitre 5 par un raisonnement énergétique, on
retrouve le fait que la tension est continue aux bornes d’un condensateur.
R = 100Ω ; C = 1µF ; e = 5V
τ
τ=100
Figure 6.3.a. : Evolution de la tension aux bornes du
condensateur au cours de sa charge
Figure 6.3.b. : Evolution de l’intensité traversant le
condensateur au cours de sa charge
On obtient la loi d’évolution du courant en dérivant par le temps (figure 6.3.b.) :
u −τt
i = Cu = e
R
L’intensité dans le circuit est donc discontinue en t = 0.
Le bilan énergétique instantané s’écrit, en multipliant l’équation de la maille par i.dt = Cu.dt :
d ⎛1
⎞
ei ( t ) dt = Ri 2 ( t ) dt + ⎜ Cu 2 ( t ) ⎟ dt = Ri 2 ( t ) dt + Ee ( t ) dt
dt ⎝ 2
⎠
L’énergie fournie par le générateur pendant dt se répartit donc entre l’énergie électrique Ee stockée
dans le condensateur et l’énergie dissipée par effet joule dans la résistance (figure 6.4.).
Le bilan énergétique s’obtient par intégration sur l’axe des temps (en pratique, l’intégration sur
quelques τ suffit). En notant que lim u = e , on voit que :
t →∞
∞
∫
t =0
∞
eCudt =
∫
∞
Ri 2 dt +
t =0
∞
d ⎛1 2⎞
1 2
2
2
∫t =0 dt ⎜⎝ 2 Cu ⎟⎠ dt ⇒ Ce = t =∫0 Ri dt + 2 Ce
D’où, globalement :
∞
Ee =
∫ Ri dt
2
où Ee = lim Ee ( t )
t =0
t →∞
Le condensateur stocke donc la moitié de l’énergie fournie par le générateur, l’autre moitié étant
dissipée dans la résistance par effet Joule.
c. Décharge du condensateur
On s’intéresse maintenant à la décharge d’un condensateur à travers une résistance (figure 6.5.) : on
a donc comme conditions initiales : e = 0 ; u0 = CQ0 . L’équation d’évolution se réduit à :
1
voir note 4, chapitre 3.
PCSI
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Puissance fournie par le générateur
Puissance dissipée par la résistance
Puissance stockée dans le condensateur
K
i
C
+
u (t )
R
Figure 6.5. : décharge d’un condensateur )
travers une résistance
Figure 6.4. : Evolution des puissances au cours de la charge d’un
condensateur
Figure 6.6.b. : Evolution de l’intensité traversant le
condensateur au cours de sa décharge
Figure 6.6.a. : Evolution de la tension aux bornes du
condensateur au cours de sa décharge
u +τ u = 0
De solution :
u ( t ) = Q0 e
−
t
τ
qui est continue et exponentiellement décroissante (figure 6.6.a.). L’intensité s’en déduit
aisément (figure 6.6.b.) :
CQ0 −τt
i = Cu = −
e
τ
La puissance reçue par le condensateur est donc négative, ce qui n’est pas surprenant puisque, en
restituant l’énergie électrique qu’il stockait, il se comporte comme un générateur. Le bilan de
puissance instantané est simplement :
Cuu + Ri 2 = 0 ⇔ −E e ( t ) = Ri 2 ( t )
La puissance fournie par le condensateur est donc dissipée intégralement par effet Joule dans la
résistance. Le bilan énergétique intégral est :
PCSI
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∞
Ee +
∫ Ri dt = 0
2
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où Ee = Ee ( t < 0 )
t =0
3) Association en série d’une bobine et d’une résistance
a. Equation d’évolution
On considère le circuit R,L de la figure 6.7. soumis à un échelon de tension.
K
i
e
L
u
R
Figure 6.7. : circuit R,C série soumis à un
échelon de tension
La loi des maille nous permet d’écrire :
e = Ri + u
Nous avons vu au chapitre 5 qu’une bobine était caractérisée par la relation :
di
u=L
dt
La loi des mailles se met donc sous la forme d’une équation différentielle portant sur le courant :
di e
L di e
i+
=
⇔ i +τ =
dt R
R dt R
où τ ≡ L R est la constante de temps du circuit. Le traitement de cette équation différentielle et
plus généralement le traitement mathématique de ce problème, sont maintenant bien connus, la
solution pour i est :
t
−
e
i = Be τ +
R
2
−1
−3
Typiquement, R ∼ 10 Ω ; L ∼ 10 H , d’où τ ∼ 10 s : les phénomènes transitoires sont donc brefs,
mais dans les conditions d’application de l’ARQS. Envisageons maintenant les deux situations
limites de cet échelon de tension.
b. Fermeture de l’interrupteur à t = 0
La condition initiale i ( 0 ) = 0 permet de trouver B = – e / R :
t
− ⎞
e⎛
τ
1
−
e
⎜
⎟
R⎝
⎠
Le courant est donc continu (figure 6.8.a.), comme des arguments énergétiques nous l’avaient
indiqué au chapitre précédent. La tension s’obtient par dérivation :
di
u = L = e × exp ( − t τ )
dt
ce qui est assez malheureux comme notation. La tension est discontinue aux bornes de la bobine en
t = 0 (figure 6.8.b).
Le bilan énergétique instantané s’obtient en multipliant la loi des mailles par i.dt :
i=
PCSI
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Ri 2 ( t ) dt + L
soit, avec Em ( t ) =
6/14
di ( t )
d ⎛1
⎞
i ( t ) dt = ei ( t ) dt ⇔ Ri 2 ( t ) dt + ⎜ Li 2 ( t ) ⎟ dt = ei ( t ) dt
dt
dt ⎝ 2
⎠
1 2
Li ( t ) l’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine :
2
Ri 2 ( t ) dt + Em ( t ) dt = ei ( t ) dt
dont l’interprétation ne présente aucune difficulté. En intégrant sur l’axe des temps, on obtient le
bilan énergétique (intégral) :
∞
∫ Ri ( t ) dt + E
∞
2
t =0
m
=
∫ ei ( t ) dt
t =0
2
1 ⎛e⎞
L⎜ ⎟
t →∞
2 ⎝R⎠
Remarquons que la relation ne se simplifie pas, contrairement au cas du condensateur.
avec
E m ≡ lim E m ( t ) =
R = 100Ω ; L = 50mH ; e = 5V
τ = 0.50
Figure 6.8.a. : Evolution du courant traversant la bobine
après la fermeture de l’interrupteur
Figure 6.8.b. : Evolution de la tension aux bornes de la
bobine après la fermeture de l’interrupteur
c. Décharge d’une bobine dans une résistance
Une bobine ne possède de l’énergie magnétique que si un courant la traverse, il faut donc modifier
le montage utilisé pour décharger un condensateur (figure 6.9.) : au temps t = 0, l’interrupteur idéal
bascule de la position 1 à la position 2.
1
K
i
2
e
L
u
R
Figure 6.9. : Décharge d’une bobine dans une
résistance
En absence de générateur, l’équation d’évolution se réduit à :
PCSI
CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L’ARQS
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i = B exp ( − t τ )
La condition initiale i ( 0 ) = e R permettent alors de trouver la valeur de la constante d’intégration :
i=
e
⎛ t⎞
exp ⎜ − ⎟
R
⎝ τ⎠
On obtient la tension par dérivation :
di
= −e × exp ( − t τ )
dt
Les évolutions de ces grandeurs sont indiquées sur les figures 6.10.
Le bilan en puissance s’écrit, en multipliant la loi de la maille par i :
Em = Ri 2
la puissance fournie par la bobine est donc intégralement dissipée par la résistance, le bilan
énergétique s’obtenant par intégration est :
u=L
∞
Em =
∫ Ri dt
2
où Em = Em ( t < 0 )
t =0
τ
Figure 6.10.a. : Evolution du courant traversant la bobine
pendant sa décharge
III.
Figure 6.10.b. : Evolution de la tension aux bornes de la
bobine pendant sa décharge
REGIME LIBRE D’UN CIRCUIT R, L, C SERIE
On s’intéresse maintenant à l’évolution libre (i.e. sans sources) d’un circuit constitué par
l’association en série d’une résistance, d’un condensateur et d’une bobine.
1) Equation d’évolution
On considère le circuit R,L, C de la figure 6.11. La loi de la maille est :
di
Ri + qC + L = 0
dt
On peut obtenir une équation différentielle du deuxième ordre à coefficients constants pour la
tension aux bornes du condensateur avec la relation i = Cu :
RCu + u + LCu = 0
PCSI
CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L’ARQS
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uR
R
u
C
L
+
uL
Figure 6.11. : Circuit R, L, C série
⇔
1
u + u + ω02u = 0
où
τ
τ ≡ L R et ω0 ≡ 1 LC
sont les temps propre et pulsation propre du circuit 2. Nous avons déjà rencontré cette
équation différentielle : c’est l’équation d’évolution de l’oscillateur harmonique amorti à un degré
de liberté (chapitre 3).
Dans un contexte physique différent, nous retrouvons donc un même traitement mathématique. Les
variables de « position » et de « vitesse » étant ici la tension aux bornes du condensateur et le
courant dans le circuit qui en dérive par i = Cu . Nous cherchons des solutions de la forme
u = A exp ( r t ) , menant à l’équation caractéristique
1
r 2 + r + ω02 = 0
τ
de solutions
r=−
1
±
2τ
1
( 2τ )
2
− ω02 = −
1
± ω0
2τ
1
( 2Q )
2
−1
en posant Q ≡ ω0τ = L RC , quantité sans dimension nommée facteur de qualité du circuit.
Notons que l’équation différentielle se réécrit en fonction de ce nouveau paramètre :
u+
ω0
u + ω02u = 0
Q
Comme en mécanique, différents régimes existent en fonction de la valeur de Q, nous ne nous
attarderons donc pas sur les résolutions de l’équation.
2) Régimes de fonctionnement
a. Régime apériodique : Q ≤ 1 2
Si Q < ½ , on a :
u=e
−
t
2τ
⎡⎣ A+ e β t + A− e − β t ⎤⎦ avec β ≡ ω0
1
( 2Q )
2
−1 ,
la valeur des constantes dépendant des conditions initiales.
Exemple :
Si q = q0 et i = 0 à t = 0, on trouve :
2
de manière équivalente, en divisant cette équation par C, on obtient l’équation différentielle sur la charge q :
1
2
q + q + ω0 q = 0
τ
PCSI
CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L’ARQS
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q0
⎧
⎪⎪u ( 0 ) = u0 = C ⇒ A+ + A− = u0
⎨
⎪i ( 0 ) = 0 = i0 ⇒ 2 A+ = u0 ⎛⎜ 1 + 1⎞⎟
⎝ 2βτ
⎠
⎩⎪
d’où
t
−
⎧
⎡ −βt ⎛ 1
⎤
⎞
2τ
u
=
u
e
⎪
0
⎢e + ⎜ 2 βτ + 1 ⎟ sinh ( β t ) ⎥
⎝
⎠
⎪
⎣
⎦
⎨
t
−
⎪
⎛ 1
⎞ ⎡ 1 sinh β t + cosh β t − e − β t ⎤
i = Cu0 e 2τ ⎜ + β ⎟ ⎢ −
( )
( )
⎥⎦
⎪⎩
⎝ 2τ
⎠ ⎣ 2 βτ
Dans le cas limite Q = ½ , le discriminant de l’équation caractéristique s’annule et l’équation
d’évolution se réduit à :
u + 2ω0u + ω02u = 0
Sa solution générale est (voir chapitre 3) :
u = ( A + Bt ) e −ω0t
Q1 < Q2 < QC = 1 2
Q1
Q1
Q2
Q2
QC
QC
Figure 6.12.a. : Tension aux bornes du condensateur dans
un circuit R, L, C avec Q ≤ 1 2
Figure 6.12.b. : Courant dans un circuit R, L, C
avec Q ≤ 1 2
Exemple :
Si q = q0 et i = 0 à t = 0, on trouve :
⎧u ( 0 ) = u 0 ⇒ A = u 0
⎨
⎩i ( 0 ) = 0 ⇒ B = ω 0 u 0
⎧⎪u = u0 (1 + ω0t ) e −ω t
⎨
−ω t
2
⎪⎩i = −Cω0 u0 e 0
0
d’où
Ce régime limite est qualifié de critique car c’est celui pour lequel l’annulation de u et i est la plus
rapide. Les figures 6.12. montrent les évolutions de la tension et de l’intensité pour les régimes
apériodiques.
b. Régime pseudo-périodique ( Q > 1 2 )
Dans ce cas, il n’existe pas de solutions réelles pour r. On pose alors
1
1
1
r = − ± iω0 1 −
= − ± iωa
2
2τ
2τ
( 2Q )
PCSI
CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L’ARQS
avec ωa ≡ ω0 1 −
1
( 2Q )
2
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et i 2 = −1 . La tension prend alors la forme :
u=e
que l’on peut écrire, u étant réelle ( u ∈
−
t
2τ
(A e
+
iωa
+ A− e − iωa
⇒ u * = u ⇒ A+ ≡
u = Ue
−
t
2τ
)
U iϕ
U
e ; = A− e − iϕ ) :
2
2
cos (ωa t + ϕ )
Exemple :
Pour les mêmes conditions initiales que dans le paragraphe ci-dessus, on trouve :
u ( 0 ) = 0 ⇒ ϕ = arctan ( −1 2ωaτ )
¨
u ( 0 ) = u0 ⇒ U = u0 cos ϕ
On en déduit :
u=e
−
1
t
2τ
⎛
u0
cos [ arctan ( −1/ 2ωaτ )]
⎞⎞
⎟⎟
⎝ 2ωaτ ⎠ ⎠
⎛
cos ⎜ ωa t + arctan ⎜ −
⎝
1
Le régime est donc pseudo-périodique, de durée de relaxation τ , de pseudo-pulsation ωa et de pseudo-
période Ta = 2π ωa (figures 6.13.), i.e. l’évolution temporelle de la tension est sinusoïdale et son
amplitude décroît exponentiellement, avec une constante de temps 2τ.
Q = 10
e −t τ
2τ
− e −t τ
Figure 6.12.a. : Tension aux bornes du condensateur dans
un circuit R, L, C avec Q > 1 2
Si Q est élevé ( Q
pseudo-pulsation :
Figure 6.12.a. : Courant dans un circuit R, L, C
avec Q > 1 2
1 2 ), on obtient les expressions approchées pour la pseudo-période et la
1 ⎞
2π 2π ⎛
1 ⎞
et Ta =
⎜1 + 2 ⎟
2 ⎟
ωa ω0 ⎝ 8Q ⎠
⎝ 8Q ⎠
Rappelons que le facteur de qualité correspond, dans ce cas, à l’ordre de grandeur du nombre de
pseudo-périodes après lequel les amplitudes des grandeurs physiques sont significativement
modifiées.
ωa
⎛
ω0 ⎜ 1 −
Penchons nous enfin sur la transition entre le régime apériodique et le régime pseudo-périodique,
qui est montrée sur les figures 6.13., où plusieurs courbes sont tracées pour des valeurs de Q allant
de 0,1 à 3 (la pulsation propre restant fixée). On y voit bien que le passage d’un régime à l’autre (en
fonction des caractéristiques des dipôles utilisés) est continu, notre traitement mathématique n’est
différent qu’à cause de l’apparition de zéros dans la fonction u.
PCSI
CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L’ARQS
ω0 = 10 rad.s
3
11/14
-1
0,1
0,3
0,1
0,3
0,5
0,7
0,5
0,7
3
3
Figure 6.13.a. : Evolution de la tension en fonction de Q
(la pulsation propre étant fixée)
Figure 6.13.b. : Evolution du courant en fonction de Q (la
pulsation propre étant fixée)
3) Aspects énergétiques
Le bilan instantané (en puissance) s’obtient en multipliant la loi de la maille par i :
d ⎛1
1
d
⎞
Ri 2 + ⎜ Cu 2 + Li 2 ⎟ = 0 ⇔
( Em + Ee ) = − Ri 2 < 0
dt ⎝ 2
dt
2
⎠
résultat qui ne devrait surprendre personne. L’énergie stockée dans le circuit diminue donc car la
résistance dissipe de l’énergie. Le bilan énergétique intégral s’écrit :
∞
∫ Ri
2
= Em ( t = 0 ) + Ee ( t = 0 )
t =0
L’énergie dissipée par la résistance est donc égale à l’énergie initialement répartie dans le
condensateur et la bobine : l’énergie du circuit à t = ∞ est nulle.
4) Analogie électromécanique
Les équations différentielles, sur lesquelles sont bâties la physique actuelle, permettent de décrire
l’évolution future d’une grandeur physique en connaissant sa valeur à un instant « initial » et sa
première dérivée temporelle à cet instant. Ainsi en mécanique newtonienne, la connaissance de la
position et de la vitesse d’un point matériel à un instant suffit, via la loi fondamentale de la
dynamique et sous réserve de connaître les actions extérieures, pour prévoir son évolution future qui
peut être représentée sur un diagramme de phase ( x, x ) . Dans un circuit linéaire, de manière
analogue, tension et courant caractérisent entièrement le circuit et ces grandeurs sont reliées par une
équation différentielle.
Nous avons évidemment obtenu, partant d’équations différentielles analogues, des solutions
analogues. La ressemblance est encore plus frappante si l’on trace le diagramme de phase
( u, i = Cu ) des exemples étudiés dans cette section (figure 6.14. et 6.15) et que nous les comparons
aux résultats du chapitre 3. Dans le cas de l’oscillateur mécanique, l’énergie mécanique oscille entre
ses formes cinétique (liée à la vitesse) et potentielle (liée à la position) et diminue par cause de
frottement. Ici, l’énergie du système oscille entre sa forme électrique (liée à la tension) et sa forme
magnétique (liée au courant) et diminue par effet Joule.
En comparant les équations gouvernant les évolution d’un oscillateur mécanique et d’un circuit
R,L,C, on voit qu’elles sont en correspondance univoque (figure 6.16.).
On voit sur cette figure les correspondances entre les grandeurs électriques et mécanique :
⎧ R ↔ α dissipation
⎪
⎨ L ↔ m inertie
⎪C ↔ k −1 rappel
⎩
PCSI
CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L’ARQS
12/14
Nous avons là un exemple d’un phénomène se produisant souvent en physique : deux situations,
n’ayant a priori rien en commun, sont décrites mathématiquement par les mêmes équations
différentielles. Un autre exemple que nous aborderons en détail en deuxième année est l’étude des
phénomènes ondulatoires : les perturbations de la pression (onde sonores), du champ électrique
(onde lumineuses), des contraintes dans un solide (ondes mécaniques), ou encore de la métrique de
l’espace temps (ondes gravitationnelles) sont décrite par un même squelette mathématique.
i
i
u
u
0,1
0,3
0,5
0,75
3
10
Figure 6.14. : Diagrammes de phase ( u , i ) pour différentes
Figure 6.15. : Diagrammes de phase ( u , i ) pour
valeurs de Q
(les courbes correspondant à plusieurs oscillations Q = 3 et 10
sont tronquées pour ne pas alourdir la figure)
Q = 10 uniquement
k
R
Système
Equation de l’oscillateur
Pulsation propre
Durée de relaxation
u
C
+q
u+
L
0
i
R
1
u+
u=0
L
LC
ω0 = 1 LC
τ =L R
Facteur de qualité
Q ≡ ω0τ =
Energie de l’oscillateur
E=
Bilan de puissance
m
(
LC
)
x0
α
x
k
x=0
m
m
ω0 = k m
x+
x+
τ =m α
R
C 2 L 2
u + i
2
2
2
d E = − Ri dt
Figure 6.16. : Analogie électromécanique
Q ≡ ω0τ = km α
k 2 m 2
x + v
2
2
2
d E = −α v dt
E=
PCSI
IV.
CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L’ARQS
13/14
CIRCUIT R,L,C SOUMIS A UN ECHELON DE TENSION
1) Equation d’évolution
On considère le montage de la figure 6.17. L’interrupteur K étant ouvert toute les grandeurs sont
nulles à part la force électromotrice e du générateur. On ferme l’interrupteur à la date t = 0.
L’équation de la maille est :
L di dt + Ri + u = e
soit, avec les notations adoptées dans la section III (figure 6.16. ci-dessus) :
u+
ω0
Q
u + ω02u = ω02 e
uR
i
R
u
C
L
+
K
uL
e
Figure 6.17. : Circuit R,L,C soumis à un échelon
de tension
2) Régimes de fonctionnement
Les solutions de l’équation différentielle ci-dessus s’obtiennent à partir des solutions trouvées dans
la section précédente pour le régime libre et en y rajoutant la solution particulière évidente de
l’équation avec second membre u = e . Avec les conditions initiales u ( 0 ) = 0 ; i ( 0 ) = 0 ; e = 5V , on
trouve :
t
⎧
⎡
−
⎛
⎞⎤
⎛ 1
⎞
+ 1⎟ sinh ( β t ) ⎟ ⎥
⎪u = e ⎢1 − e 2τ ⎜ e − β t + ⎜
⎢⎣
⎝ 2 βτ
⎠
⎪
⎝
⎠ ⎥⎦
⎨
1
⎪
⎛ 1
⎞
⎛ t ⎞⎡
−β t ⎤
⎪i = Ce ⎜ 2τ + β ⎟ × exp ⎜ − 2τ ⎟ ⎢ − 2βτ sinh ( β t ) + cosh ( β t ) − e ⎥
⎝
⎠
⎝
⎠⎣
⎦
⎩
Les figures 6.18. et 6.19. illustrent ce comportement (remarquez qu’en abaissant l’interrupteur nous
modifions le point d’équilibre stable du système : nous passons, dans l’analogie électromécanique,
de la configuration d’un oscillateur horizontal à celle d’un oscillateur vertical soumis à son poids,
mais un tel « branchement » instantané du poids est bien sûr impossible en mécanique). Le régime
transitoire s’achève après quelques fois la durée de relaxation, on est alors en régime établi, pour
lequel u = e ; i = 0 .
3) Aspects énergétiques
Le bilan de puissance s’écrit :
d ⎛ Li 2 Cu 2 ⎞
2
+
⎜
⎟ + Ri = ei
dt ⎝ 2
2 ⎠
et le bilan énergétique total est :
PCSI
CHAPITRE 6 : CIRCUITS LINEAIRES DANS L’ARQS
∞
∫
Ee +
∞
Ri 2 dt =
t =0
∫
ei.dt
t =0
où Ee =
14/14
Ce 2
2
Le courant étant nul en régime établi, la bobine n’intervient pas dans ce bilan global : l’énergie
fournie par le générateur est la somme de l’énergie dissipée par la résistance pendant le régime
transitoire et de l’énergie électrique stockée dans le condensateur en régime établi.
Figure 6.18.a. : Evolution de la tension aux bornes du
condensateur en régime apériodique (Q = 0,4)
Figure 6.18.b. : Evolution du courant en régime
apériodique (Q = 0,4)
Figure 6.18.c. : Evolution de la tension aux bornes du
condensateur en régime pseudo-périodique (Q = 3)
Figure 6.18.d. : Evolution du courant en régime pseudopériodique (Q = 3)
i
Q=3
Q = 0,4
u
Figure 6.19. : Portrait de phase de circuit R,L,C soumis à
un échelon de tension