texte - Ief - Université Paris-Sud

Master M1 IST
UE 433
Université Paris-Sud 11 - ENS Cachan
Acquisition, traitement et transmission de l'information numérique
Partiel du 4 mars 2011
Durée : 3 heures.
Les documents ne sont pas autorisés. Les seuls appareils électroniques autorisés sont les
calculatrices fournies.
I. Filtre à capacités commutées
On s’intéresse à la structure à capacités commutées de la figure suivante. On suppose que
l’amplificateur opérationnel est idéal et fonctionne en régime linéaire. L’interrupteur I bascule de A
à B aux instants nTe pendant un temps très bref puis revient en A. On a C2 = 7C1.
-
e(t)
A
B
I
C1
s(t)
)))
+
C2
1. Indiquer comment réaliser l'interrupteur I en technologie CMOS. Pourquoi deux transistors
sont-ils nécessaires ?
2. Exprimer les charges Q1 et Q2 des capacités C1 et C2 à l’instant nTe-, c'est-à-dire juste avant le
basculement de l’interrupteur I.
3. Comment varie s(t) durant l’intervalle de temps [(n - 1)Te+ ; nTe-] ?
4. Déduire des questions précédentes sn à l’instant nTe+, soit après basculement complet de
l’interrupteur I.
5. Quelle est alors l’équation aux différences de ce montage ?
6. Déterminer la réponse impulsionnelle h(n) du filtre.
7. Déterminer la fonction de transfert en z, notée H(z), du filtre échantillonné.
8. Le filtre échantillonné réalisé est-il à réponse impulsionnelle finie ou infinie ? Est-il stable ?
Est-il causal ? Toutes les réponses doivent être justifiées.
9. Déterminer le gain complexe H( j) .
10. Exprimer le module de H( j) et tracer son allure en fonction de la fréquence en échelles
linéaires. Préciser les valeurs maximale et minimale du module de H( j) .
11. Calculer la fréquence de coupure fcN à -3 dB du filtre de gain H( j) . Application numérique
pour Te = 100 µs.
2010-2011
1
Master M1 IST
UE 433
Université Paris-Sud 11 - ENS Cachan
II. Filtre en peigne pour la télévision
On considère le filtre de réponse impulsionnelle h1(n) représentée par la figure suivante
1. De quel type de filtre s’agit-il ? Son fonctionnement est-il stable ? Justifier votre réponse.
2. Ecrire sa fonction de transfert H1(z).
3. Ecrire l’expression de la réponse en fréquence H1(f).
4. Représenter graphiquement le module de la réponse en fréquence pour f variant sur l’intervalle
[0,1/Te].
On considère désormais le filtre de réponse impulsionnelle h2(n) représentée ci-dessous :
5. Ecrire sa fonction de transfert H2(z).
6. Représenter graphiquement le module de la fonction de transfert en fréquence associée pour f
variant sur l’intervalle [0,1/Te].
On considère enfin la séquence porte pM(n) d’amplitude unité et de longueur M
7. Représentez graphiquement l’allure du module de la transformée de Fourier P M(f) dans le cas
M = 8, sur l’intervalle [0,1/Te]. Préciser la valeur du maximum et la position des zéros
8. Démontrer que la transformée de Fourier d’un peigne de Dirac temporel de période T e est
donnée par :
k
 
 1  
TF  n  kN  
 f  

N
k  
 N k   
On appelle sN,M(n) la séquence produit s N,M 
2010-2011

 n  kN.p
k  
M
(n )
2
Master M1 IST
UE 433
Université Paris-Sud 11 - ENS Cachan
9. Représenter la séquence s4,8(n). Comparer la position des zéros de PM(f.Te - 1/N) par rapport à
ceux de PM(f). En déduire et représenter graphiquement l’allure du module de la transformée de
Fourier de la séquence s4,8(n). (opérer par convolution des transformées de Fourier des

séquences
 n  kN  et pM(n)). Comparer avec le résultat de la question 5.
k  
10. Même question pour la séquence s4,12(n) : représenter la séquence et l’allure graphique de sa
transformée de Fourier.
Remarque : Les séquences sN,M(n) son appelés « filtres en peigne ».
III. Transformation bilinéaire
1. Montrer qu’en trouvant un équivalent numérique de l’opération d’intégration on obtient une
correspondance entre la fonction de transfert en p à temps continu et celle en z à temps discret
donnée par la transformation bilinéaire :
où Te est la période d’échantillonnage.
2. Etablir d’après la relation précédente la correspondance entre la pulsation  dans le domaine à
temps continu et celle  dans celui à temps échantillonné.
3. En déduire que dans le domaine fréquentiel cette transformation induit une distorsion de l’axe
des fréquences, sauf pour  << 2/Te.
4. Justifier le fait que la transformation bilinéaire conserve la stabilité.
5. Expliciter l’ensemble des étapes de la synthèse des filtres numériques par la méthode de la
transformation bilinéaire.
IV. Bruit de quantification
La plage de fonctionnement d’un convertisseur analogique-numérique (CAN) est [0,M] (M > 0).
Elle est subdivisée en N = 2n intervalles de largeur constante , n étant le nombre de bits sur lequel
travaille le convertisseur. La quantification consiste à remplacer chaque valeur des échantillons du
signal xe(t) par un multiple entier de , xk = k, tel que xe(t) est compris entre k - /2 et k + /2.
1. Exprimer  en fonction de M et n.
2. Tracer la caractéristique de transfert = f(xe).
3. Tracer b = xe - xk le bruit de quantification en fonction de xe.
4. En supposant une variation linéaire de xe en fonction du temps t, calculer la valeur moyenne et
la valeur efficace du bruit b.
5. Dans le cas d'un signal xe(t) quelconque, exprimer en dB le rapport signal sur bruit « de
quantification », noté RSB. On considérera ici N = 2n >> 1.
6. Dans le cas du CAN de la figure suivante, que vaut  ? Que valent les sorties des comparateurs
si xE = 3,6 V pour Vréf = 7 V ?
7. Comment appelle-t-on ce type de CAN ? Quel est son avantage principal ? Son inconvénient
principal ?
8. Combien faudrait-il de comparateurs pour réaliser un CAN à 6 bits sur le modèle de la structure
schématisée ci-après. Comment faire pour se limiter à 14 comparateurs de tension ?
2010-2011
3
Master M1 IST
UE 433
Université Paris-Sud 11 - ENS Cachan
xE
Vref
+
-
+
-
+
-
a0
+
a1
Système
de codage
-
a2
+
-
+
-
+
-
Un analyseur fournit une image sous forme d’un signal analogique amplifié et entaché d’un bruit
additif gaussien à moyenne nulle. Sans signal, on mesure un écart type du bruit  de 20 mV. Avec
le signal, on évalue un rapport signal-sur-bruit P/N de 40 dB.
9. Quelle est la puissance P du signal ?
Le signal analogique fourni par l’analyseur décrit les 500 lignes qui constituent l’image ; 800
points composent une ligne de l’image et l’analyseur débite une image par seconde. Le signal
analogique est échantillonné et codé à l’aide d’un CAN avec une plage de conversion M = 4 V.
10. Quelle doit être la fréquence minimum d’échantillonnage Femin ?
11. Quel doit être le nombre minimum de digits nmin de ce CAN, afin que le bruit de quantification
ne dégrade pas le signal ?
V. Convertisseur analogique numérique à rampe
On considère le montage de CAN de la figure suivante. En début de conversion, le condensateur
C est déchargé par l’interrupteur indiqué. On a Ve > 0.
début
conversion
Horloge
R
-
C
-
+
-Vref
Vs
Ve
AND
Compteur
+
Comparateur
a3 a2 a1 a0
N
2010-2011
4
Master M1 IST
UE 433
Université Paris-Sud 11 - ENS Cachan
1. Calculer puis représenter Vs(t) quand l’interrupteur en parallèle de C est un circuit ouvert.
2. A quel instant t1 l’interrupteur doit-il être rendu passant pour que la conversion de Ve en une
séquence de bits (a3a2a1a0) soit effectuée en sortie du compteur ?
3. Quel est l’inconvénient principal de cette structure ?
Afin de pallier le problème évoqué précédemment, on s’intéresse à un CAN à double rampe
schématisé ci-dessous :
Début
conversion
I3
Horloge
I1
Ve
Logique de
commande
R
I2
-Vref
-
C
-
+
Vs
AND
compteur
+
a3 a2 a1 a0
comparateur
N
Au début de la conversion, I1 est passant et I2 un circuit-ouvert. La charge aux bornes de C a été
annulée en rendant I3 passant puis cet interrupteur reste désactivé. A t = t1, après M périodes
d’horloge Tclk, I1 est bloqué et I2 rendu passant.
4. Calculer Vs(t) et le représenter. A quel instant t2 la conversion est-elle effectuée ?
5. En déduire l’intérêt de cette structure à double rampe.
2010-2011
5