Asie juin 2000

Asie juin 2000
Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d’une fléchette.
1
Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à .
3
4
Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu'elle manque la cible au lancer suivant est égale à .
5
On suppose qu’au premier lancer elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer.
Pour tout entier n strictement positif, on considère les événements suivants :
An : « Alice atteint la cible au nième coup » ;
Bn : « Alice rate la cible au nième coup ». On pose pn = p(An).
Pour les questions 1. et 2., on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré.
4
2
1
1° Déterminer p1 et montrer que P2 = . 2° Montrer que, pour tout entier naturel n > 2, pn =
p + .
15
15 n-1 5
3
3° Pour n > 1, on pose Un = pn – .
13
a) Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme U1 et la raison q.
b) Ecrire Un puis pn en fonction de n.
pn
c) Déterminer n lim
→ +∞
CORRECTION
Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d’une fléchette. Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la
1
probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à . Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité
3
4
qu’elle manque la cible au lancer suivant est égale à . On suppose qu’au premier lancer elle a autant de chances d’atteindre
5
la cible que de la manquer. Pour tout entier n strictement positif, on considère les événements suivants : An : « Alice atteint la
cible au nième coup » ; Bn : « Alice rate la cible au nième coup ». On pose pn = p(An). Pour les questions 1. et 2., on pourra
4
éventuellement utiliser un arbre pondéré. 1° Déterminer p1 et montrer que P2 = .
15
Au premier lancer Alice a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer donc : p1 =
1
2
1
Lorsqu’Alice atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à ,
3
1
donc PA1(A2) =
3
4
Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu’elle manque la cible au lancer suivant est égale à ,
5
4
4 1
donc PB1(B2) = et donc PB1(A2) = 1 – =
5
5 5
1
A2 P(A1 ∩ A2) = 1 × 1
2 3
3
A1
2
1
3
B2
2
1 1
P(B1 ∩ A2) = ×
A2
1
1
2 5
5
2
B1
4
5
B
2


P(A2) = P(A1 ∩ A2) + P(A1 ∩ A2) = P(A1) × PA1(A2) + P(A1) × P  (A2) =
A1
2° Montrer que, pour tout entier naturel n > 2, Pn =
1
3
An–1
1
5
1 – pn–1
Bn–1
PAn–1(An) =
An
2
3
pn–1
4
5
2
1
Pn-1 + .
15
5
P(An ∩ An–1) = pn–1 ×
1 1 1 1 5+3 4
× + × =
=
2 3 2 5
30
15
1
3
Bn
An

P(An ∩ An–1) = (1 – pn–1) ×
1
5
Bn
1
1
et PBn (An) =
3
5
P(An) = P(An–1 ∩ An) + P(Bn–1 ∩ An) = P(An–1) × PAn–1(An) + P(Bn–1) × PBn–1(A2) = pn–1 ×
pn = P(An) = pn–1 ×
1
1 2
1
+ (1 – pn–1) × =
pn–1 +
3
5 15
5
1
1
+ (1 – pn–1) ×
3
5
3
.
13
a) Montrer que la suite (un) est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme u1 et la raison q.
3° Pour n > 1, on pose un = Pn –
3
2
1 3
2
2
2
6
2
2
2
= p + –
= p –
= p –
= (p – ) = U
13 15 n 5 13 15 n 5 × 13 15 n 15 × 13 15 n 13 15 n
2
La suite (Un) est donc géométrique de raison
15
3 1 3 13 – 6 7
U1 = p1 –
= –
=
=
13 2 13
26
26
Un+1 = pn+1 –
b) Ecrire un puis pn en fonction de n.
La suite (Un) est géométrique de raison
pn = Un +
2 n-1 7  2 n-1
2
donc Un = U1 × qn–1 = U1 ×   =
×
15
26 15
15
3
7  2 n-1 3
=
×
+
13 26 15
13
c) Déterminer lim pn
n → +∞
∞
La suite (Un) est donc géométrique de raison
3
3
On a : lim pn = lim Un +  =
n → +∞
n → +∞
13 13
2
2
et 15 < 1 donc lim Un = 0
n → +∞
15