Notation scientifique - Notes de cours

ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE
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Cours de
MATHEMATIQUES
- Notation scientifique ——————————————————————
H. Schyns
Novembre 2002
Notation scientifique
Sommaire
Sommaire
1.
LES PUISSANCES DE 10
1.1. Rappel
1.2. Tableau des préfixes
2.
NOTATIONS
2.1. Notation scientifique
2.2. Notation ingénieur
2.3. Ordre de grandeur
3.
MULTIPLICATIONS ET DIVISIONS
3.1. Résultat exact
3.2. Ordre de grandeur
3.3. Résultat approché
4.
ADDITIONS ET SOUSTRACTIONS
4.1. Résultat exact
4.2. Ordre de grandeur
4.3. Résultat approché
EXERCICES DU CHAPITRE
♦ Exercice 1
♦ Exercice 2
♦ Exercice 3
♦ Exercice 4
H. Schyns
S.1
Notation scientifique
1.
1 - Les puissances de 10
Les puissances de 10
1.1.
Rappel
Il n'est sûrement pas inutile de rappeler quelques conventions en matière de notation
de puissance et d'exposants. On note :
a ⋅ a43
⋅⋅⋅a
ap = a
1⋅ 42
p facteurs
a− p =
1
ap
−
1
a2
=
1
a 2 =
a
1
a
=
a
a
Dans ce chapitre nous nous intéresserons plus particulièrement aux puissances
de 10. Par exemple :
10 − 2 =
103 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000
1.2.
1
1
=
= 0.01
2
100
10
Tableau des préfixes
Les puissances de 10 et de 1000 sont d'un usage très fréquent. On leur a attribué
un nom et un symbole. Chacun sait par exemple que
1 000 m = 1 km
ou que
200 l = 2 hl
et
0.005 g = 5 mg
Voici un tableau récapitulatif des principales puissances supérieures et inférieures à
l'unité :
Nombre
H. Schyns
Exposant
Préfixe
12
T
9
G giga
6
M méga
3
k
kilo
2
h
hecto
1 000 000 000 000
10
1 000 000 000
10
1 000 000
10
1 000
10
100
10
10
10
1
10
0,1
10
0,01
10
0,001
10
0,000 001
10
0,000 000 001
10
0,000 000 000 001
10
1
téra
da déca
0
-1
d
déci
-2
c
centi
-3
m mili
-6
µ
micro
-9
n
nano
-12
p
pico
1.1
Notation scientifique
2.
2 - Notations
Notations
2.1.
Notation scientifique
Pour écrire un nombre en notation scientifique, on ramène la virgule derrière le
premier chiffre significatif et on multiplie par la puissance de 10 adéquate (1). Par
exemple :
579 = 5,79 • 100 = 5,79 • 10
2
Au début, une manière simple de procéder consiste à écrire 1 au-dessus du plus
grand chiffre significatif et des 0 au-dessus de tous les autres chiffres jusqu'au chiffre
situé juste avant la virgule :
100
| | |
579
On procède de même quand le nombre contient une partie entière et une partie
décimale :
42 854,9 = 4,28549 • 10 000 = 4,28549 • 10
4
10000
| | | | |
42854 , 9
Quand le nombre ne contient qu'une partie décimale, on se retrouve avec un
exposant de 10 négatif :
0,00371 = 3,71 • 0.001 = 3,71 • 10
-3
0 , 001
| | | | |
0 , 00371
car on place le 1 devant le plus grand chiffre significatif (ici le 3) et 0 jusqu'à revenir
juste avant la virgule.
Plus généralement, on compte le nombre de rangs dont on déplace la virgule pour la
ramener juste derrière les plus grand chiffre significatif :
579,
57,9
5,79
579 = 5,79 • 10
départ
1 rang
2 rangs
2
Ici, la virgule s'est déplacée de 2 rangs vers les grands chiffres; l'exposant de 10
sera donc positif
42854,9
4285,49
428,549
42,8549
4,28549
départ
1 rang
2 rangs
3 rangs
4 rangs
42 854,9 = 4,28549 • 10
4
1 Par premier chiffre significatif d'un nombre, on entend le plus grand chiffre qui ne soit pas un zéro de
position.
H. Schyns
2.1
Notation scientifique
2 - Notations
0,00371
00,0371
000,371
0003,71
départ
-1 rang
-2 rangs
-3 rangs
-3
0,00371 = 3,71 • 10
Ici, la virgule s'est déplacée de 3 rangs vers les petits chiffres; l'exposant de 10 sera
donc négatif.
2.2.
Notation ingénieur
La notation ingénieur est une variante de la notation scientifique. Dans la notation
ingénieur, on garde 1, 2 ou 3 chiffres significatifs devant la virgule afin que la
puissance de 10 soit toujours un multiple de 3. Ceci simplifie l'usage des préfixes
kilo, Méga, micro, etc définis plus haut :
Nombre
Notation scientifique
42 854,9
4,28549 • 10
0,000 162 5
1,625 • 10
532,8
5,328 • 10
Notation ingénieur
4
42,8549 • 10
-4
162,5 • 10
2
3
-6
532,8
Les deux méthodes ont leurs avantages et leurs inconvénients. Le choix de l'une ou
de l'autre est simplement une affaire de goût personnel et d'habitude.
2.3.
Ordre de grandeur
On parle de l'ordre de grandeur d'un nombre ou d'une quantité quand on en donne
une valeur approximative, généralement sous la forme d'une notation scientifique
limitée à un seul chiffre significatif.
Par exemple, on dira que l'ordre de grandeur
6
-
de la population belge est de 10 millions d'individus (10 • 10 )
-
de la population mondiale est de 6 milliards d'individus (6 • 10 )
-
de la taille d'une bactérie est de 1 micron (1 • 10 m)
-
du signal capté par un encéphalographe est de quelques millivolts (1 • 10 V)
9
-6
-3
Le but de l'ordre de grandeur est de permettre à l'interlocuteur de se faire
rapidement une représentation mentale des quantités évoquées et d'en imaginer les
conséquences et les implications.
H. Schyns
2.2
Notation scientifique
3.
3 - Multiplications et divisions
Multiplications et divisions
3.1.
Résultat exact
L'intérêt de la notation scientifique est qu'elle facilite considérablement les
multiplications et les divisions. Elle évite les erreurs dues à la perte d'un chiffre ou
d'un zéro lors de la frappe des nombres sur la calculatrice. Elle permet aussi d'avoir
très rapidement une idée de l'ordre de grandeur de la solution ainsi qu'une valeur
approchée.
La multiplication et la division de nombres en notations scientifique se font en trois
étapes :
-
déterminer le signe du résultat
calculer la puissance de 10 finale
effectuer le calcul des mantisses (chiffres significatifs)
Par exemple, effectuons le calcul suivant à l'aide de la notation scientifique :
458,57 • ( −0,00007541)
9740000 • 0,00632
Transformons chacun des nombres en notation scientifique :
458,57 = 4,5857 • 10
2
-0,00007541 = -7,541 • 10
9740000 = 9,74 • 10
-5
6
-3
0,00632 = 6,32 • 10
L'expression devient :
4,5857 • 10 2 • ( −7,541 • 10 −5 )
9,74 • 10 6 • 6,32 • 10 −3
Commençons par régler le problème du signe. Parmi les opérandes, une seule est
de sihne négatif. Le résultat final sera donc négatif. Pour faciliter le traitement, on
place le signe devant la barre de fraction :
−
4,5857 • 10 2 • 7,541 • 10 −5
9,74 • 10 6 • 6,32 • 10 −3
Traitons les puissance de 10. Pour ce faire, nous les regroupons à la fin de
l'expression. Nous pouvons même les isoler dans une autre fraction :
−
4,5857 • 7,541 10 2 • 10 −5
• 6
9,74 • 6,32
10 • 10 −3
Simplifions les puissances de 10 en nous rappelant qu'un exposant change de signe
lorsque le facteur passe de l'autre côté de la barre de fraction :
−
4,5857 • 7,541 10 2 • 103
• 6
9,74 • 6,32
10 • 10 5
ou
4,5857 • 7,541 10 5
• 11
9,74 • 6,32
10
ou
−
−
H. Schyns
−
4,5857 • 7,541
• 10 2 • 10 − 5 • 10 −6 • 10 3
9,74 • 6,32
−
4,5857 • 7,541
• 10 5 • 10 −11
9,74 • 6,32
4,5857 • 7,541
• 10 −6
9,74 • 6,32
3.1
Notation scientifique
3 - Multiplications et divisions
-6
A ce stade, nous connaissons déjà l'ordre de grandeur du résultat (10 ).
Effectuons maintenant le calcul des mantisses, c'est-à-dire des chiffres significatifs :
-6
0,561770 • 10
Enfin, déplaçons la virgule pour la replacer après le premier chiffre significatif :
-7
5,61770 • 10
3.2.
Ordre de grandeur
Pour obtenir d'ordre de grandeur d'un produit, il suffit de multiplier les puissances
de 10 de tous les facteurs, ce qui se fait en additionnant leurs exposants.
Pour obtenir d'ordre de grandeur d'un quotient, il suffit de diviser la puissance
de 10 du numérateur par celle du dénominateur, ce qui se fait en soustrayant les
exposants.
Calcul
Ordre de grandeur
3
4 285 • 517
10 • 10 = 10
0,001 625 • 0,35
10
-3
-1
• 10
10 4
34 951
732
10
2
10 −3
0,006 61
0,000 027 5
3.3.
2
10
−5
Résultat approché
5
20 • 10
-4
5
-4
= 10
5 • 10
= 10 2
0,5 • 10
= 10 2
2 • 10
2
2
Résultat approché
Les ingénieurs, les scientifiques, les contrôleurs de gestion et, en général, les
personnes qui manipulent des séries de chiffres à longueur de journée effectuent
souvent des calculs approchés.
Les calculs approchés sont des calculs dont le résultat est faux par rapport à la
réponse exacte mais dont la précision est suffisante pour le problème donné. Ils ont
l'avantage de pouvoir être réalisé "sur le terrain", rapidement et mentalement. Ils
permettent aussi de contrôler la validité du résultat "exact" et de détecter une
éventuelle erreur de frappe.
Un résultat approché de l'exemple présenté plus haut peut être obtenu en ne
gardant que le premier chiffre de chaque facteur (troncature) :
458,57 • ( −0,00007541)
9740000 • 0,00632
−
4•7
• 10 −6
9•6
≅
0,52 • 10 −6
5,2 • 10 −7
=
Un résultat toujours approché, mais très proche de la "vraie" solution serait obtenu
en arrondissant chaque facteur à la première décimale :
−
H. Schyns
4,6 • 7,5
• 10 − 6
9,7 • 6,3
≅
0,565 • 10 −6
=
5,65 • 10 −7
3.2
Notation scientifique
4.
4 - Additions et soustractions
Additions et soustractions
4.1.
Résultat exact
Additionner ou soustraire des nombres en notation scientifique exige quelques
précautions : il importe notamment de les ramener tous au même exposant de 10.
Par exemple, effectuons le calcul suivant :
2
6
4,58 • 10 + 9,74 • 10 – 6,32 • 10
3
Il est souvent plus facile ramener tous ces nombres au plus petit des exposants, ici
2
10 , en déplaçant la virgule. L'expression devient :
2
2
4,58 • 10 + 97400, • 10 – 63,2 • 10
2
ce qui donne :
2
97341.38 • 10 = 9,734138 • 10
6
Ceci peut sembler bien compliqué pour une addition et pourtant, ici aussi, la notation
scientifique a un avantage incontestable : lorsque l'on additionne ou soustrait des
nombres qui ont des puissances de 10 très différentes, le résultat final sera très
proche du chiffre qui présentait la plus grande puissance de 10.
4.2.
Ordre de grandeur
On conclut de l'observation ci-dessus que l'ordre de grandeur d'une somme de
quelques termes est soit égal à l'ordre de grandeur du plus grand terme soit un ordre
de grandeur au dessus.
Par contre, il est généralement très dangereux d'essayer de déterminer l'ordre de
grandeur d'une différence, surtout si les nombres en présence sont du même
ordre de grandeur. On peut s'en convaincre dans les exemples ci-dessous :
5365 – 5534
10
4.3.
5365 – 5334
2
10
5365 – 5364
1
10
0
Résultat approché
Quand on se contente d'un résultat approché, on peut se permettre de simplifier une
addition ou une soustraction en ignorant les nombres dont la puissance de 10 est
quatre ou cinq rangs inférieure à celle du plus grand nombre en présence. On dit
de ces nombres ignorés qu'ils représentent des quantités négligeables. A titre
d'exemple :
4,58 • 10
2
-5,72 • 10
-5
est négligeable devant
9,74 • 10
est négligeable devant 6,61 • 10
6
-1
et a fortiori devant
8.62 • 10
et a fortiori devant
3
9
mais il faut aussi tenir compte du contexte car tous les petits nombres ne sont pas
forcément négligeables. Pensons par exemple à une teneur en dioxine qui se
mesure en nanogrammes par mètre cube, à la dimension d'un virus (micromètres)
ou à la capacité d'un condensateur électrique (picofarad).
H. Schyns
4.1
Notation scientifique
Exercices du chapitre
Exercices du chapitre
♦ Exercice 1
Ecrire en notation scientifique :
8419,02
0,000529
0,0279
507392
3,178
179,18
0,00004892
95
35046,1
0,00969
0,7786
Indication pour la correction : on retrouve toutes les puissances de 10
+5
à 10
-5
♦ Exercice 2
Transformer en notation décimale :
-1
2,624•10
7,895•10
6
4,219•10
4
-3
6,058•10
7,163•10
1
-9
2,311•10
♦ Exercice 3
Corriger les écritures ci-dessous pour leur donner la forme scientifique normale :
-1
62,41•10
0,0897•10
5
214•10
-3
0,0068•10
-4
1763•10
2
1125,3•10
-5
♦ Exercice 4
Calculez les expressions suivantes en passant par la notation scientifique.
Entraînez-vous à donner l'ordre de grandeur du résultat en quelques secondes.
Etes-vous capable de fournir (mentalement) un résultat approché en moins d'une
demi-minute pour chaque calcul ?
635 • 0,0389
5,67
H. Schyns
71,8 • 0,00464
2
0,002434 • 69,83 • 0,0121
896 • 7474 • 6210 • 0,039
Solutions approchées : 80•10
(8630)2 • (0,332)3
0,000878 • 0,003078
0,01797 • 608,9
5
4 1600•10
6
0,10•10
4
2,4•10
-7
E.1