2.Hydraulique [Mode de compatibilité]
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2.Hydraulique [Mode de compatibilité]
Ecoulement en régime permanent Hydraulique des sols uw = 0 (référence atm.) uw = γwH Documents pédagogiques internes au Mastère TOS Hypothèse : squelette du sol indéformable écoulement sol Rm: Cette hypothèse sera levée Roche imperméable Références: Exemple d’écoulement souterrain – cas d’un barrage F. Shlosser, 1988. Elements de mécanique des sols. Presse ENPC. L’eau a tendances de s’écouler: • de fortes vers faibles pressions (i.e. dans le sens du −∇ ∇uw or −∇ ∇u) B. Das, 1985. Advanced soils mechanics. McGraw Hill • dans le sens de la gravité (g) 1 Ecoulement en régime permanent Quand les deux co-existent 2 Ecoulement en régime permanent Exemple d’écoulement souterrain – cas d’une excavation 3 Exemple d’écoulement souterrain – cas d’un tunnel 4 1 Exemple –Systèmes de barrières Exemple : écoulement entrainant les polluants couverture Documents pédagogiques internes au Mastère TOS Système primaire de collection de lixiviat Rivière polluée déchets nappe Lac v Contaminant aquifère Nappe phréatique 5 6 Charge hydraulique Ecoulement en régime permanent Exemple 1 Loi de Darcy - Définition de charge hydraulique 1m 2m Nappe X 5m P 1m Référence P z(P) Calcul de la charge hydraulique Référence Calcul de la charge hydraulique aux points P et X Charge totale: h( P ) = u w (P ) γw z (P ) = 1 m + z (P ) uw(P)/γw = contribution de la pression d’eau z(P) = contribution due à la gravité 7 z( X ) = 4 m u w (P ) = 4γ w u w ( X ) = 1γ w h(P ) = 4γ w γ w + 1 = 5 m h( X ) = 1γ w γ w + 4 = 5 m 8 2 Charge hydraulique Loi de Darcy Example 2 Expérience de Darcy 1m Nappe 2m Référence ∆h X 5m Documents pédagogiques internes au Mastère TOS 1m P Echantillon de Sol Calcul de la charge hydraulique h(P ) = 4γ w γ w − 4 = 0 m ∆L h( X ) = 1γ w γ w − 1 = 0 m Aire de la section, A Darcy avait trouvé que le débit Q (m3/s): ∝ difference de charge ∆h ∝ aire de la section A La charge hydraulique est-elle constante dans la zone saturateé ? ∝ 1/∆L 9 Loi de Darcy 10 Loi de Darcy ∆h ∆h Darcy conclut que: ∆h Q = kA ∆L Echantillo n de Sol Q = kiA Echantillo n de Sol (m3/s) ∆L Q = ki A ∆L Aire de la section, A Expérience de Darcy La vitesse v est appellée vitesse apparente (en fait un flux), la “vraie” vitesse est : L’équation de Darcy peut se mettre sous forme de: ou v= Aire de la section, A où k est le coefficient de permeabilité (m/s). Q = ki A ou vs nA = vA v=ki ∴ vs = v n Surface totale de la section = A i = ∆h ∆L est le gradient hydraulique v=Q A est la vitesse de Darcy ou vitesse de filtration n est la porosité du sol 11 Surface effective = nA 12 3 Loi de Darcy Loi de Darcy Mesure de la Permeabilité (a) Perméamèter à charge constante Mesure de la Permeabilité (b) Perméamèter à charge variable On observe que: Dans un intervalle de temps ∆t, Documents pédagogiques internes au Mastère TOS Piston pour comprimer sol Constant head device Q= ∆h ∆h V = kA T ∆L Tube à section donstante a −a Débit dans le tube = V = volume écoulé ∆L Sol Volume V h1 T = durée nécessaire h ∆L Il vient donc, k= V∆L ∆hAT Soil Sample, area A Débit dans l’échantillon = kA h2 14 Loi de Darcy Loi de Darcy Continuité donne: −a Measure in situ de la Permeabilité – essais de pompage dh h = kA dt ∆L r2 Puit d’observation 2 Puit d’observation 1 r1 Solution : Tube à section donstante a h ∆L Datum 13 Mesure de la Permeabilité (b) Perméamèter à charge variable ∆h ∆t − a ln h = qz Puit de Pompage Nappe initiale d kA t + constant ∆L h1 h ∆L Soil Sample, area A h2 Et que: H t = t1 , h = h 1 Aquifère non confinée, sans fuite t = t2 , h = h 2 h2 Datum k= h1 h r a∆L ln (h1 h2 ) A(t 2 − t1 ) 15 16 4 Perméabilité Loi de Darcy Measure in situ de la Permeabilité – essais de pompage Valeurs typiques Loi de Darcy: Documents pédagogiques internes au Mastère TOS qz = 2πrzk dz dr qz = taux de pompage (m3/s) 10-1 10-2 Graviers 10-3 10-4 10-5 10-6 ∫ r2 r1 10-9 10-10 10-11 10-12 cm/s Argiles homogènes Argiles fissurées h2 dr = 2kπ zdz r h1 ∫ Taille des grains peut varier de 3-4 ordres de grandeurs Permeabilité peut varier de 10 ordres de grandeurs (échelle log) De sorte que: k= 10-8 Limons Sables Integration: qz 10-7 qz ln (r2 r1 ) π h22 − h12 ( ) Permeabilité (m/s) 17 18 Effets d’écoulement sur les contraintes Cas d’un écoulement descendant Effets d’écoulement sur les contraintes Cas de l’absence d’écoulement ∆h h Soil X h Unit weight of soil = γsat Unit weight of water = γw Soil z z X iγw= force volumique due à l’écoulement X X Au niveau X-X: Au niveau X-X: Unit weight of soil = γsat Unit weight of water = γw σ = γ w h + γ sat z u = γ w (h + z ) Contrainte totale γ ′ = γ sat − γ w Contrainte totale Pression d’eau σ ′ = σ − u = (γ sat − γ w )z + γ w ∆h = [(γ sat − γ w ) + γ w (∆h z )]z = (γ ′ + iγ w )z Pression d’eau σ ′ = σ − u = (γ sat − γ w )z = γ ′z σ = γ w h + γ sat z u = γ w (h + z − ∆h ) Contrainte effective γ ′ + iγ w Poids volumique déjaugé Contrainte effective Poids effectif = poids déjaugé + iγw Ainsi le poids effectif est augmenté par iγw. ! 19 La pression effective est augmentée par iγwz = γw∆h. ! 20 5 Effets d’écoulement sur les contraintes Cas d’un écoulement montant Condition de boulance ∆h Cas d’un écoulement ascendant: h Documents pédagogiques internes au Mastère TOS X iγw= force volumique due à l’écoulement X Au niveau X-X: σ ′ = (γ ′ − iγ w )z Unit weight of soil = γsat Unit weight of water = γw La condition critique est atteinte lorsque: 0 = (γ ′ − ic γ w )z σ = γ w h + γ sat z Contrainte totale u = γ w (h + z + ∆h ) Pression d’eau ic = γ ′ − iγ w Lorsque cette condition est atteinte, le sol devient instable. Il perd totalement sa résistance au cisaillement (donc de portance à des fondation), et se comporte comme un liquide Poids effectif = poids déjaugé - iγw Ainsi le poids effectif est diminué par iγw. ! La pression effective est diminuée par iγwz = γw∆h. ! γ′ γw ic : gradient hydraulique critique σ ′ = σ − u = (γ sat − γ w )z − γ w h Contrainte effective = [(γ sat − γ w ) − γ w (∆h z )]z = (γ ′ − iγ w )z 21 22 Ecoulement 1D Ecoulement 1D Sol stratifié – écoulement orthogonal (cas idéalisé) Sol stratifié – écoulement parallèle (cas idéalisé) z z Qi di d= ∑d Q= ∑Q i d= i ∑d Q1 d1 ∑ Q =∑ k id i i Q kid = v= = d d ∑ k id ∑k d k= i i i d v = vi = k i ii i ∴ transmitivities sont additive. i di,, ∆hi v d1,, ∆h1 v i x x Q= Effective stress z Soil Permeabilité effective ou équivalente k dans le cas d’un écoulement parallèle dans un sol stratifié = moyenne arithmetique pondérée des permeabilités des couches. d ∆hi = ii d i = v=k d = k 23 ∆h d ∑k ∴ résisitivités sont additives vd i ki ∆h = di i k= Permeabilité effective ou équivalente k dans le cas d’un écoulement orthogonal dans un sol stratifié = moyenne harmonique des permeabilités des couches vd k d ∑d i ki 24 6 Ecoulement 3D : cas général Ecoulement 2D Loi de Darcy généralisé au cas 3D général est le champ vectoriel de vitesse de Darcy Documents pédagogiques internes au Mastère TOS est le gradient hydraulique z écoulement sol est le champ de pression hydraulique hétérogène x Signe “−” : écoulement des lieux de forte charge vers des lieux de faible charge Roche imperméable Rappel : Dans tout se qui suit, l’écoulement est supposé 2D (écoulement plan), la composante suivant l’axe y étant supposée nulle. Ceci permet de simplifier la présentation dans un cadre pédagogique. La généralisation au cas 3D est trivial. Cas d’un sol isotrope: la perméabilité k est un scalaire Cas d’un sol anisotrope: la perméabilité k est un tenseur d’ordre 2. Dans le repère principal: 25 26 Ecoulement 2D Ecoulement 2D equation de continuité (conservation de la masse) vz + dz vx Equations principales ∂vz dz ∂z Élément de sol vx + ∂v x ∂v z + =0 ∂x ∂z ∂v x dx ∂x + dx v x = −k H vz Débit d’eau sortant = = ∂v ∂v vx + x dx − vx dydz + vz + z dz − v z dxdy ∂x ∂z ∂v x ∂vz + =0 ∂x ∂z Equation de continuité ∂h ∂x v z = −kV ∂h ∂z Darcy ⇓ ∂vx ∂vz + dxdydz ∂x ∂z ∂ ∂h ∂ ∂h kH + kV =0 ∂x ∂x ∂z ∂z Division par dxdydx conduit à (i.e. div(v)=0) : div( v) = Equation de continuité 27 Equation d’écoulement 28 7 Ecoulement 2D Exemple 1. Interprétation des résultats d’essai d’un perméamètre à charge constante Cas général ∂ ∂h ∂ ∂h =0 kH + kV ∂x ∂x ∂z ∂z Equation d’écoulement Les données issues d’un essai avec un perméamètre à charge constante sont reportées dans le tableau ci-dessous. Tracer le débit Q suivant le gradient hydraulique i puis estimer la permeabilité initiale k. L’aire de la sectional de l’échantillon = 8000 mm2 kH Equation d’écoulement ∂ 2h ∂2h + kV 2 = 0 ∂x 2 ∂z Pour matériaux homogènes Cas de matériaux homogènes et isotropes (k=scalaire ne varie pas suivant (x,z)) ∆h = ∂ 2h ∂ 2 h =0 + ∂x 2 ∂z 2 Gradient hydraulique I 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Debit Q (cm3/s) 0 1.0 2.2 3.75 5.8 Laplace equation 29 Exemple 1. Interprétation des résultats d’essai d’un perméamètre 30 Example 2: Interprétation des résultats d’essai d’un perméamètre à charge variable 7 6 Les données issues d’un essai avec un perméamètre à charge variable sur un échantillon de sable limoneux sont reportées dans le tableau cidessous. Tracer une graphique de ln(h1/h) vs t et estimer la permeabilité k au début et en fin de l’essai. 5 4 Q Documents pédagogiques internes au Mastère TOS Cas de materiaux homogènes (k ne varie pas suivant (x,z)) 3 2 1 1 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 i kA = ∴ k= durée t depuis le début d’essai (s) 0 40 100 190 330 600 Hauteur d’eau dans le tube h (m) 1.0 0.85 0.70 0.55 0.40 0.25 sectional de l’échantillon, A = 8000 mm2 dQ 1 = =5 di 0.2 Section du tube, a = 10 mm2 Longueur de l’échantillon ∆L = 200 mm 5 5 = = 6.25 × 10 − 2 cm 2 / s A 8000 × 10 − 2 31 32 8 Example 2: Interprétation des résultats d’essai d’un perméamètre à charge variable Après quelque ré-arrangement de l’équation pour la perméamètre à charge variable: 1.6 1.4 100 ln(h 1/h ) 1.2 Documents pédagogiques internes au Mastère TOS Example 2: Interprétation des résultats d’essai d’un perméamètre à charge variable k= 0.12 1 0.8 a∆L ln (h1 h ) A t 116 0.6 0.5 0.4 où ln(h1/h)/t est la pente de la courbe. 0.2 0 0 100 200 300 400 500 600 Perméabilité initiale : 700 t (sec) k= Analyse des données: durée t depuis le début d’essai (s) 0 40 100 190 330 600 h1/h 1 1.176 1.429 1.819 2.5 4 ln(h1/h) 0 0.163 0.357 0.598 0.916 1.386 k= Ecoulement 2D : lignes de courant et équi-potentiels Hyp: matériau homogène et isotrope, perméabilité k est un scalaire constant 116 (0.1)(20) (0.12) = 3.0 × 10 −5 cm/s 80 100 34 Ecoulement 2D : lignes de courant et équipotentiels Un exemple des « flow net » Non saturé au dessus de la nappe ϕ est la fonction potentielle, qui vérifie l’équation de Laplace eau Définir la fonction de courant ψ par: De plus, sur une ligne où ψ est constant: 80 Permeabilité finale : 33 On a: (0.1)(20) (0.5) = 1.07 × 10 −4 cm/s Tapis drainant donc: Il vient donc: Ligne de courant ψ=cst Equipotentiel Les lignes: définissent donc une famille de courbes tangente à la vitesse d’écoulement, et sont perpendiculaires au réseau des équipotentiels 35 ϕ=cst • Méthode graphique appelée à disparaître avec l’avancement des outils informatiques • Détermination du potentiel h (donc du champ de pression uw) nécessite la résolution d’un problème aux limites défini par l’équation de Laplace, plus les conditions aux limites • Le problème peut être formulé soit avec h, soit avec uw 36 9 Conditions aux limites typiques Conditions aux limites typiques Interface sol-matériau imperméable (eg. Fond argileux par rapport à un sol sableux sus-jacent) Interface sol-eau Interface sol-eau Documents pédagogiques internes au Mastère TOS v Dans le sol h = uw γw +z n Dans la masse d’eau u w = γ w (H − z ) La pression d’eau est continue à l’interface, on en déduit donc: h= (H − z )γ w γw +z=H L’eau ne peut pas entrer dans le milieu imperméable, la vitesse doit donc être parallèle à l’interface (ou orthogonal à la normale sortante). Autrement dit, l’interface doit correspondre à une ligne de courant. i.e. a constant Ainsi, à l’interface sol-eau, la charge hydraulique est constante ! Conditions aux limites typiques L A B D C H z F E 10