multiplication des fractions
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Chapitre : Multiplication des fractions I Rappels 7 est le numérateur Voici une fraction : 7 5 5 est le dénominateur 7 = 7 : 5 = 1,4 5 écriture fractionnaire 17 0 =1 =0 17 17 Une fraction est un nombre écrit en écriture fractionnaire : 17 Exemples de fractions simples : = 17 1 écriture décimale Remarque : On ne peut pas diviser par zéro. II La multiplication Règle de multiplication des fractions : a, b, c et d étant des nombres, on a : 5 7 5 × 7 35 exemples : × = = 2 3 2×3 6 2 5 2 5×2 5×2 5× = × = = 3 1 3 1×3 3 2 7 × 2 14 = 7× = 3 3 3 1 3 7 1 × 3 × 7 21 × × = = 2 5 2 2 × 5 × 2 20 a c a×c × = b d b×d 4,3 2 4,3 × 2 8,6 × = = 1,1 2,6 1,1 × 2,6 2,86 on peut toujours rajouter un "1" pour bien voir la fraction. 4,1 4,1 × 8 40,8 ×8= = 7 7 7 III Simplification des fractions La règle 1 de multiplication peut s’appliquer dans les deux sens : 8×5 8 5 5 5 = × =1× = 6 6 8×6 8 6 On a simplifié par 8 le numérateur et le dénominateur. ● 8 ×5 5 Pour aller plus vite, on écrit : = ● 8 ×6 6 Plus généralement, on a la règle suivante. Règle de simplification de fraction : k, a et b étant des nombres, on a : On dit qu’on a simplifié la fraction par k. ● k ×a a = ● k ×b b a ) Application à la simplification des fractions 48 ● 6× 8 8 = = : on a simplifié la fraction par 6. 36 ● 6 ×6 6 48 8 ● 2 ×4 4 4 = = = on a simplifié la fraction par 2 et on ne peut plus simplifier . 36 6 ● 3 2 ×3 3 Définition : Une fraction est dite simplifiée ou irréductible si elle a été simplifiée au maximum. Pour simplifier une fraction, il est utile de connaître : Critères de divisibilités : – un nombre est divisible par 2 si il se termine par les chiffres 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8. Un nombre divisible par 2 est aussi appelé un nombre pair. (et impair sinon) – un nombre est divisible par 10 si il se termine par 0. – un nombre est divisible par 5 si il se termine par 0 ou 5. – un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exemple : 1245 est : – un nombre impair car il n’est pas divisible par 2. (Il ne se termine pas par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8) – n’est pas divisible par 10 car il ne se termine pas par 0. – est divisible par 5 car il se termine par 5. – est divisible par 3 car 1 + 2 + 4 + 5 = 12 et 12 est divisible par 3. Remarque : Les phrases suivantes ont la même signification : – 1 245 est divisible par 5. – 1 245 est un multiple de 5. – 5 divise 1 245. b ) Application à la multiplication des fractions ● ● 5 1 5 5 ×1 1 = : quand on a tout barré, il reste 1 car : = = ● 5×2 ● 5 ×2 2 5 ×2 2 2×● 3 ×● 4 2 = : on peut simplifier plusieurs nombres à la fois ● ● 3 × 4 ×5 5 7 312 18 7◙ 312× 18 18 × = = : on évite les calculs inutiles 5 7 312 5 5 × 7◙ 312 ● 7 15 5 7 ×● 3 ×5 × = = : on donne TOUJOURS les résultats écrits de façon irréductible. 12 14 ● ● 3 ×4×2× 7 8 c ) Application à la conversion des fractions La règle de simplification peut s’appliquer dans les deux sens 3 3×2 6 = = on a converti des quarts en huitièmes. 4 4×2 8 Remarque : On peut toujours écrire une fraction avec des nombres entiers. 7,34 7,34 × 100 734 = = 6,1 6,1 × 100 610 IV Fractions et grandeur 3 Les d’une classe de 28 élèves ont eu la moyenne au contrôle. 4 28 3 Le nombre d’élèves ayant eu la moyenne est de : × 3 = × 28 = 21 élèves 4 4 Règle : Calculer une fraction d’une grandeur revient à multiplier la fraction et la grandeur. 3 3 3 × 28 3 × ● 4 ×7 Exemple : de 28 élèves fait × 28 = = = 21 élèves 4 4 4 ● 4 Activité : Multiplication des fractions. Sur cette figure, le rectangle ABCD a été découpé. Que représentent les calculs suivants : 7×5 5 7 5 7 × 7×5 3×2 3 2 3 2 3×2 Quelle égalité peut-on donc écrire ? A AB = 7 cm B BC = 5 cm D C – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – Exercices pour préparer le contrôle (calculatrice interdite) Exercice 1 : Simplifier le plus possible les fractions suivantes. 49 48 18 320 A= B= C= D= 42 64 72 560 Exercice 2 : Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible. 3 9 15 32 11 1 1 2 3 36 56 A= × B= × C=5× D= ×8 E= × × F=7× × 4 40 3 3 2 3 5 49 24 7 5 Exercices 3 : réécris et complète pour avoir les égalités. 7 … … 9 … 81 56 … 7 42 … … A= = = B= = = C= = = D= = = 3 … 15 4 … … … … 8 50 … 5000 Exercices 4 : Ecris ces fractions avec des nombres sans virgule. 85,12 9 0,1 48,7 B= C= D= A= 10,1 7,9 142,04 1,37 Exercice 5 : Sophie achète une chemise qui est soldée de 20 %. A l’origine, la chemise coûte 15 €. 20 a ) Sachant que 20 % correspond à la fraction , calculer le montant de la réduction. 100 b ) Combien va payer Sophie ? – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – Devoir Exercice 1 : simplifier les fractions suivantes et donner les résultats en fraction irréductible. 2 4 48 ● 6× 8 8 4 × ● Exemple : = = = = 36 ● 2 ×3 3 6 ×6 6 ● 81 42 100 48 64 B= C= D= E= A= 45 35 70 56 72 Exercice 2 : effectuer les multiplications suivantes et donner les résultats en fraction irréductible. ● 7 15 7 × 15 7 ×● 3 ×5 5 Exemples : × = = = 12 14 12 × 14 ● 3 ×4×2×● 7 8 42 42 24 42 × 24 6 × ● 7 ×3×● 8 18 × 24 = × = = = = 18 56 1 1 56 ● 56 × 1 7 ×● 8 ×1 9 11 6 18 5 40 28 15 A= × B=8× C= × D= × E = × 16 4 9 8 30 3 49 32 24 Résultats des exercices pour préparer le contrôle Exercice 1 : Simplifier le plus possible les fractions suivantes. 48 3 18 1 320 4 49 7 = B= = C= = D= = A= 64 4 72 4 560 7 42 6 Exercice 2 : Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible. 8 3 9 27 B =15 × 32 = 3 11 55 1 1 2 3 1 F = 7 × 36 × 56 = 12 A= × = C=5× = D= ×8= E= × × = 3 3 4 40 49 24 7 5 35 3 3 2 3 5 5 Exercices 3 : réécris et complète pour avoir les égalités. 9 9 × 9 81 56 7 × 8 7 42 42 × 100 4200 7 7 × 5 35 A= = = B= = = C= = = D= = = 3 3 × 5 15 4 4 × 9 36 64 8 × 8 8 50 50 × 100 5000 Exercices 4 : Ecris ces fractions avec des nombres sans virgule. 85,12 8512 9 90 0,1 1 48,7 4870 A= = B= = C= = D= = 1,37 137 10,1 101 7,9 79 142,04 14204 Exercice 5 : Sophie achète une chemise qui est soldée de 20 %. A l’origine, la chemise coûte 15 €. 20 20 × 3 × 5 20 de 15 € fait × 15 = = 3 €. Le montant de la réduction est de 3 €. a ) 20% de 15 € fait 100 100 5 × 20 b ) Sophie va payer 15 – 3 = 12 €