TD : Hydraulique

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APP Hydraulique
2013-2014
TD : Hydraulique à Surface Libre
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Petits exercices basiques
Exercice 1 (source : S.Bennis, Hydraulique et hydrologie)
Un canal ayant une section en forme de trapèze a une largeur au fond b = 5m et une pente longitudinale
S0 = 0.2%. La pente des berges est Z = 1. Le coefficient de Manning est n = 0.02.
1. Calculer le débit Q de l’écoulement sachant que la profondeur d’eau ne doit pas dépasser y = 1m.
p
1
2/3
ARH
S0
n
y(b + Zy)
p
=
= 0.766m
b + 2 y 2 + (Zy)2
Q=
RH
Ainsi, Q = 11.23m3 /s.
2. Déterminer la vitesse correspondante au débit Q.
V = Q/A = 1.87m/s
Exercice 2 (source : S.Bennis, Hydraulique et hydrologie)
Dans un canal à section rectangulaire, l’eau s’écoule avec une profondeur uniforme y = 0.9m. La
largeur du canal est B = 2m. La vitesse de l’écoulement est V = 2m/s.
1. Calculer la profondeur critique de l’écoulement yc .
yc = (q 2 /g)1/3 avec q = Q/B = V By/B = 1.8m2 /s, le débit par unité de largeur. Donc
yc = 0.69m.
2. Calculer la vitesse critique Vc correspondante.
Vc =
√
gyc = 2.6m/s.
3. Qualifier l’écoulement.
V < Vc , ainsi, F r < 1. L’écoulement est de type fluvial (y > yc ).
Exercice 3 (source : D.Huilier, Université de Strasbourg)
Un canal rectangulaire transporte 6m3 /s.
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1. Déterminer la profondeur et la vitesse critique pour une largeur de canal B = 3m.
yc = (q 2 /g)1/3 avec q = Q/B = V By/B = 1.8m2 /s, le débit par unité de largeur. Donc
√
yc = 0.742m. Au point critique, le nombre de Froude est F r = 1, donc Vc = gyc = 2.7m/s.
2. Déterminer la profondeur et la vitesse critique pour une largeur de canal B = 4m.
yc = (q 2 /g)1/3 avec q = Q/B = V By/B = 1.8m2 /s, le débit par unité de largeur. Donc
√
yc = 0.612m. Au point critique, le nombre de Froude est F r = 1, donc Vc = gyc = 2.45m/s.
3. Pour une largeur de canal B = 4m, quelle est la pente qui va provoquer un écoulement critique
si on prend comme coefficient de rugosité de Manning n = 0.02.
1 2/3 p
Sc
R
n H
A
Byc
=
=
P
B + 2yc
Vc =
RH
On trouve Sc = 0.0066.
Exercice 4 (source : D.Huilier, Université de Strasbourg)
Le débit d’un canal rectangulaire (n = 0.012) de 4.6m de large est de 11.3m3 /s quand la pente est de
1m sur 100m. L’écoulement est-il surcritique ou sous-critique ?
yc =
q2
g
"
1/3
=
Q2 /B 2
g
#1/3
= 0.851m
p
1
2/3
ARH
Sc ⇒ Sc = 0.0023 < S
n
Ainsi l’écoulement est surcritique (i.e., torrentiel).
Qc =
2
Cas pratiques
Exercice 5 (source : S.Bennis, Hydraulique et hydrologie)
Une conduite d’égout de longueur L = 100m et de diamètre D = 0.61m a été installée selon une pente
S0 = 0.075%. Cette conduite véhicule un débit Q = 0.2m3 /s avec une profondeur y = 0.61m, sans
aucune mise en charge.
Trente années après son installation, la conduite n’est plus capable de véhiculer le débit initial de
conception sans provoquer une mise en charge ∆H = 0.5m à son entrée.
Nous supposerons que l’écoulement à la sortie se fait toujours à surface libre et que les pertes de charge
singulières sont négligeables.
1. Calculer le coefficient de Manning initial (le jour de l’installation de la conduite).
Q=
p
p
1
1
2/3
2/3
ARH
S0 ⇒ ninit = ARH
S0 = 0.0114
n
Q
2
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2. Calculer le coefficient de Manning final (trente après l’installation de la conduite).
Trente ans après, Sf = ∆H/L = 0.005. Ainsi, nf in = 0.0295. La formule de Manning reste
valable pour les écoulements en charge et il suffit de remplacer la pente S0 par la pente de la
ligne d’énergie Sf = hf /L.
Un entrepreneur promet de corriger le problème de cette conduite en la réhabilitant par une
méthode de tubage. Cette méthode consiste à introduire, à partir d’un regard, une nouvelle
conduite en PVC à l’intérieur de la conduite existante.
Malgré un diamètre plus petit (D = 0.59m), l’entrepreneur prétend qu’avec un coefficient de
Manning plus faible (n = 0.009 pour le PVC), la mise en charge sera sensiblement diminuée.
3. A-t-il raison ?
q
1
2/3
Sfentrepreneur ⇒ Sfentrepreneur = 0.00055 < S0
ARH
n
La pente de la ligne d’énergie est plus faible que la pente de la conduite et l’écoulement sera
donc ”à surface libre” tout le long. L’entrepreneur a donc raison.
... Une autre manière de faire est la suivante :
p
1
2/3
Q = ARH
S0
n
Q=
en prenant en compte le coefficient de Manning du PVC et le nouveau dianètre de la conduite,
on trouve Q = 0.232m3 /s. Ce débit est supérieur au débit de conception Q = 0.2m3 /s. La
conclusion précédante est donc confirmée.
Exercice 6 (source : S.Bennis, Hydraulique et hydrologie)
Un débit Q = 10m3 /s s’écoule dans un canal à section rectangulaire de largeur B = 10m (voir figure
2). La profondeur d’écoulement au point (1) est y1 = 2m.
1. Construire la courbe d’énergie spécifique Es (y).
Es = y +
v2
2g
Au point critique,
yc =
q2
g
1/3
, avec q =
Q
= 1m2 /s ⇒ yc = 0.46m
B
L’énergie spécifique minimale est alors
Esmin = yc +
gyc
= 3yc /2 = 0.69m
2g
– Si y = 0.2m,
v=
Q
v2
= 5m/s, et
= 1.25m ⇒ E = 1.45m
yB
2g
– Si y = 0.3m,
v=
Q
v2
= 3.33m/s, et
= 0.55m ⇒ E = 0.85m
yB
2g
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– Si y = 2m,
v=
Q
v2
= 0.5m/s, et
= 0.0125m ⇒ E = 2.013m
yB
2g
v=
Q
v2
= 0.25m/s, et
= 0.002m ⇒ E = 4.002m
yB
2g
– Si y = 4m,
Figure 1 – Energie spécifique
2. Caractériser le régime d’écoulement au point (1).
Au point (1), y = 2m et l’écoulement est de type fluvial (F r < 1).
3. On introduit une surélévation ∆Z = 1m au point (2). Quelle est la profondeur y2 au point (2) ?
En négligeant les pertes de charge entre les sections (1) et (2), on écrit :
y1 +
v12
v2
= y2 + 2 + ∆Z
2g
2g
L’équation de continuité s’écrit :
v1 y1 = v2 y2 = q
On a à résoudre 20y23 − 20.25y22 + 1 = 0 et on trouve trois racines : y2a = 0.958, y2b = 0.2573, et
y2c = −0.2028. Il faut trouver parmis les deux solutions positives celle qui représente réellement
la profondeur de l’écoulement au point 2.
La courbe d’énergie donne la réponse. En otant ∆Z à l’énergie spécifique au point 1, passe-t-on
à y2a = 0.958 ou à y2b = 0.2573 ? Si le point était à y2b = 0.2573, un point existerait entre les
section (1) et (2) où la chute de l’énergie spécifique serait supérieure à ∆Z, ce qui est impossible.
La profondeur y2 est donc y2a = 0.958.
4. Si on avait introduit une surélévation ∆Z = 1.3225m, quelle aurait été la profondeur y2 au point
(2) ?
En négligeant les pertes de charge entre les sections (1) et (2), on écrit :
E1 = y1 +
v12
v2
= y2 + 2 + ∆Z = E2 + ∆Z
2g
2g
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Donc,
E2 = E1 − ∆Z = 2.0125 − 1.3225 = 0.69m
L’énergie au point (2) est E2 = Emin calculée précédemment. La profondeur au point (2) est par
conséquent la profondeur critique yc = 0.46m.
5. Que se passe-t-il si on introduit une surélévation ∆Z = 1.5m ?
L’énergie spécifique au point (2) est,
E2 = E1 − ∆Z = 2.0125 − 1.5 = 0.5125m
Comme cette énergie est plus faible que l’énergie minimale nécessaire pour véhiculer le débit
Q = 10m3 /s, le débit passant au-dessus de l’obstacle est réduit.
La nouvelle profondeur d’écoulement est yc = 2E2 /3 = 0.3417m, la vitesse de l’écoulement est
√
Vc = gyc = 1.83m/s, et le débit est Q = Byc Vc = 6.3m3 /s.
Comme le débit amené par le canal est Q = 10m3 /s, la différence ∆Q = 3.7m3 /s va s’accumuler en amont de la surélévation. Quand l’énergie au-dessus de l’obstacle atteint de nouveau Emin = 0.69m et yc = 0.46m, soit les valeurs critiques initiales pour faire passer le débit
Q = 10m3 /s, le régime devient établi. L’énergie spécifique amont devient alors E10 = Emin +∆Z =
0.69 + 1.5 = 2.19m. La profondeur amont y1 passe alors de y1 = 2m à y1 = 2.18m.
On conclut donc que :
(a) Tant que la surélévation du fond reste inférieure ou égale à une certaine limite, en l’occurence
∆Z = 1.3225m, il n’y a pas de refoulement.
(b) Quelle que soit la hauteur de l’obstacle, supérieure à ∆Z = 1.3225m, la profondeur y2
sera toujours égale à la profondeur critique qui ne dépend que du débit ; dans ce cas il y a
refoulement.
Figure 2 – Coupe longitudinale du canal
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