CORRECTION FICHE THEOREME DE PYTHAGORE
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CORRECTION FICHE THEOREME DE PYTHAGORE
CORRECTION FICHE THEOREME DE PYTHAGORE Exercice 1 • Dans le triangle PAS rectangle en S, [PA] est l’hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore PA² = PS² + AS² • Dans le triangle RUS rectangle en U, [RS] est l’hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore RS² = RU² + US² • Dans le triangle AUS rectangle en A, [US] est l’hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore US² = AS² + AU² Exercice 2 Calcul de BC On sait que : ABC est un triangle rectangle en A d’hypoténuse [PA] . Or : d’après le théorème de Pythagore BC² = AB² + AC² Donc : BC² = 4,8² + 6,4² BC² = 23,04 + 40,96 BC² = 64 BC = 8 Le côté [BC] mesure 8 cm. Exercice 3 a) Calcul de ST au centième près. On sait que : RST est un triangle rectangle en R d’hypoténuse [ST] . Or : d’après le théorème de Pythagore ST² = SR² + TR² Donc : ST² = 4,6² + 3,2² ST² = 21,16 + 10,24 ST² = 31,4 ST ≈ 5,603 Le côté [ST] mesure environ 5,60 cm au centième près. b) Calculer SR au dixième près. On sait que : RST est un triangle rectangle en R d’hypoténuse [ST] . Or : d’après le théorème de Pythagore ST² = SR² + TR² Donc : 8² = SR² + 5² 64 = SR² + 25 SR² = 64 – 25 SR² = 39 SR ≈ 6,248 Le côté [SR] mesure environ 6,2 cm au dixième près . Equipe de mathématiques C.A.F. Exercice 4 a) Démontrer que le triangle RAS est rectangle. RA = 8,7 cm, AS = 6 cm et RS = 6,3 cm On sait que • Le plus grand côté est [RA] • RA² = 8,7² = 75,69 • RS² + SA² = 6,3² + 6² = 39,69 + 36 = 75,69 RA² = RS² +SA² Or : d’après la réciproque du théorème de Pythagore Donc : le triangle RAS est rectangle en S. b) Démontrer que le triangle DEM est rectangle. DE = 2000 m, DM = 450 m et EM = 2050 m On sait que : • Le plus grand côté est [EM] • EM² = 2050² = 4 202 500 • MD² + DE² = 2000² + 450² = 4 000 000 + 202 50 = 4 202 500 EM² = MD² + DE² Or : d’après la réciproque du théorème de Pythagore Donc : le triangle DEM est rectangle en D. Exercice 5 Démontrer que le triangle ABC n’est pas un triangle rectangle AB = 5,7 cm, AC = 9,6 cm et BC = 7,6 cm On sait que : • Le plus grand côté est [AC] • AC² = 9,6² = 92,16 • AB² + BC² = 5,7² + 7,6² = 32,49 + 57,76 = 90,25 AC² ≠ AB² +BC² Or : d’après la contraposé du théorème de Pythagore. Donc : le triangle ABC n’est pas rectangle. Exercice 6 a) Déterminer BM, AM puis AN. BM = BC = 5 AM = AB – BM AM = 8 – 5 AM = 3 AN = AM = 3 BM mesure 5 cm, AM mesure 3cm et AN mesure 3 cm. b) Calculer MN, MC et NC. Calcul de MN : On sait que : AMN est un triangle rectangle en A d’hypoténuse [MN] Or : d’après le théorème de Pythagore Equipe de mathématiques C.A.F. MN² = AM² + AN² Donc : MN² = 3² + 3² MN² = 9 + 9 MN² = 18 MN ≈ 4,2 Le côté [MN] mesure environ 4,2 cm au dixième près . Calcul de MC : On sait que : MBC est un triangle rectangle en B d’hypoténuse [MC] . Or : d’après le théorème de Pythagore MC² = MB² + BC² Donc : MC² = 5² + 5² MC² = 25 + 25 MC² = 50 MC ≈ 7,07 Le côté [MC] mesure environ 7,1 cm au dixième près . Calcul de NC : On sait que : NDC est un triangle rectangle en D d’hypoténuse [NC] . Or : d’après le théorème de Pythagore NC² = ND² + DC² avec ND = DA – AN = 5 – 3 = 2 Donc : NC² = 2² + 8² NC² = 4 + 64 NC² = 68 NC ≈ 8,24 Le côté [NC] mesure environ 8,2 cm au dixième près . c) Le triangle MNC est-il un triangle rectangle ? On sait que : • Le plus grand côté est [NC] • NC² = 68 • NM² + MC² = 18 + 50 = 58 NC² = MN² + MC² Or : d’après la réciproque du théorème de Pythagore Donc : le triangle MNC est rectangle en M. Equipe de mathématiques C.A.F.