Chapitre 3.5a – La diffraction

Chapitre 3.5a – La diffraction
Le phénomène de la diffraction
La diffraction est le comportement ondulatoire déformant
une onde plane en onde sphérique lorsque celle-ci
rencontre un obstacle ou une ouverture. La déformation
dépend de la taille de l’obstacle/ouverture a et de la
longueur d’onde λ de la lumière. Lorsque la taille de
l’obstacle/ouverture est grande comparativement à la
longueur d’onde, la déformation est négligeable et l’onde
devient de plus en plus sphérique à mesure que la taille de
l’ouverture diminue (ou la longueur d’onde augmente).
Diffraction d’une vague sur
une petite ouverture.
Aucune diffraction lorsque a >>> λ
a
a
λ
λ
ouverture
Diffraction légère
lorsque a >> λ
obstacle
Diffraction prononcée
lorsque a > λ
Diffraction totale
lorsque a ≤ λ
Réduction de la l’obstacle/ouverture :
a
a
λ
λ
a
λ
Augmentation de la longueur d’onde :
a
a
a
λ
λ
λ
Voici le patron d’interférence projeté sur un écran plat de la diffraction d’un laser ayant
traversé une seule fente très mince :
Fente
1
Patron de diffraction1
Ce schéma représente le patron d’interférence d’une seule fente de taille a >> λ (diffraction légère).
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 1
Modèle à 12 sources de la diffraction
Voici le patron d’interférence de la diffraction d’une source lumineuse cohérente sous la
présence s’une fente mince rectiligne projeté sur un écran plat situé à grande distance :
∆Y
∆y
Projection d’un patron de diffraction tel que
a >> λ (diffraction légère).
Selon le modèle d’Huygens de la
diffraction, une onde plane qui pénètre
dans une petite ouverture se comporte par
la suite comme une infinité de source
ponctuelle alignée sur l’axe de la fente
(voir schéma ci-contre). Il y aura des
interférences constructives et destructives
entre les différentes sources selon la
différence de marche entre toutes les
combinaisons possibles de sources.
Diffraction selon le modèle d’Huygens.
Étudions la diffraction à l’aide du modèle de Huygens à 12 sources sur une ouverture
rectiligne. La distance entre la source 1 et la source 12 sera la largeur de la fente a.
Situation 1 : Aucune différence de marche δ au point C.
Interférence
Différence de marche
Patron de diffraction
δ = 3λ
r1
Toutes les sources (1 à 12) sont en phase
(différence de marche de 0). Il y a donc
interférence constructive entre toutes les
sources.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
δ = 2λ
δ=λ
C
δ=0
δ = –λ
δ = –2λ
δ=0
r2
δ = –3λ
Bilan : Il y a de la lumière au point C (intensité maximale).
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 2
Situation 2 : Différence de marche δ de λ / 2 au point P.
Interférence
Les sources 1 et 12 sont déphasées de π
(différence de marche de λ / 2 ). Il y a
donc interférence destructive entre ces
deux sources.
Différence de marche
Patron de diffraction
δ = 3λ
r1
δ = 2λ
1
Les sources 2 et 11 sont à peu près
déphasées de π (différence de marche de
λ / 2 ) ce qui produit une interférence
destructive presque totale.
2
3
δ=λ
4
5
6
P
δ=0
7
δ = –λ
8
9
10
Les source 5, 6, 7 et 8 sont à peu près en
phase (différence de marche de 0) ce qui
produit de l’interférence constructive
partielle.
δ = – 2λ
11
12
r2
δ = – 3λ
δ = 12 λ
Bilan : Il y a de la lumière au point P (intensité forte).
Situation 3 : Différence de marche δ de λ au point P.
Interférence
Toutes les sources sont déphasées deux
à deux de π (différence de marche de
λ / 2 ). Toutes ces paires produisent de
l’interférence destructive.
Différence de marche
Patron de diffraction
δ = 3λ
r1
δ = 2λ
1
2
P
3
δ=0
5
Paires de sources en interférence
destructive :
δ=λ
4
6
7
δ = –λ
8
9
1 et 7
4 et 10
2 et 8
5 et 11
3 et 9
6 et 12
10
r2
11
12
δ =λ
δ = – 2λ
δ = – 3λ
Bilan : Il y a interférence destructive totale au point P (1ier minimum)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 3
Situation 3 : Différence de marche δ de 3λ / 2 au point P.
Interférence
Différence de marche
Certaines sources sont déphasées deux
à deux de π (différence de marche de
λ / 2 ). Ces paires produisent de
l’interférence destructive.
Patron de diffraction
δ = 3λ
r1
δ = 2λ
1
P
2
δ=λ
3
4
Paires de sources en interférence
destructive :
δ=0
5
6
7
δ = –λ
8
1 et 5
3 et 7
2 et 6
4 et 8
9
r2
10
δ = – 2λ
11
12
δ = – 3λ
δ = 2λ
Les autres sources produisent de
l’interférence constructive partielle.
Bilan : Il y a de la lumière au point P (intensité faible).
3
Situation 4 : Différence de marche δ de 2λ au point P.
Interférence
Toutes les sources sont déphasées
deux à deux de π (différence de
marche de λ / 2 ). Toutes ces paires
produisent de l’interférence
destructive.
Différence de marche
Patron de diffraction
r1
δ = 3λ
P
1
2
δ=λ
3
4
δ=0
5
Paires de sources en interférence
destructive :
1 et 4
7 et 10
2 et 5
8 et 11
3 et 6
9 et 12
δ = 2λ
6
7
r2
8
δ = – 2λ
9
10
11
12
δ = –λ
δ = 2λ
δ = – 3λ
Bilan : Il y a interférence destructive totale au point P (2ième minimum)
Conclusion :
Il y a interférence destructive lorsque la différence de marche est un multiple de
longueur d’onde λ (excluant le zéro). Il est important de remarquer que ce résultat est
différent de celui obtenu dans l’expérience de Young.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 4
Minimum dans un patron de diffraction
Dans un patron de diffraction avec ouverture
rectiligne, un minimum est localisé lorsque la
différence de marche δ entre le haut et le bas de la
fente est un multiple de longueur d’onde λ excluant
le zéro. Il n’est pas pertinent de positionner les
maximums secondaires en diffraction, car ils sont de
très faible amplitude.
P
r1
y
r2
θ
a
axe central C
δ
L
Minimums de diffraction
où
Différence de marche
Différence de phase
δ = mλ
∆φ = 2π m
r1 : Distance entre le haut de l’ouverture et le point P (m)
r2 : Distance entre le bas de l’ouverture et le point P (m)
y : Position verticale pour situer le point P mesurée par rapport à l’axe central (m)
δ : Différence de marche entre le trajet 1 et le trajet 2 (m) ( δ = r2 − r1 )
∆φ : Différence de phase entre la source du haut et la source du bas
L : Distance entre l’ouverture et l’écran (m)
a : Largeur de l’ouverture (m)
θ : Angle pour localiser le point P ( tan (θ ) = y / L )
m : Multiple entier de longueur d’onde ( m ε Z , sauf m = 0 )
λ : Longueur d’onde produite par la source (m)
Approximation dans la diffraction de Fraunhofer
1) Approximation des rayons parallèles
Lorsque la largeur de l’ouverture a est beaucoup plus petite que la distance L entre
l’ouverture et l’écran (approximation de Frauhofer), nous pouvons approximer le trajet
r1 et r2 comme étant parallèle. La différence de marche δ peut être alors évaluée de façon
approximative de la façon suivante :
Approximation :
Différence de marche :
a << L
δ ≈ a sin(θ )
2) Approximation des petits angles
Lorsque l’angle θ est très petit, nous pouvons effectuer l’approximation suivante :
Approximation :
θ << 1 rad
ou tan (θ ) << 1
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Relation trigonométrique :
tan(θ ) ≈ sin (θ )
Page 5
Géométrie de l’ouverture et critère d’interférence destructive
La géométrie de l’ouverture est responsable de la forme de la diffraction ce qui influence le
critère à appliquer pour localiser une zone d’interférence destructive. Plus la géométrie de
l’ouverture est complexe, plus le calcul menant à l’identification du critère l’est.
Les deux géométries les plus simples sont la fente rectiligne/carrée et circulaire :
Ouverture carrée de largeur a
Ouverture circulaire de diamètre D
Illustration de la diffraction sur une
ouverture carrée.
http://en.wikipedia.org/wiki/Diffraction
Illustration de la diffraction sur une
ouverture circulaire (tâche d’Airy).
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tache_d'Airy
1ier miminum : a sin (θ1 ) = λ
2ième miminum : a sin (θ 2 ) = 2 λ
3ième miminum : a sin (θ 3 ) = 3 λ
1ier miminum : D sin (θ ) ≈ 1,22 λ
2ième miminum : D sin (θ 2 ) ≈ 2,23 λ
3ième miminum : D sin (θ 3 ) ≈ 3,24 λ
4ième miminum : a sin (θ 4 ) = 4 λ
4ième miminum : D sin (θ 4 ) ≈ 4,24 λ
Situation 1 : Les minimums de diffraction. On utilise un laser qui émet de la lumière à
500 nm pour éclairer une fente de 1 mm de largeur. On observe le patron de diffraction sur
un écran situé à 3 m de distance. On désire déterminer la position angulaire θ et la
position linéaire y (mesurées à partir du centre de l’écran) pour les trois premiers
minimums du côté positif de l’écran (y > 0).
Évaluons notre différence de marche δ :
δ = r2 − r1
⇒
δ = a sin (θ ) (Approximation : a << L donc r2 − r1 ≈ a sin (θ ) )
⇒
δ = a tan (θ ) (Approximation : θ << 1 donc tan (θ ) ≈ sin (θ ) )
⇒
δ =a
y
L
(Remplacer tan (θ ) = y / L )
Évaluons l’expression de la position des minimums dans le patron de diffraction :
δ = mλ
⇒
⇒
y
= mλ
L
mλL
y=
a
a
(Remplacer δ )
(Isoler y)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 6
Évaluons la position des 3 premiers minimums dans le patron de diffraction :
Avec :
y=
1)
mλL
a
et
2)
tan (θ ) =
y
L
⇒
 y
 L
θ = tan −1  
Nous avons :
m
y
angle
m =1
y = 1,5 × 10 −3 m
θ = 0,0286°
m=2
y = 3,0 × 10 −3 m
θ = 0,0573°
m=3
y = 4,5 × 10 −3 m
θ = 0,0859°
Remarque :
La position du minimum a été obtenue grâce à l’expression suivante :
y=
mλL
a
1) Lorsque l’ouverture diminue, la position du minimum augmente ( a ↓ ⇒ y ↑ ).
2) Lorsque l’ouverture diminue, la largeur du 1ier pic du patron de diffraction augmente.
3) Lorsque l’ouverture est très petite, l’approximation des petits angles ne s’applique pas
toujours ( a ↓ ⇒ sin (θ ) ≠ tan (θ ) ).
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 7
Intensité d’un patron de diffraction et étalement central
Dans le patron de diffraction, l’intensité lumineuse des différents maximums diminue en
fonction de l’éloignement de l’axe central :
Intensité lumineuse
Il y a une intensité lumineuse
maximum lorsque δ = 0 (axe central).
δ = 3λ
∆φ = 2,86π
I = 0,0472 IC
Il y a une intensité lumineuse lorsque
δ = mλ + λ / 2 .
Cette
intensité
diminue avec l’augmentation de δ, car
il y a de moins en moins de source qui
sont en interférence constructive à ces
différences de marche.
∆φ = –6 π
IC
δ = 2λ
∆φ = 4,92π
I = 0,0165 IC
δ=λ
δ=0
δ = –λ
∆φ = –2 π
∆φ = 2 π
∆φ = 6 π
∆φ = −4π
∆φ = 0
∆φ = 4 π
δ = –2λ
δ = –3λ
Afin d’évaluer la taille de l’étalement central, évaluons la position angulaire du 1ier
minimum de diffraction sous différentes taille d’ouverture a :
a sin (θ ) = mλ
⇒
sin (θ 1 ) =
Type de diffraction
et taille de
l’ouverture a
Diffraction
légère
Angle 1ier
minimum
a >> λ
et
θ1 ≈ 0°
λ
(premier minimum θ1 lorsque m = 1 )
a
Patron de la diffraction
∆Y
(
I W/m 2
)
∆y
( sin (θ1 ) ≈ 0 )
Diffraction
prononcée
a>λ
et
Répartition de la puissance
lumineuse ou intensité
lumineuse
θ1 ∈ ] 0°, 90°[
∆Y
(
)
(
)
I W/m 2
sin (θ1 ) = λ / a < 1
Diffraction
complète
a≤λ
et
sin (θ1 ) = λ / a ≥ 1
θ1 = 90°
ou
I W/m 2
θ1 = impossible
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 8
La tache de Poisson
En 1819, Augustin Jean Fresnel participe à un
concours de science sur les phénomènes de diffraction
à Paris et propose une théorie ondulatoire fondé sur le
principe d’Huygens appuyée par l’expérience de
Young réalisée en 1801. Le juge Siméon Denis
Poisson proposa une expérience visant à contredire la
théorie de Fresnel, mais la réalisation de cette
expérience eut l’effet contraire en confirmant la nature
ondulatoire de la lumière. L’observation d’une tache
lumineuse inattendue fut réalisée lors de l’expérience
et elle fut nommée en l’honneur de celui qui l’avait
prédite avec la théorie de Fresnel sans jamais y croire.
Augustin Jean Fresnel
(1788-1827)
Siméon Denis Poisson
(1781-1840)
Situation :
On éclaire une sphère avec une source lumineuse cohérence et
l’on projet l’ombre créé par la sphère sur un écran.
Observation :
Une tache lumineuse derrière la sphère dans la zone d’ombrage.
Conclusion :
La lumière diffracte sur la sphère et les ondes contournant la
sphère se retrouvent en phase derrière la sphère en son centre
d’où l’apparition de lumière sur l’axe centrale de la source de
lumière.
Écran où il y a projection de la tache de poisson.
Voici une simulation d’une diffraction d’une onde plane après son passage près d’un
obstacle sphérique :
Simulation de la diffraction de la lumière sur une sphère. On observe que la lumière contourne la
sphère permettant ainsi à lumière d’être observée dans « l’ombre géométrique » de la sphère.
http://www.smkbud4.edu.my/Data/sites/vschool/phy/wave/diffraction.htm
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 9