Modèle d`endommagement 3D Pour le béton sous chargement

Modèle d’endommagement 3D Pour le
béton sous chargement cyclique
François Hamon1, Jacky Mazars2
1
Institut Polytechnique de Grenoble, Université Joseph Fourier Grenoble 1,
Centre de Recherche Scientifique, 3S-R UMR5521, 38041 Grenoble,
[email protected]
2
Institut Polytechnique de Grenoble, Université Joseph Fourier Grenoble 1,
Centre de Recherche Scientifique, 3S-R UMR5521, 38041 Grenoble,
[email protected]
RÉSUMÉ. L’estimation de la capacité ultime d’un ouvrage en béton est essentielle pour en
déterminer les marges de sécurité. L’évolution des règlementations et le souhait de construire
durable conduit à l’ingénierie à devoir disposer d’outils de modélisation à la fois simples et
performants. Dans cet esprit, nous présentons ici un modèle unilatéral 3D (le  modèle)
basé sur le seul couplage élasticité-endommagement dans une formulation isotrope. Fondé
sur le modèle d’endommagement de Mazars, l’introduction du caractère unilatéral résulte
de l’utilisation de deux variables internes. Une surface seuil est associée à chacune de ces
variables. Leur forme a été choisie pour modéliser au mieux le comportement du béton sous
divers chargement : traction, compression, cisaillement, chargements bi axial et triaxial. Des
applications sont présentées à l’échelle de l’élément de volume (point de Gauss) et sur
structure en béton armé. La comparaison avec des résultats expérimentaux montre
l’efficacité des options retenues.
ABSTRACT. The estimate of the ultimate capacity of a concrete structure is essential to
determine the safety margins. The evolutions of regulations and the desire to build
sustainable structures lead engineering to dispose modelling tools simple and efficient. In this
spirit we present here a 3D unilateral model (the model) based on the coupling elasticitydamage in an isotropic formulation. Based on the damage model from Mazars, the
introduction of unilateral behaviours comes from the use of two internal variables. A
threshold surface is associated to each of these variables. Their shape was chosen to model
the best behaviour of concrete under various loading: tension, compression, shear, biaxial
and triaxial loadings. Applications are presented at the material level (Gauss point) and on a
reinforced concrete structure. Comparison with experimental results shows the effectiveness
of selected options.
MOTS-CLÉS : Modèle d'endommagement, Caractère unilatéral, Béton, Calcul par éléments
finis, Chargement cyclique.
KEY WORDS:
cyclic loading
Damage model, Unilateral behaviour, Concrete, Finite element simulations,
XXXe Rencontres AUGC-IBPSA
1.
Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin 2012
2
Introduction
Le Béton - comme la plupart des géomatériaux et les céramiques - est perçu comme
fragile en traction et plus ductile sous chargements de compression. Classiquement,
sous traction ou compression uniaxiale, on constate qu’un réseau de microfissures
se forme en mode I (par extension) perpendiculairement à la direction d'extension,
puis coalesce jusqu'à la rupture complète. Il a été montré [MAZ 86] que,
fondamentalement, trois modes d'endommagement différents doivent être pris en
considération:
A/ situation dominée par le mode I lié à l'extension locale (i > )
B / situation dominée par le mode II (et/ou III) sans aucune extension locale,
C / situation liée à l'application d'une forte pression hydrostatique (confinement)
qui conduit, comme dans les sols à une consolidation (effondrement de la structure
microporeuse de la matrice cimentaire).
Pour simuler ces comportements, des modèles de plasticité [OTT 79], des modèles
d'endommagement ([MAZ 86], [LAB 94], [DES 07]) ou basés sur des concepts de
rupture locale [BAZ 94] sont utilisés.
Ces modèles sont adaptés pour simuler la situation A décrite ci-dessus, souvent
présente dans les structures courantes en béton armé. Un certain nombre permet de
décrire le comportement cyclique [DRAG 96], générés notamment par les séismes,
et quelques uns sont aptes à traiter des chargements sévères tels ceux dus aux
souffles ou impacts, relevant des situations B et C ci-dessus ([DES 09], [PON10]).
Un des premiers modèles pour le béton mis en place dans un tel cadre est le modèle
d'endommagement de [MAZ 86]. Sur cette base, nous proposons un nouveau
modèle (le  modèle) en mesure de décrire les principaux aspects du comportement
décrit plus haut, notamment l’unilatéralité (ouverture et refermeture des fissures)
tout en mettant l’accent sur la simplicité. Une série d'applications numériques sont
présentées dont la comparaison avec des résultats expérimentaux témoigne de
l’efficacité de la modélisation.
2.
Présentation du modèle Unilatéral (modèle)
Élaboré dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles, ce
modèle, dont nous exposons ici les principes, se fonde sur le modèle de Mazars
[MAZ 86] et plus indirectement du modèle PRM [PON 10]. Dans le cadre d’un
couplage élasticité et endommagement, la contrainte  est définie par l’équation
suivante :
  1  D E : 
[1]
E est la matrice de raideur du matériau non endommagé et  la déformation. D ,
la variable d’endommagement, est un scalaire (endommagement supposé isotrope) il
évolue entre 0, matériau sain, et 1, matériau rompu.
Modèle d'endommagement 3D pour une béton sous chargement cyclique
3
Pour décrire le caractère unilatéral du béton, nous avons opté pour l’utilisation
de deux variables internes. Toutefois, elles ne sont pas les variables
d’endommagement, contrairement aux modèles classiques ([LAB 94], [PON 10]).
Dans le modèle les variables internes sont définies à partir de deux déformations
équivalentes t et c (indicateurs scalaires de l’état de déformation local). t
privilégie les déformations d’extension et c combine les contractions et les
distorsions. Leurs expressions ont été choisies pour améliorer la modélisation du
comportement du béton en cisaillement et bi-compression par rapport au modèle
d’origine qui sous estimait les performances du béton dans ces domaines.
 t 
J
I

21  2  21   
[2]
 c 
6 J
I

51  2  51   
[3]
I est le premier invariant du tenseur des déformations et J est le second invariant
du déviateur du même tenseur. Les expressions des deux variables internes, Yt et
Yc sont les suivantes:

 
[4]

 
[5]
Yt  max  t 0 , max  t
Yc  max  c 0 , max  c
Elles correspondent au maximum des déformations équivalentes atteintes, au
delà d’un seuil (t0 et c0 ), au cours de l’histoire du chargement. Elles sont
chacune associées à une surface de charge. Les deux surfaces de charge sont des
cônes centrés sur la trisectrice. Elles évoluent indépendamment l'une de l'autre.
f t   t  Yt  0
[6]
f c   c  Yc  0
[7]
La deuxième nouveauté, par rapport au modèle d’origine, est la gestion de la
variable endommagement, noté D,. Cette variable est pilotée par la variable Y, une
combinaison des deux variables internes Yt et Yc :
Y  rYt  1  r Yc
[8]
r étant le facteur de triaxialité. Son expression est la suivante :
 ~
r
 ~
i 
i
i
i
Sachant que la partie positive < > + est définie de telle sorte que :
[9]
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  i

  i


 i
si i > 0
0
si i ≤ 0
[10]
où ~i est une contrainte effective principale définie par:
~i 
i
[11]
1  D 
La contrainte effective présente l’avantage d’être facile à déterminer à partir de
la déformation actuelle et des caractéristiques mécaniques d’origine (matériau sain).
r nous renseigne sur le chargement. Il est égal à 1 dans le secteur des tractions et
il est égal à 0 dans le secteur des compressions. Il prend des valeurs intermédiaires
dans les zones de traction-compression.
La loi d'évolution de l'endommagement est du même type que celle du modèle
initial. Son expression est la suivante :
1  AY 0
D  1 
 A exp  B Y  Y 0
[12]
Y
 

où Y0 (seuil initial de la variable pilote) est définie par :
Y 0  rYt 0  1  r Yc 0
[13]
A et B sont deux variables qui évoluent suivant la valeur de r. C'est grâce à ces
deux grandeurs qu'il est possible de reproduire le comportement quasi fragile en
traction simple et un comportement écroui en compression simple, avec un
comportement intermédiaire en cisaillement.
[12] induit, et c’est cela la nouveauté par rapport à d’autres modèles unilatéraux,
une évolution non linéaire de la variable d'endommagement puisque celle ci dépend
de r. En revanche les variables Yt et Yc sont continument évolutives, raison pour
laquelle elles ont été choisies comme variables internes (cf. Figure 1).
La Figure 2 a) montre la trace des surfaces d’initiation de l’endommagement (D =
0) et de rupture (enveloppe des maximums de contrainte atteints) avec le plan 3 =
0. La surface d’initiation du modèle d’origine est reportée également, pour
comparaison. Nous constatons que les surfaces d’initiation des deux modèles sont
similaires en traction et compression simple. Ainsi, nous retrouvons les valeurs
caractéristiques du béton C30 en traction simple (résistance 3.2MPa) et compression
simple (initiation de D à -10MPa). Par ailleurs, les améliorations annoncées du côté
des cisaillements ( 0  r  1 ) et de la bi-compression (r = 1) sont visibles. Elles
conduisent à une amélioration nette, plus en accord avec l’expérience [CHE 75], par
rapport aux modèles d’origines [MAZ 86] et [PON 10].
Modèle d'endommagement 3D pour une béton sous chargement cyclique

r=1
5
r=0
Chargement
t
Yt
Y
Yc
Yc0
Yt0
t
Dµ
Evolution de D
t
Figure 1 : Evolution des variables internes Yt et Yc, de leur combinaison Y. et
de l’endommagement D, au cours d'un essai de traction - compression.
Surface de rupture (MU
Surface d’initiation (MU)
0  r 1
Surface d’initiation (Mazars)
r=1
Amélioration de la
résistance en cisaillement
Amélioration en bicompression
MU
Mazars
r=0
a)
b)
Figure 2 : a) Traces des surfaces d'initiation de l’endommagement et de rupture
(enveloppe des maximums de contrainte atteints) pour le modèle avec le plan
3=0 pour un béton classique C30. En pointillé la surface seuil du modèle d’origine
b) Comparaison des courbes contrainte-déformation lors d’un essai cisaillement en
un point de Gauss pour un C30.
En résumé, le modèle unilatéral améliore le comportement en cisaillement et en
bi-compression sans avoir recours à des paramètres « d’ajustement » comme γ et β
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employés dans le modèle d’origine, ce qui introduisait aussi des limites. Il permet
aussi de prendre en compte le caractère unilatéral du béton comme le montre la
Figure 3.
a
e
Restitution de raideur
d
f
b
e
c
a
a
b
d
d
c
f
Figure 3 : Courbe contrainte-déformation obtenue avec le modèle lors d'un
essai traction-compression uniaxiale avec mise en évidence de l’effet unilatéral.
3.
Applications -Validation
Dans ce paragraphe, nous comparons des résultats expérimentaux avec les
simulations numériques réalisées afin de valider le modèle. Deux cas simples sont
étudiés : un essai biaxial [KUP 69] et un essai cyclique en flexion 3 points [LAB
94].
3.1. Essais biaxiaux
[KUP 69] s’est intéressé à caractériser les performances du béton sous
chargements bi-axiaux. Dans ces essais, une plaque de béton est soumise à un
chargement où le rapport des contraintes principales 2 / 1 est fixe (3 = 0). Les
données matériaux expérimentales, qui seules ont été utilisées pour déterminer les
paramètres du modèle, sont fournies dans les tableaux suivant :
Table 1: Données expérimentales
E0 (MPa)
34000

0.19
ft (MPa)
3.27
fc (MPa)
-32.7
Modèle d'endommagement 3D pour une béton sous chargement cyclique
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Puisque le comportement en traction des deux modèles est similaire, Figure 2,
nous nous sommes focalisé sur une valeur de rapport  = 2 / 1 correspondant à un
essai de bi-compression. La Figure 4 compare les résultats expérimentaux et
numériques obtenus sur un point de Gauss pour  = 0.52.
Il apparait bien que le modèle classique de Mazars sous estime la résistance en
bi-compression (le dernier point expérimental correspond à la rupture de
l’échantillon). Le nouveau modèle est bien plus proche de l’expérience. La valeur
maximale atteinte correspond à celle obtenue expérimentalement à rupture.
1
2 =  1
Figure 4 : Comparaison des courbes expérimentale et numériques lors d’un
essai de bi-compression biaxial ( = 0.52) ([KUP 69])
3.2. Essai de flexion cyclique 3 points
Les résultats d’un essai de flexion 3 points réalisé par La Borderie ([LAB 94])
sont comparés aux simulations effectuées sous le logiciel de calcul par éléments
finis Code_Aster®.
Lors de cet essai, une poutre en béton armé, composée de quatre armatures de
diamètre 12 mm, est soumise à un chargement cyclique. La Figure 5 présente les
dimensions de la poutre ainsi que les conditions aux limites et le chargement. Ces
conditions aux limites changent aux cours de l’essai suivant le signe du déplacement
imposé.
Par souci de clarté et d’espace, le chargement, ainsi que les données matériaux,
ne sont pas détaillés ici. La poutre est maillée avec des éléments quadratiques
linéaires (QU4) et des segments à deux nœuds (SEG2). Les calculs effectués sont
locaux, mais avec une densité de maillage consistante avec la longueur
caractéristique du béton utilisé. Le maillage est donné Figure 6.
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Conditions correspondant à Uy négative
Uy
Armatures :  = 12 mm
20 cm
y
L =1,5m
15 cm
z
Uy
Conditions correspondant à Uy positive
x
time
Uy
Evolution du déplacement
Figure 5 : Dimensions, conditions aux limites et chargement de l’essai de flexion.
([LAB 91])
Zone élastique
Zone élastique
y
z
Supports rigides
x
Armatures
Figure 6 : Modélisation en deux dimensions de la poutre en béton armé.
a
b
Points expérimentaux
Modèle Mazars
c
Modèle Unilatéral
Figure 7 : Comparaison des courbes expérimentale et numériques pour un essai
cyclique de flexion 3 points. A gauche modèle d’origine, à droite  modèle.
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La Figure 7 compare les courbes expérimentales et numériques. Les deux
modèles donnent des résultats similaires dans la première partie du chargement.
Cependant, dès que le signe du déplacement change, les résultats diffèrent. Dans le
modèle classique l’endommagement reste activé lorsque le signe du déplacement
change. En revanche, le modèle unilatéral permet de modéliser la restitution de
raideur du béton en mettant à 0 l’endommagement au changement de signe. Dans ce
cas, les courbes expérimentales et numériques sont très proches tout au long de
l’essai. L'unique différence visible est l’absence de déformations résiduelles qui ne
sont pas prise en compte dans le modèle. Cette hypothèse a été faite par souci de
simplification partant du constat que, pour le béton armé, ces déformations sont
négligeables par rapport aux déformations permanentes dans les aciers.
Valeurs de D
y
Uy
z
a)
x
Première partie du chargement. Uy = -0.001 m
b) Le déplacement imposé est nul
Uy
c) Seconde partie du chargement. Uy = 0.001m
Figure 8 : Visualisation de l’endommagement (en rouge D>0.975), indicateur
de fissures ouvertes lors de l’essai de flexions
Pour le modèle, l’évolution « unilatérale » de la variable d’endommagement
D est utilisable comme indicateur d’ouverture de fissure en cours de chargement.
Trois visualisations de l’endommagement sont présentées par la Figure 8. Dans la
première partie du chargement (figure du haut), la poutre s’endommage, les fissures
se forment dans la zone inférieure, soumise à de la traction. Puis lorsque le
déplacement revient à zéro (figure du milieu), les fissures se referment. Dans la
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seconde partie du chargement (figure du bas), de nouvelles fissures se créent dans la
zone en traction, qui est maintenant en haut, et elles rejoignent progressivement
celles créées préalablement. Ces visualisations traduisent bien le phénomène de
refermeture de fissure c'est-à-dire le caractère unilatéral du béton.
4.
Conclusion
Le modèle présenté a été développé dans le cadre rigoureux de la
thermodynamique (non présenté ici). Construit sur des principes similaires à celui
du modèle Mazars, il améliore la modélisation du comportement du béton en
cisaillement pur et en bi-compression. De plus, il prend en compte le caractère
unilatéral du béton, essentiel vis-à-vis de chargements cycliques, permettant d’ores
et déjà d’aborder le comportement sismique des structures en béton. Des
développements complémentaires sont en cours afin de modéliser des essais sous
fort confinement afin de traiter des cas de sollicitations sous impact qui peuvent
induire pénétration et perforation.
Remerciements : Cette recherche a été réalisée dans le cadre d’un contrat EDFSEPTEN (réf CdC n°ENSGSGC100039) ; que B. Masson soit remercié pour avoir
favorisé ce travail ainsi que C. Rospars pour son soutien logistique.
5.
Bibliographie
[BAZ 94] Bazant Z.P., « Nonlocal damage theory based on micromechanic of crack
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