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Les nombres parfaits
Frédéric Élie, septembre 2010
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supérieures, est INTERDITE. Seuls sont autorisés les extraits, pour exemple ou illustration, à la seule condition de mentionner
clairement l’auteur et la référence de l’article.
En arithmétique (théorie des nombres) l’étude des nombres parfaits ne présente pas
qu’un intérêt anecdotique. Elle offre l’occasion d’exploiter les propriétés sur les
diviseurs d’un nombre, les systèmes de numération (si importants par exemple en
informatique, cryptographie et codage des données), l’arithmétique modulaire (relations
de congruence et classes d’équivalence), etc. Malgré l’ancienneté de la découverte des
nombres parfaits (Euclide) des problèmes restent encore ouverts, notamment celui de
l’existence des nombres parfaits impairs (seuls sont connus aujourd’hui les nombres
parfaits pairs). Le présent article propose une présentation non exhaustive des nombres
parfaits ainsi que des autres objets de l’arithmétique auxquels ils sont liés (nombres de
Kaprekar, nombres de Mersenne, nombres à moyenne harmonique entière, etc.).
sommaire :
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invitation à l’infini
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définition des nombres parfaits
Définition d’un nombre parfait
Propriété fondamentale des nombres parfaits pairs (Euclide, Euler)
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les nombres parfaits pairs en tant que nombres de kaprekar
©Frédéric Élie, septembre 2010 - http://fred.elie.free.fr - page 1/25
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les nombres parfaits pairs en tant que nombres à moyenne harmonique entière
les nombres parfaits impairs existent-ils ?
ANNEXE 1 : Notions de nombres premiers et décomposition d’un entier en facteurs
premiers
ANNEXE 2 : Somme des n premiers nombres entiers
ANNEXE 3 : Démonstration de (4) : D(qr) = D(q)D(r)
ANNEXE 4 : Somme des diviseurs de km où k est un nombre premier
ANNEXE 5 : Nombres de Mersenne
ANNEXE 6 : Théorème de Gauss
ANNEXE 7 : Théorème de Bézout (ou de Bachet-Bézout)
BIBLIOGRAPHIE
invitation à l’infini
Considérons un nombre entier naturel, n. L’ensemble des entiers naturels est noté N = {0, 1, 2,
3, …., n, … }, n pouvant être aussi grand que l’on veut, le nombre d’éléments de N, ou Card(N),
est l’infini dénombrable noté non pas « ¥ » mais par la première lettre de l’alphabet hébraïque
indicé de zéro, « Aleph zéro » À0. La notation ¥ est quant à elle, réservée pour la valeur de n
aussi grande que l’on veut : n = ¥.
Pour un ensemble quelconque E, de cardinal Card(E), les parties, ou sous-ensembles, que l’on
peut former avec ses éléments, forment aussi un ensemble noté P(E). Par exemple avec un
ensemble E = {a, b, c}, constitué de 3 éléments a, b, c, on peut former les sous-ensembles { Æ}
(l’ensemble vide), {a}, {b}, {c}, {a, b], {a, c}, {b, c}, {a, b, c} (l’ensemble E lui-même). L’ensemble
de ces sous-ensembles de E est P(E) : il possède 8 éléments. On a donc : Card (P(E)) = 8 = 23.
Or Card(E) = 3, on a donc Card(P(E)) = 2Card(E). Ce résultat est en fait général.
Les mathématiciens Cantor et Dedekind ont étendu ce résultat aux ensembles infinis (comme
N), ce qui leur permit d’introduire de nouveaux êtres mathématiques, les nombres transfinis.
Ainsi l’ensemble des parties de N, c’est-à-dire l’ensemble P(N) des sous-ensembles que l’on
peut former avec les nombres entiers naturels, possède un nombre d’éléments égal à 2 À0. Ce
n’est pas un nombre ordinaire : il définit le premier infini non dénombrable, ou premier transfini,
noté À1 (Aleph 1), tandis que À0 est l’infini dénombrable. Qu’est-ce à dire ? N est dénombrable
parce que l’on peut compter successivement ses éléments aussi loin que possible. Plus
précisément on peut passer d’un nombre entier à un autre d’une manière bien déterminée en
un nombre fini d’opérations, comme le posent les axiomes de Zermelo. En revanche ce n’est
plus le cas dans l’ensemble des nombres réels R : il n’y a pas d’algorithme fini qui permette de
déterminer le successeur d’un nombre réel, comme par exemple p. Dans R il y a « infiniment
plus » d’éléments que dans N, même si N possède un nombre infini dénombrable d’éléments !
Autrement dit Card(R) > Card(N). On montre, en fait, que Card(R) = À1 = Card(P(N)) et que
c’est le premier transfini immédiatement supérieur à l’infini dénombrable À0 (il n’y a pas d’autre
transfini compris entre eux). On montre aussi (Dedekind) que n’importe quel nombre réel est
séparé d’un autre quelconque par un nombre transfini À1 de nombres réels. Par exemple dans
l’intervalle [0, 1] il y a « autant » d’infinité de nombres réels que sur tout R.
La démarche précédente se reconduit pour l’ensemble des parties de l’ensemble R : P(R). Le
nombre total des sous-ensembles de R définit le second transfini, lui-même supérieur au
premier transfini :
Card(P(R)) = 2Card(R) = 2À1 = À2
Le nombre de sous-ensembles de nombres réels que l’on peut former est infiniment plus grand
que l’ensemble des nombres réels R, donc infiniment de fois infiniment plus grand que
l’ensemble des nombres entiers. Et ainsi de suite...
Un des nombreux mérites de la théorie des transfinis est de montrer ce qui, entre deux
ensembles de nombres, peut être ou non mis en correspondance biunivoque, ou relation
bijective. Deux ensembles E et E’, finis ou non, sont en relation bijective si un élément
quelconque x’ de E’ peut être associé à un et un seul élément x de E, et chaque élément x de E
est associé à un et un seul élément x’ de E. Autrement dit un élément x de E peut être
représenté par un autre élément x’ de E’. On montre alors que :
 deux ensembles E et E’ en correspondance bijective ont même nombre d’éléments :
Card(E) = Card(E’).
 réciproquement, une condition nécessaire pour que deux ensembles soient en
correspondance bijective est qu’ils aient même nombre d’éléments.
Il en découle que les nombres entiers N ne peuvent pas être en correspondances bijectives
avec les nombres réels R : un nombre réel ne pourra jamais être représenté par un nombre
entier. En revanche l’ensemble des parties de N, P(N), peut être en correspondance bijective
avec R : un nombre réel peut être représenté par un sous-ensemble de nombres entiers
naturels, et si ce nombre réel est un nombre irrationnel (c’est-à-dire qui ne peut pas s’écrire
comme une fraction de nombres entiers) le sous-ensemble des entiers avec qui il est en
correspondance bijective est un ensemble infini (dénombrable).
Pour les mêmes raisons, tout intervalle de nombres réels, comme [0, 1], peut être en relation
bijective avec tout R (donc tout réel peut être représenté par un nombre compris dans cet
intervalle) puisque cet intervalle et R ont même nombre d’éléments (en l’occurrence À1). Ce
n’est évidemment pas le cas pour N : aucun de ses sous-ensembles ne peut être mis en
correspondance bijective avec tout l’ensemble N.
L’intérêt d’un tel résultat, tant sur le plan mathématique que sur les plans cognitifs et
informatiques, est dans la légitimité qu’il procure dans la recherche de la représentation d’un
nombre réel (le résultat d’une mesure par exemple) par un ensemble de nombres entiers d’une
population la plus grande possible (idéalement infinie dénombrable). Et comme les nombres
entiers se prêtent par nature aux processus algorithmiques dénombrables, on mesure combien
l’outil informatique permet une certaine performance dans l’observation des phénomènes et
les actions qui les exploitent, dès lors que, à chaque instant, on sache évaluer l’imprécision,
l’écart qu’il y a entre la représentation et les quantités réelles. Sans ce résultat, la
représentation du réel par un nombre fini de valeurs serait inopérante et aucune observation
quantitative, donc aucun savoir expérimental, ne serait ni possible ni autorisé dans notre
système cognitif humain !
Un exemple de représentation d’un nombre réel par un nombre fini d’entiers naturels est le
système de numération (binaire, octal, sexagésimal, etc.), et elle doit être utilisée en étant
toujours conscients des erreurs, des écarts, qu’il génère par rapport à la valeur réelle qu’il est
censé représenter (erreurs d’arrondis, de troncature, forme de la convergence numérique, etc.).
Réciproquement, on peut se demander, à la lumière de la théorie des nombres transfinis, si un
sous-ensemble de nombres entiers (donc un élément de P(N)) correspond bijectivement à un
nombre réel, puisque Card(P(N)) = Card(R) ?
Des sous-ensembles de N il y en a plein, une infinité non dénombrable même, comme on l’a vu
plus haut. Des branches entières de l’arithmétique en étudient des types différents : les
nombres premiers, les nombres de Kaprekar, nombres de Mersenne, etc., etc., et les nombres
parfaits que nous allons maintenant présenter.
définition des nombres parfaits
Définition d’un nombre parfait
Soit un nombre entier non nul positif : n > 0.
On désigne par s(n) la somme des diviseurs stricts de n, c’est-à-dire de tous ses sous-multiples
autres que lui-même. Ces sous-multiples peuvent néanmoins être multiples l’un de l’autre,
autrement dit on ne considère pas uniquement les diviseurs premiers de n. On appelle parties
aliquotes entières de n ces sous-multiples et leur somme est s(n).
Exemple : n = 28 est divisible par 1, 2, 4, 7, 14 ensemble qui forme ses parties aliquotes. On
observe que parmi ses diviseurs, certains sont multiples l’un de l’autre ; il s’agit de :
 4 qui a pour diviseurs 2 et 1,
 14 qui a pour diviseurs 2, 7 et 1
tandis que 1, 2, 7 n’ont aucun diviseur strict : ils sont des nombres premiers, et en la
circonstance ce sont les diviseurs premiers de 28. Ainsi 28 se décompose comme le produit de
puissances de nombres premiers :
28 = 1 x 22 x 7
et cette décomposition est unique. Ce résultat est général (voir Annexe 1).
On dit qu’un nombre entier positif est un nombre parfait s’il est égal à la somme de ses parties
aliquotes, autrement dit :
Dans le cas de n = 28, on a n = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = s(28).
n = 28 est donc un nombre parfait.
En décomposant ses diviseurs non premiers, à savoir 4 et 14, la somme précédente s’écrit
encore : 28 = 1 + 2 + 2 2 + 7 + 2 x 7. En remarquant que 7 = 2 3 – 1, l’expression précédente
devient :
28 = 2 + 22 + 23 + 2 x (23 – 1)
en cherchant à factoriser, on cherche un facteur A tel que cette expression s’écrive : 2 + 22 + 23
+ 2 x (23 – 1) = A x (23 – 1), et on obtient A = 2 2. Ainsi 28 se décompose comme il se doit
suivant :
28 = 22 x (23 – 1) = 4 x 7
Dans cette décomposition, un nombre premier de la forme (2 a – 1) apparaît.
Tout nombre de cette forme, avec a entier non nul, est par définition un nombre de Mersenne
Ma = 2a – 1 (voir Annexe 5).
Dans l’exemple de n = 28, l’exposant est a = 3, donc 7 = M 3 et en remarquant que 22 = (M3 +
1)/2 on voit que :
où le nombre de Mersenne M3 est un nombre premier.
En outre, on sait que la somme des N premiers nombres entiers, S N = 1 + 2 + ... + (N – 1) + N
est égale à SN = N (N + 1)/2 (voir Annexe 2). L’expression précédente montre alors que 28 est
la somme des M3 = 7 premiers nombres entiers (on l’on a ici N = M3) :
Ce qui vient d’être constaté dans cet exemple correspond en fait à un résultat général :
Un nombre parfait pair est obtenu par la multiplication d’un nombre de Mersenne premier, M P et
de 2P-1 :
Cette propriété a été conjecturée par Euclide (3ème siècle avant notre ère), plus précisément
Euclide a démontré la condition suffisante : pour qu’un nombre pair soit parfait il suffit qu’il
vérifie (3). Deux mille ans plus tard, Leonhard Euler a démontré la condition nécessaire : tout
nombre parfait pair vérifie (3).
Ce sont ces deux conditions, nécessaire et suffisante, que nous allons démontrer dans le
paragraphe suivant.
Propriété fondamentale des nombres parfaits pairs (Euclide, Euler)
Condition suffisante de (3) : énoncé d’Euclide
PROPOSITION 1 : Soit P un nombre entier strictement positif (P > 0), alors le nombre n =
2P-1(2P – 1) est un nombre parfait.
DEMONSTRATION :
Désignons par D(n) la somme des diviseurs de n y compris n lui-même. Il ne doit pas être
confondu avec la somme de ses parties aliquotes s(n), et l’on a bien entendu :
D(n) = s(n) + n
D’autre part on sait que lorsque deux nombres q et r sont premiers entre eux, la somme des
diviseurs de leur produit est le produit de leurs sommes de diviseurs :
D(qr) = D(q)D(r)
(4)
(voir démonstration de (4) en Annexe 3). Appliquons (4) au produit n = 2 P-1(2P – 1) :
D(n) = D(2P-1)D(2P – 1)
Or (2P – 1) est premier par hypothèse. Or un nombre premier k a pour seuls diviseurs 1 et luimême, il s’ensuit : D(k) = 1 + k. Par conséquent :
D(2P – 1) = 1 + (2P – 1) = 2P
Quant à D(2P-1) on a besoin de la propriété suivante, dont la démonstration est donnée en
Annexe 4 :
Pour tout nombre premier k, et pour un nombre entier m > 0 quelconque, la somme des
diviseurs de km est égale à :
Appliquons (5) à k = 2 (2 est un nombre premier) et m = P – 1, on obtient :
D(2P-1) = 2P – 1
(6)
Finalement :
D(n) = 2P(2P – 1) = 2 x 2P-1(2P – 1) = 2n
Puisque D(n) = s(n) + n, on déduit que : s(n) = D(n) – n = 2n – n = n, autrement dit n est un
nombre parfait – CQFD
Condition nécessaire de (3) : énoncé d’Euler
Voir aussi [Pro] (les lettres entre crochets renvoient à la bibliographie classée par ordre
alphabétique).
PROPOSITION 2 : Tout nombre parfait pair est le produit n = M P(MP + 1)/2 = 2P-1(2P – 1),
où MP est un nombre de Mersenne premier.
démonstration :
Soit n un nombre parfait pair, il peut toujours s’écrire comme le produit suivant :
où P est un entier quelconque P > 1, et q un entier impair. Comme 2 P-1 est pair et q est impair,
ils sont premiers entre eux. D’après la relation (4) démontrée en Annexe 3, il s’ensuit que la
somme des diviseurs de n (y compris lui-même) D(n) est égale au produit des sommes des
diviseurs de chacun des deux termes :
Or d’après la relation (6) : D(2P-1) = 2P – 1. Donc :
Par hypothèse, n est un nombre parfait, il est donc égal à la somme de ses diviseurs :
ce qui montre que (2P – 1) divise q : il existe un entier Q > 1 tel que q = (2 P – 1)Q.
Cherchons alors si (2P – 1) est un nombre premier.
Parmi les diviseurs de q on trouve : q lui-même, Q, (2P – 1), 1, et d’autres termes
éventuellement non nuls. Par conséquent :
D(q) = q + Q + (2P – 1) + 1 + autres termes
on a donc :
D(q) > q + Q
Or de la relation q = (2P – 1)Q on tire :
q + Q = (2P – 1)Q + Q = 2PQ
L’inégalité précédente devient alors :
D(q) > 2PQ
On en déduit que :
(2P – 1)D(q) > (2P – 1)2PQ = 2Pq = (2P – 1)D(q) d’après la relation établie plus haut
On ne peut donc pas avoir Q > 1, donc on a Q = 1, c’est-à-dire :
q = 2P – 1
et donc :
n = 2P-1 (2P – 1)
Il reste à démontrer que le nombre de Mersenne M P = 2P – 1 est un nombre premier. Pour cela
on raisonne par l’absurde.
Si MP = (2P – 1) n’est pas premier alors la remarque de l’Annexe 3 entraîne que D(MP) > MP +
1, soit :
D(2P – 1) > (2P – 1) + 1 = 2P
Donc si MP n’est pas premier il vient :
D(n) = D(2P-1)D(2P – 1) > 2P D(2P-1)
Comme D(2P-1) = 2P – 1, il vient :
D(n) > 2P (2P – 1) = 2n
D(n) > 2n signifie que n n’est pas un nombre parfait, ce qui contredit l’hypothèse. Donc M P =
(2P – 1) est un nombre de Mersenne premier.
En conclusion : Si n est un nombre parfait pair, alors il s’écrit n = 2 P-1 MP où MP = (2P – 1) est
un nombre de Mersenne premier. – CQFD.
Le théorème d’Euclide et le théorème d’Euler pour les nombres parfaits pairs impliquent que la
recherche de ces nombres se ramène à celle des nombres de Mersenne premiers (voir Annexe
5). Cette recherche fait l’objet de projets à l’échelle mondial vue l’importance des nombres de
Mersenne premiers, et donc des nombres parfaits pairs, en technique de cryptographie (c’est
une des raisons de l’engouement des recherches en Arithmétique). Mais ceci est une autre
histoire !...
La liste des nombres parfaits pairs connus à ce jour est donc directement liée à celle des
nombres de Mersenne premiers donnée dans le tableau A5.1 de l’Annexe 5, où il suffit
d’appliquer la relation (3).
les nombres parfaits pairs en tant que nombres de kaprekar
Un nombre de Kaprekar (inventé par le mathématicien indien D. R. Kaprekar, réf. [Kap]) est un
nombre qui, dans une base de numération donnée, a son carré qui peut se décomposer en
deux parties à droite et à gauche, non forcément de longueur égale, dont la somme donne la
valeur de ce nombre dans cette même base.
Exemples :
 En base 10 le nombre 703 est de Kaprekar. En effet 703² = 494 209 et l’on a bien 494 +
209 = 703.
 En base 2 le nombre parfait 28 s’écrit : 28 = 20a0 + 21a1 + 22a2 + 23a3 + 24a4 avec a0 =
0, a1 = 0, a2 = a3 = a4 = 1, donc 28 = 11100[2]. Son carré vaut 28² = 784 ce qui donne
dans la base de numération 2 : (20a0 + 21a1 + 22a2 + 23a3 + 24a4)² = 29 + 28 + 24 =
1100010000[2]. Les parties gauche et droite de longueurs différentes sont ici 1100 et
010000 dont la somme est 1100 + 010000 = 11100[2].
 En base 10 le nombre 4879 est un nombre de Kaprekar : 4879² = 23804641 dont les
parties gauche et droite de longueurs différentes 238 et 04641 donnent la somme 238 +
04641 = 4879.
définition 1 (n-nombre de Kaprekar en base de numération B) : Un nombre entier m est
un n-nombre de Kaprekar (n entier non nul) dans la base de numération B s’il existe un
couple de nombres entiers (x, y) tels que :
 x quelconque,
 0<y<Bn
 m² = xB n+ y
 m=x+y
On montre que les n-nombres de Kaprekar en base B sont des nombres de Kaprekar. Par une
méthode de recherche due à M. Charosh (réf. [Cha]) la liste des premiers n-nombres de
Kaprekar en base 10 est établie (tableau 1 ci-après) :
m
m²
partie
gauche de
m² : x
partie
droite de
m² : y
x+y=m
x10 n + y = m²
n
1
1
0
1
0+1=1
0 x 10 + 1 = 1
1
9
81
8
1
8+1=9
8 x 10 + 1 = 1
1
45
2025
20
25
20 + 25 = 45
20 x 10² +25 = 2025
2
55
3025
30
25
30 + 25 = 55
30 x 10² + 25 = 3025 2
99
9801
98
01
98 + 01 = 99
98 x 10² + 1 = 9801
2
297
88209
88
209
88 + 209 = 297
88 x 103 + 209 =
88209
3
703
494209
494
209
494 + 209 =
703
494 x 103 + 209 =
494209
3
999
998001
998
001
998 + 001 =
999
998 x 103 + 1 = 999
3
2223
4941729
494
1729
494 + 1729 =
2223
494 x 104 + 1729 =
4941729
4
2728
7441984
744
1984
744 + 1984 =
2728
744 x 104 + 1984 =
7441984
4
4879
23804641
238
04641
238 + 04641 =
4879
238 x 105 + 4641 =
23804641
5
4950
24502500
2450
2500
2450 + 2500 = 2450 x 104 + 2500 =
4950
24502500
4
5050
25502500
2550
2500
2550 + 2500 = 2550 x 104 + 2500 =
5050
25502500
4
5292
28005264
28
005264
28 + 005264 =
5292
28 x 106 + 5264 =
28005264
6
Les n-nombres de Kaprekar en base 10 suivants sont (liste non exhaustive) :
7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149,
181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830,
499500, 500500, 533170, .....
à titre d’exercice on déterminera pour chacun d’eux x, y et n, comme cela est fait pour
les premières valeurs ci-dessus. Bon courage !
Tableau 1 – Liste des premiers n-nombres de Kaprekar en base 10.
Noter que n n’est pas une fonction croissante de m
Dans l’exemple mentionné plus haut, on a vu que le nombre parfait 28 est un nombre de
Kaprekar en base 2. En fait, c’est un résultat général pour tous les nombres parfaits pairs qu’a
démontré Douglas Iannucci en 2000 dans son article sur les nombres de Kaprekar (réf. [Ian]) :
Tous les nombres parfaits pairs sont des nombres de Kaprekar en base 2, et tous les
nombres de Kaprekar en base 2 sont les nombres parfaits pairs.
D. Iannucci démontre également :
 L’ensemble des n-nombres de Kaprekar de base 10 et l’ensemble des diviseurs unitaires
de (10 n – 1) sont en relation bijective.
 Si m est un n-nombre de Kaprekar en base 10, alors (10 n – m) est aussi un n-nombre de
Kaprekar en base 10.
Exemples :
 n = 2 : m = 102 – 1 = 99 est un 2-nombre de Kaprekar (voir tableau 1), il a pour diviseurs
unitaires 9 et 11 car 99 = 9 x 11. Le plus petit multiple de 9 dont la division par 11 a pour
reste 1 est 45, en effet 45 = 4 x 11 + 1 (on dit que 45 º 1 (mod 11)). De même, le plus
petit multiple de 11 dont la division par 9 a pour reste 1 est 55 (55 = 6 x 9 + 1). Or le
tableau 1 montre que 45 et 55 sont des n-nombres de Kaprekar en base 10, avec n = 2.
On a : 45 + 55 = 100 = m +1.
 n = 3 : m = 103 – 1 = 999 est un 3-nombre de Kaprekar en base 10. Ses diviseurs
unitaires sont 27 et 37 : m = 999 = 27 x 37. Le plus petit multiple de 27 dont la division
par 37 a pour reste 1 est 297 (297 º 1 mod 37, car 297 = 8 x 37 + 1) et le plus petit
multiple de 37 dont la division par 27 a pour reste 1 est 703 (703 = 26 x 27 + 1). On voit
que 297 et 703 sont aussi des 3-nombres de Kaprekar en base 10 et que leur somme
donne aussi m + 1 = 1000 : 297 + 703 = 103.
les nombres parfaits pairs en tant que nombres à moyenne harmonique
entière
Les nombres entiers à moyenne harmonique entière ont été découverts en 1948 par Ore (réf.
[Ore]) qui en a donné la première définition :
définition 2 : Soit n un nombre entier positif. Ses diviseurs sont d k y compris 1 et n luimême, ils sont au nombre de Dn. La moyenne harmonique de n est définie par :
Si m(n) est un nombre entier, on dit que n est à moyenne harmonique entière.
Le nombre des diviseurs de n, Dn est donné par la relation (A1.2) en Annexe 1.
Exemple :
n = 28 se décompose en facteurs premiers selon : 28 = 22 x 7, donc d’après (A1.2) il possède
D28 = (2 + 1)(1 + 1) = 6 diviseurs qui sont : 1, 2, 4, 7, 14, 28. Sa moyenne harmonique est
donc :
m(28) = 6 / (1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28) = 3
qui est entière. Le nombre parfait pair 28 est à moyenne harmonique entière. C’est un résultat
général pour tous les nombres parfaits pairs qu’a démontré Ore :
PROPOSITION 3 (sur la moyenne harmonique des nombres parfaits pairs) : Tous les
nombres parfaits pairs sont à moyenne harmonique entière.
Cette proposition est la conséquence directe des deux propositions suivantes :
PROPOSITION 4 : Le nombre de diviseurs Dn d’un nombre parfait pair n est pair.
La démonstration de la proposition 4 est immédiate. Un nombre parfait s’écrit comme le produit
d’un nombre de Mersenne premier M P et de 2P-1. Comme ces deux nombres sont premiers
entre la relation (4) donne :
Or MP étant premier le nombre de ses diviseurs est égal à 2 : DMP = 2, donc Dn est pair. –
CQFD.
PROPOSITION 5 : La somme des inverses des diviseurs d’un nombre parfait pair
quelconque est toujours égale à 2.
Autrement dit, si dk sont les diviseurs de n on a toujours :
Cette proposition est assez délicate à démontrer (voir [Mus]).
Des deux propositions 4 et 5 il résulte que : m(n) = Dn /2 avec Dn = 2q puisqu’il est pair (q est
un entier), donc m(n) = q entier. C’est la proposition 3.
Liste des premiers nombres à moyenne harmonique entière :
1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, ...
Exemple pour quelques nombres parfaits :
 n = 6 : on a n = 2 x 3 donc D 6 = (1 + 1)(1 + 1) = 4 diviseurs qui sont 1, 2, 3, 6. Moyenne
harmonique m(6) = 4/(1 + 1/2 + 1/3 + 1/6) = 2.
 n = 28 : exemple déjà vu plus haut, m(28) = 2.
 n = 496 : décomposition n = 24 x 31 donc D496 = (4 + 1)(1 + 1) = 10 diviseurs qui sont 1,
2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496. Moyenne harmonique :
m(496) = 10/(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/31 + 1/62 + 1/124 + 1/248 + 1/496) = 10/5 = 2
les nombres parfaits impairs existent-ils ?
Tout ce qui a été dit jusqu’à présent concerne les nombres parfaits pairs, les théorèmes
d’Euclide et d’Euler permettent de les caractériser. Pour ce qui concerne les nombres parfaits
impairs, à ce jour aucun d’eux n’a été observé. Cela ne veut pas dire qu’ils n’existent pas, mais
des travaux ont permis d’établir que s’ils existent ils ont ou ils n’ont pas certaines propriétés.
Pour commencer, la propriété qu’a un nombre parfait pair d’être à moyenne harmonique entière
(théorème d’Ore), jointe à l’observation jusqu’à présent que hormis 1 aucun nombre impair ne
semble être à moyenne harmonique entière, suggère de poser la conjecture suivante (voir
[Mil]):
Conjecture d’Ore : Hormis 1 il n’existe pas de nombre entier impair qui soit à moyenne
harmonique entière. Si cette conjecture est démontrée, alors la preuve que les nombres
parfaits impairs n’existent pas sera établie.
Voilà un excellent sujet de recherche !
Il a été établi que les nombres impairs à moyenne harmonique entière sont des objets rares,
s’ils existent :
 W. H. Mills (réf. [Mil]) a montré que s’ils existent, les nombres impairs, hormis 1, à
moyenne harmonique entière ont des facteurs premiers nécessairement plus grands que
107. De tels nombres, s’ils existent, sont donc très grands.
 La rareté des nombres impairs à moyenne harmonique est quant à elle une
conséquence du théorème établi par Y. Chishiki, T. Goto et Y. Ohno (réf. [Chi]) : pour
tout entier M, il existe au plus un nombre fini de nombres impairs à moyenne harmonique
entière dont tous les facteurs premiers (à un nombre fixé près) sont bornés par M. En
conséquence on a plus de « chance » de trouver de tels nombres parmi les grands
nombres, ce qui est cohérent avec le théorème de Mills.
Il a également été établi que les nombres parfaits impairs, s’ils existent, doivent être très
grands : n > 10300, voire même n > 10500 (réf. [Odd]).
Autres propriétés (non exhaustives) que doivent posséder les nombres parfaits impairs s’ils
existent :
 Le plus petit facteur premier d’un nombre parfait impair n doit être inférieur à (2k + 8)/3,
où k est le nombre de facteurs premiers dont les exposants sont pairs dans la
décomposition de n :
où r et les pm sont premiers, et avec r º S modulo 4 (i.e. : la division de r par 4 a pour
reste son exposant S) (théorème de Grün, 1952) ;
 Les am qui interviennent dans la décomposition ci-dessus ne peuvent pas être congrus à
1 modulo 3, autrement dit la division de tout a m par 3 ne peut pas avoir pour reste 1
(théorème de McDaniel, 1970).
 n doit vérifier :
où les k sont définis précédemment (théorème de Nielsen, 2003).
 Le second plus grand diviseur premier de n est supérieur à 10000 et le troisième à 100
(D. Iannucci, 1999, 2000).
 Il y a au moins 75 diviseurs premiers de n dont au moins 9 diviseurs premiers différents.
Si n n’est pas divisible par 3 alors n possède au moins 12 diviseurs premiers différents
(Nielsen 2006, Kevin Hare 2005).
 Si tous les am sont inférieurs ou égaux à 2 alors le plus petit diviseur premier de n est
supérieur ou égal à 739 (Cohen 1987), et S º 1 (modulo 12) ou S º 9 (modulo 12)
(McDaniel 1972).
 Si un nombre parfait impair existe il est de la forme :
où p est un nombre premier > 2, N un entier éventuellement nul, q un nombre impair
premier avec 4p + 1 (cf. [Lio]).
ANNEXE 1
Notions de nombres premiers et décomposition d’un entier en facteurs
premiers
Par définition un nombre entier plus grand que 1 est dit premier s’il a pour seuls diviseurs 1 et
lui-même.
PROPOSITION A1.1: Tout nombre entier n > 1 est divisible par un nombre premier p.
DEMONSTRATION : On note Dn l’ensemble des diviseurs de n. Comme il contient au moins n
lui-même et 1, l’ensemble Dn – {1} n’est pas vide : il possède alors un élément minimal noté m.
Si un nombre entier q différent de 1 divise m, alors il divise aussi n puisque m est un diviseur de
n. Dans ce cas l’élément minimal est q et non m sauf si q = m. L’élément minimal de l’ensemble
des diviseurs de n, différents de 1, est donc un nombre premier – CQFD.
théorème d’euclide (infinité de l’ensemble des nombres premiers) : L’ensemble des
nombres premiers est infini dénombrable.
démonstration : Supposons que l’ensemble des nombres premiers soir fini. Il existe alors le
plus grand nombre premier, noté P. Le nombre P ! + 1 comme tout nombre entier est divisible
par un nombre premier q, d’après la proposition (A1.1) ci-dessus. Mais q ne peut pas diviser P !
= P(P-1)(P-2)x...x3x2x1 car alors il serait égal à l’un des termes de ce factoriel. Il s’ensuit que q
> P et donc P n’est pas le plus grand nombre premier. Il en résulte que l’ensemble des nombres
premiers ne peut pas être fini. – CQFD.
Une façon équivalente de démontrer le théorème d’Euclide consiste à considérer la suite des n
nombres premiers p1, p2, ..., pn rangés dans l’ordre croissant. On note N leur produit : N =
p1p2...pn. Chacun des nombres premiers de la suite est évidemment un diviseur de N, mais pas
de N+1. Or d’après la proposition (A1.1), N+1 est divisible par au moins un nombre premier p,
lequel n’appartient pas à la suite. Donc il peut exister une suite de nombres premiers aussi
grande que l’on veut.
PROPOSITION A1.2 (théorème fondamental de l’arithmétique): Tout nombre entier
naturel n ³ 2 se décompose en un produit fini de nombres premiers, et cette
décomposition est unique.
démonstration : On raisonne par récurrence. Le nombre 2 est lui-même premier donc vérifie la
proposition (A1.2). On suppose que celle-ci est vérifiée pour un nombre entier quelconque n.
Qu’en est-il de son suivant n+1 ? D’après la proposition (A1.1), n+1 est divisible par un nombre
premier noté p : il existe donc un nombre entier q tel que
n+1 = qp
on a donc q < n, par conséquent q est décomposé en facteurs premiers par hypothèse de
récurrence (celle-ci étant appliquée à tout nombre entier inférieur ou égal à n). Donc n+1 est
décomposé aussi en produit de facteurs premiers.
Démontrons maintenant l’unicité de la décomposition.
Pour cela nous aurons besoin du théorème de Gauss (voir Annexe 6) : Si deux nombres a et
b sont premiers entre eux, et si a est un diviseur de bq, où q est un entier naturel, alors a est un
diviseur de q.
Supposons que la décomposition d’un nombre entier n en facteurs premiers n’est pas unique,
et qu’il en existe deux : l’une avec L termes, l’autre avec M termes. On aurait donc :
où les pk et qj sont des nombres premiers. Considérons un des diviseurs premiers de n de la
première décomposition, par exemple p k, et un des diviseurs premiers de n de la seconde
décomposition, par exemple q j. Ces diviseurs sont évidemment premiers entre eux, et n se
réécrit :
n = pkN = qjN’
avec :
D’après le théorème de Gauss, pk est un diviseur de N’, donc il existe P’ tel que N’ = p k.P’. On a
donc : pk N = qj pk P’, soit en éliminant pk : N = qj P’.
On réapplique à cette dernière expression la démarche précédente : on met en facteur l’un des
pk qui interviennent dans N, ce qui donne N = p k m = qj P’, cette fois N joue le rôle de n, P’ celui
de N’. On applique de nouveau le théorème de Gauss : pk divise P’, donc il existe m’ tel que P’
= pk m’, d’où N = pk m = qj pk m’ soit encore m = qj m’.
Et on recommence (au total cela fait L itérations), jusqu’au moment où le dernier facteur dans N
sera un facteur premier seul m = p k : en conservant les mêmes notations, on aura donc p k = qj
m’. Mais comme pk est premier, m’ ne peut pas être un produit, donc obligatoirement m’ = 1,
donc qj = pk.
Cette égalité montre qu’il y a autant de facteurs p que de facteurs q, donc L = M. L’égalité des
exposants rk et sj en découle immédiatement. –CQFD
Autre démonstration de la proposition (A1.2) :
Il existe plusieurs façons de démontrer le théorème fondamental de l’arithmétique. En voici une
autre qui utilise la « descente infinie ».
Soit m le plus petit entier qui puisse se décomposer en au moins deux produits différents de
nombres premiers :
m = p1 x p2 x...x pN = q1 x q2 x...x qL
Il n’y a pas de facteur commun entre ces deux produits, sinon m ne serait pas le plus petit
nombre entier qui vérifie ces décompositions.
Il est toujours possible de choisir p 1 inférieur à tout facteur q qui intervient dans la seconde
décomposition : p1 < qj (1 £ j £ L). On peut donc procéder à la division euclidienne de q 1 par p1
et comme ces deux nombres sont premiers entre eux par hypothèse, le reste de cette division r
n’est jamais nul :
q1 = p1 Q + r
Introduisons cette expression dans la seconde décomposition de m, il vient :
p1 x...x pN = p1 x Q x q2 x...x qL + r x q2 x...x qL
donc p1 est un diviseur du membre de gauche de l’égalité et du premier terme du membre de
droite. Il s’ensuit qu’il divise aussi le second terme D du membre de droite, c’est-à-dire p 1 divise
D = r x q2 x...x qL.
Or r < p1 < q1 donc D < m et se décompose de manière unique en facteurs de nombres
premiers. Comme p1 divise D, il devrait aussi être un de ses facteurs premiers, alors qu’il est
supposé différent des q. Il n’est pas non plus facteur premier de r puisque r < p 1. Donc
l’hypothèse de m qui admet deux décompositions différentes en facteurs premiers est
contradictoire et doit être rejetée. La décomposition en facteurs premiers d’un nombre entier est
donc unique.
NOMBRE DE DIVISEURS D’UN NOMBRE ENTIER :
Une conséquence du théorème fondamental de l’arithmétique est le calcul du nombre des
diviseurs Dn d’un nombre entier naturel n. Si celui-ci se décompose en facteurs premiers selon :
alors le nombre de ses diviseurs est :
ANNEXE 2
Somme des n premiers nombres entiers
Soit Sn la somme des n premiers nombres entiers :
Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n
Pour calculer cette valeur il y a une astuce très simple qui consiste à écrire la somme dans
l’ordre croissant et dans l’ordre décroissant des termes. En additionnant chacun des deux
termes en vis-à-vis on s’aperçoit que le résultat donne toujours (n+1). Or il y a n termes, donc
en faisant la somme de ces n additions on obtient n(n+1) et cette valeur est égale à deux fois
Sn (puisque l’on a écrit deux fois la somme dans un sens et dans l’autre).
On a donc :
2Sn = n(n + 1)
soit :
1
2
...
k
...
n
Sn
n
n-1
...
n – (k – 1)
...
1
Sn
n+1
n+1
...
n+1
...
n+1
2Sn
n termes (n + 1)
2Sn =
n(n+1)
ANNEXE 3
Démonstration de (4) : D(qr) = D(q)D(r)
Appliquons aux nombres entiers q et r le théorème fondamental de l’arithmétique (cf. Annexe
1) :
où les qk et les rj sont des nombres premiers. Supposons q et r premiers entre eux, cela signifie
que les gk sont tous différents des rj.
Pour extraire un diviseur de q on peut choisir une puissance de q 1 de (Q1 + 1) manières, une
puissance de q2 de (Q2 + 1) manières, ..., une puissance de q N de (QN + 1) manières. Il y a
donc pour q un nombre de diviseurs possibles égal à :
De même pour r on a :
La somme des diviseurs de q est donc :
qui s’écrit :
De même :
Si q et r sont premiers entre eux leur produit qr contient (N + M) termes différents de nombres
premiers pi tels que :
où l’on a :
pour 1 £ i £ N : pi = qi et Pi = Qi
pour N+1 £ i £ N+M : pi = rj et Pi = Rj avec 1 £ j £ M.
En appliquant (A3.1) et (A3.2) à p = qr, on obtient immédiatement :
Remarque : une conséquence de (A3.1) est que si N est un nombre premier, le nombre de ses
diviseurs se réduit à DN = 1 + 1 = 2 (N a comme diviseurs 1 et lui-même), et la somme de ses
diviseurs est D(N) = N + 1 (ses seuls diviseurs étant 1 et N).
Exemple (exercice) : trouver le nombre et la somme des diviseurs de q = 144.
Réponse : q = 144 = 12² = (2 x 3 x 2)² = 2 4 x 3² qui est sa décomposition en facteurs premiers.
Donc D144 = (4 + 1)(2 + 1) = 15 diviseurs et la somme des diviseurs de 144 est :
D(144) = (1 + 2 + 22 + 23 + 24) x (1 + 3 + 3²) = 31 x 13 = 403
ou encore : D(144) = (24+1 – 1)/(2 – 1) x (32+1 – 1)/(3 – 1) = 31 x 26 / 2 = 403
Si r = 35, qui est premier avec q = 144, on a r = 5 x 7 (décomposition en facteurs premiers 5 et
7), d’où D35 = (1 + 1) x (1 + 1) = 4 diviseurs (1, 5, 7, et 35) et :
D(35) = (51+1 – 1)/(5 – 1) x (71+1 – 1)/(7-1) = 24/4 x 48/6 = 6 x 8 = 48 = 1 + 5 + 7 + 35
Le produit p = qr = 144 x 35 = 5040 possède D p = D144 D35 = 15 x 4 = 60 diviseurs et la somme
de ses diviseurs est D(p) = D(144)D(35) = 403 x 48 = 19344.
ANNEXE 4
Somme des diviseurs de km où k est un nombre premier
Si k est un nombre premier, le nombre q = k m est aussi sa propre factorisation en facteurs
premiers. D’après la relation (A3.1) de l’Annexe 3, il possède Dq = (m + 1) diviseurs :
Et d’après la relation (A3.2) la somme de ses diviseurs devient :
ANNEXE 5
Nombres de Mersenne
Voir aussi [Lar], [Wik1], [Cal], [Wei], [Jan].
Un nombre de Mersenne est un nombre entier de la forme :
Mn = 2n – 1 (A5.1)
où n est un entier naturel > 0.
théorème a5.1 : soient deux nombres de Mersenne M n = 2n – 1 et Mm = 2m – 1. Si m est
un diviseur de n alors Mm est un diviseur de Mn.
démonstration : Si m divise n alors il existe un entier D tel que n = Dm. En remplaçant dans
(A5.1) on a :
Considérons la suite géométrique de raison k : uN = kuN-1, dont le premier terme est choisi u 0 =
1. La somme des N premiers termes de cette suite est :
Multiplions SN par (k – 1), il vient :
(k – 1)SN = kSN – SN = k + k² + ... + kN-1 + kN – 1 – k – k² - ... – kN-1 = kN – 1
d’où:
SN est un nombre entier, puisqu’il est la somme de nombres entiers, bien qu’il se présente sous
forme fractionnaire (A5.2). En remplaçant dans (A5.2) N par Dm et k par k = 2 m, on s’aperçoit
que Mn devient :
où SD est la somme des D premiers termes de la suite géométrique de raison 2 m (c’est donc un
nombre entier) et M m le nombre de Mersenne (2m – 1). (A5.3) montre que M m est bien un
diviseur de Mn. - CQFD
théorème a5.2 : Si un nombre de Mersenne Mn = 2n-1 est premier alors n est aussi un
nombre premier.
démonstration : Du théorème (A5.1) on déduit que si M n est premier, il n’a pas de diviseur M m,
donc que n n’a pas de diviseur m, autrement dit n est premier. – CQFD
La réciproque du théorème (A5.2) est fausse : on peut avoir n premier sans que M n soit
premier. Pour s’en convaincre il suffit de trouver des contre-exemples, par exemple n = 11 qui
est un nombre premier donne M11 = 211 – 1 = 2047 = 23 x 89 n’est pas premier.
théorème a5.3 : Si un nombre an – 1 est premier (avec a et n entiers ³ 2) alors n est
premier et a = 2.
démonstration : On raisonne par l’absurde. Si a n – 1 est premier mais que n n’est pas premier,
on aurait n = mD et d’après le théorème (A5.1) on aurait M n = SDMm donc Mn ne serait pas
premier. Si en particulier a = 2 on aurait donc a n – 1 non premier ce qui contredit l’hypothèse.
Donc n doit être un nombre premier.
D’autre part : an – 1 = (a – 1)Sn est premier si (a – 1) = 1 donc si a = 2. – CQFD
D’après (A5.2), avec k = 2, les nombres de Mersenne s’écrivent :
Mn = (k – 1) Sn = Sn = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n-1 = 2n – 1
(A5.4)
La relation (A5.4) est intéressante en codage binaire d’un nombre : un nombre de Mersenne ne
s’écrit qu’avec des 1 en base 2, puisque :
S1 = 1 = 1(2)
S2 = 1 + 2 = 3 = 11(2)
S3 = 1 + 2 + 22 = 7 = 1 + 10 + 100 (2) = 111(2)
...........................
2
3
n-1
Sn = 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 1 + 10 + 100 + 1000 +...+ 10n-1 = 111...111(2) (n chiffres 1)
où (2) signifie “en base 2”.
PROPRIETE A5.4: Tout nombre de Mersenne est la somme des coefficients binomiaux.
démonstration : Les coefficients binomiaux s’écrivent :
Ils interviennent dans la formule du binôme de Newton :
c’est une série qui comporte n+1 termes. Lorsque a = b = 1, elle devient :
autrement dit :
puisque Cnn et Cn0 sont tous deux égaux à 1. Finalement :
qui exprime la propriété (A5.4) – CQFD.
On a vu par la relation (3) que la détermination des nombres parfaits pairs repose sur la
recherche des nombres de Mersenne premiers. Le théorème (A5.2) énonce que pour qu’un
nombre de Mersenne MP soit premier il faut que P soit premier. Ce résultat offre déjà un moyen
pour chercher les nombres de Mersenne premiers. Mais comme la réciproque du théorème
(A5.2) est fausse, et puisque qu’il n’y a pas de méthode pour déterminer systématiquement les
nombres premiers, les nombres premiers de Mersenne ne sont pas non plus déterminés
facilement en appliquant le théorème (A5.2).
Il existe cependant des méthodes algorithmiques qui permettent des recherches plus rapides
que la méthode précédente. Parmi elles il existe une méthode développée par Edouard Lucas
(1842-1891) en 1878, et améliorée par Derrick Lehmer dans les années 1930.
La méthode de Lucas-Lehmer est introduite par le théorème suivant (A5.5).
théorème a5.5 (test de Lucas-Lehmer sur la primalité d’un nombre de Mersenne) : On
définit la suite (un) dont les termes sont obtenus par la récurrence
u1 = 1
un+1 = un² - 2
Un nombre de Mersenne MP est premier si et seulement si MP divise uP-1.
La démonstration de ce théorème sort du cadre du présent article. Elle fait appel à la théorie
des résidus quadratiques. On en trouvera une démonstration complète dans [Lar].
A cause des difficultés évoquées ci-dessus sur le test de primalité des nombres de Mersenne
premiers, la liste de ces nombres reste encore très limitée de nos jours. Les quatre premiers
nombres de Mersenne premiers étaient connus dès l’Antiquité (P = 2, 3, 5, 7). Le cinquième
(correspondant à P = 13) a été découvert en 1461 par un auteur inconnu. La découverte pour P
= 17 et P = 19 fut faite par Cataldi en 1588. En 1750, Leonhard Euler découvrit le nombre de
Mersenne d’exposant P = 31. Etc. Le tableau (A5.1) ci-après donne les 47 nombres de
Mersenne premiers (ou plus exactement leurs exposants P) connus en 2010. Les ordinateurs
ont permis d’accélérer la recherche des nombres de Mersenne premiers dès 1952 par Derrick
Lehmer et R. M. Robinson au moyen du calculateur SWAC de l’Intitute for Numerical Analysis
(Université de Californie, Los Angeles), et dans les années 2000 le projet GIMPS ( Great
Internet Mersenne Prime Search) a permis d’obtenir les résultats les plus récents.
exposant P du
nombre de
Mersenne
premier MP =
nombre de
chiffres de
MP
date et auteur de la
découverte
nombre parfait correspondant
n = MP (1 + MP)/2 = 2P-1 (2P – 1)
2
1
Antiquité Inconnu
6
3
1
Antiquité Inconnu
28
5
2
Antiquité Inconnu
496
7
3
Antiquité Inconnu
8128
13
4
17
6
1588 Cataldi
8589869056
19
6
1588 Cataldi
137438691328
31
10
1750 Euler
2 305 843 008 139 952 128
61
19
1883 Pervushin
2 658 455 991 569 831 744 654 692
615 953 842 176
89
27
1911 Powers
191 561 942 608 236 107 294 793
378 084 303 638 130 997 321 548
169 216
2P-1
XIIIe siècle
Ibn Fallus
33550336
107
33
1914 Powers
13 164 036 458 569 648 337 239
753 460 458 722 910 223 472 318
386 943 117 783 728 128
127
39
1876 Lucas
14 474 011 154 664 524 427 946
373 126 085 988 481 573 677 491
474 835 889 066 354 349 131 199
152 128
521
157
30 janvier 1952
Robinson (Swac)
2520 (2521 – 1)
607
183
30 janvier 1952
Robinson (Swac)
2606 (2607 – 1)
1279
386
25 juin 1952 Robinson
(Swac)
21278 (21279 – 1)
2203
664
7 octobre 1952
Robinson (Swac)
22202 (22203 – 1)
2281
687
9 octobre 1952
Robinson (Swac)
etc...
3217
969
8 septembre 1957
Riesel (Besk)
4253
1 281
3 novembre 1961
Hurwitz (IBM)
4423
1 332
3 novembre 1961
Hurwitz (IBM)
9689
2 917
11 mai 1963 Gillies
(Illiac)
9941
2 993
16 mai 1963 Gillies
(Illiac)
11213
3 376
2 juin 1963 Gillies
(Illiac)
19937
6 002
4 mars 1971
Tuckerman (IBM)
21701
6 533
30 octobre 1978 Noll &
Glenn (CDC)
23209
6 987
9 février 1979 Noll
(CDC)
44497
13 395
8 avril 1979 Nelson &
Slowinski (Cray
Research)
86243
25 962
25 septembre 1982
Slowinski (Cray)
110503
33 265
28 janvier 1988
Colquitt & Welsh (Nec)
132049
39 751
19 septembre 1983
Slowinski (Cray)
216091
65 050
1er septembre 1985
Slowinski (Cray)
756839
227 832
19 février 1992
Slowinski & Gage
859433
258 716
10 janvier 1994
Slowinski & Gage
1257787
378 632
3 septembre 1996
Slowinski & Gage
1398269
420 921
13 novembre 1996
GIMPS / Joel
Armengaud
2976221
895 932
24 août 1997 GIMPS /
Gordon Spence
3021377
909 526
27 janvier 1998
GIMPS / Roland
Clarkson
6972593
2 098 960
1er juin 1999 GIMPS /
Nayan Hajratwala
13466917
4 053 946
14 novembre 2001
GIMPS / Michael
Cameron
20996011
6 320 430
17 novembre 2003
GIMPS / Michael
Shafer
24036583
7 235 733
15 mai 2004 GIMPS /
Josh Findley
25964951
7 816 230
18 février 2005 GIMPS /
Martin Nowak
30402457
9 152 052
15 décembre 2005
GIMPS / Cooper &
Boone
32582657
9 808 358
4 septembre 2006
GIMPS / Cooper &
Boone
37156667
11 185 272
6 septembre 2008
GIMPS / Elvenich
42643801
12 837 064
12 avril 2009 GIMPS /
Odd Magnar Strindmo
43112609
12 978 189
23 août 2008 GIMPS /
Smith
Tableau A5.1 – les 47 nombres de Mersenne premiers connus en 2010, classés par nombre
croissant de l’exposant P.
A noter qu’entre deux nombres de Mersenne connus peuvent exister d’autres non encore
découverts, par exemple entre le 40ème et le 47ème.
La dernière colonne donne les nombres parfaits pairs correspondants, on constate qu’ils
deviennent très rapidement très grands, aussi n’avons-nous écrit que les tout premiers
ANNEXE 6
Théorème de Gauss
Il s’énonce ainsi :
théorème a6 .1 : Si deux nombres entiers n et m sont premiers entre eux, et si n est un
diviseur de mk, où k est un nombre entier, alors n est diviseur de k.
démonstration : La démonstration utilise le théorème de Bézout (Annexe 7), qui s’énonce : si
deux nombres entiers n et m sont premiers entre eux, alors il existe deux nombres entiers
relatifs (i.e. appartenant à Z) u et v tels que : nu + mv = 1.
En multipliant la relation précédente par un nombre entier k, on obtient : nuk + mvk = k. Or par
hypothèse n divise mk, donc mvk, et il divise évidemment nuk. Par conséquent il divise aussi k
(car dans une égalité a = b, si un nombre divise a il divise aussi b) – CQFD.
ANNEXE 7
Théorème de Bézout (ou de Bachet-Bézout)
théorème a7.1 : La condition nécessaire et suffisante pour que deux nombres entiers m
et n soient premiers entre eux est qu’il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels
que soit vérifiée l’identité de Bézout : nu + mv = 1.
La première démonstration fut donnée en 1624 par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac puis
étendue aux polynômes par Etienne Bézout. Malgré cela le théorème reste plus connu sous le
nom de théorème de Bézout.
démonstration : En fait le théorème s’énonce à l’origine comme suit :
Soient m et n deux entiers relatifs dont l’un au moins est non nul. Désignons par d leur plus
grand commun diviseur (PGCD) : c’est le nombre le plus grand qui divise à la fois m et n. Alors
il existe deux entiers relatifs, u et v, tels que :
nu + mv = d
(A7.1)
En particulier, si m et n sont premiers entre eux, par définition leur PGCD est égal à 1 : d = 1, et
l’on a nu + mv = 1. La propriété (A7.1) n’admet pas généralement de réciproque : l’existence de
u et v telle que l’on ait (A7.1) ne signifie pas que d soit obligatoirement le PGCD de m et n. La
réciproque n’est valide que pour d = 1, donc avec m et n premiers entre eux.
Ceci précisé, venons-en à la démonstration de (A7.1).
Soit l’ensemble Emn des nombres entiers relatifs de la forme z = nx + my, où x et y sont des
entiers relatifs (x, y Î Z), et où m et n sont fixés.
Montrons que le plus petit élément positif de E mn est le PGCD de (m, n).
Pour cela on considère le sous-ensemble de E mn constitué des entiers naturels strictement
positifs : Emn Ç N*. Cet ensemble étant non vide, il contient un plus petit élément qui s’écrit :
z0 = nx0 = my0
La division euclidienne de n par z0 donne un reste r :
n = qz0 + r
On en déduit que le reste r s’écrit : r = (1 – qx0)n + (-qy0)m. Donc r est de la forme nX + mY,
c’est donc un entier naturel appartenant à E mn. Mais r < z0 donc il ne peut pas appartenir à E mn
Ç N* (dont le minimum est z0) donc r ne peut être que nul : r = 0. Il s’ensuit que n = qz 0,
autrement dit z0 est un diviseur de n.
De la même façon on vérifie que z 0 est un diviseur de m. Ainsi, z 0 est un diviseur commun de m
et n. Est-ce le plus grand ?
Supposons alors qu’il y ait un autre diviseur z 1 de m et de n. Ce diviseur z1 divise alors aussi
z0 = nx0 = my0, donc il divise z0. Il est donc plus petit que z0.
Ceci prouve que z0 est le plus grand commun diviseur de n, m, et on le note d = z 0.
Ce qui précède démontre le théorème direct : il existe deux entiers u et v tels que nu + mv =
PGCD(m,n). Mais la réciproque n’est pas toujours vraie : le fait d’avoir nu + mv = d n’implique
pas que d soit le PGCD de n, m. La réciproque n’existe que si d = 1, dans ce cas cela implique
que n et m soient premiers entre eux. – CQFD.
BIBLIOGRAPHIE
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http://algo.inria.fr/banderier/Recipro/node1.html sur le site de l’université Paris XIII :
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 [Kap] D. R. Kaprekar, On Kaprekar numbers, J. Rec. Math., 13 (1980-1981), 81-82.
 [Lar] Frédéric Laroche : Escapades arithmétiques – éditions Ellipses, 2010
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 [Ore] Øystein Ore : On the averages of the divisors of a number, American Mathematical
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Arithmétique - http://promenadesmaths.free.fr
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(http://mathworld.wolfram.com/MersenneNumber.html), MathWorld.
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http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_de_Mersenne
 [Wik2] Wikipedia, encyclopédie en ligne : Nombre parfait –
http://fr.wikipedia.org/Nombre_parfait

nombres parfaits

Transcription

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