Devoir n°4 - Fonctions - Statistiques

Devoir n°4 - Fonctions - Statistiques - 1S
29 novembre 2013 - 1h
Exercice 1 (5 points) : Soit la fonction définie par
| 4| |5
1. Déterminer l’expression algébrique de
sans valeur absolue.
Solution :
|
4 0
4 alors on a | 4|
4
5
0
5 alors on a |5 | 5
D’après le tableau ci-dessous, on a .
4;
4 5
9 2
4
5;
4 5
1
5;
4 5
9 2
|
|5
4|
|
∞
5
4
4
2. Représenter la courbe de la fonction .
Solution :
Voir figure ci-dessous.
5
4
5
3. Résoudre algébriquement l’équation
3.
Solution :
- Si
4, on a
3
9 2
3
2
6
- Si 4
5, on a
3
1 3 impossible
- Si
, on a
5
9 2
3
2
12
Source : http://cm.maths-lfb.fr
3; 6
5
4
∞
3
6
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Exercice 2 (3 points) : Voici le tableau de variations d’une fonction .
3
Variation de
−1
2
1
4
9
4
1
0
7
1. Dresser le tableau de variations de la fonction ! = −2 .
Solution :
! = −2 ,on a − 2 < 0 donc nous pouvons dire que ! a les variations contraire de .
Avec
! −3 = −2 × −3 = −2 × 0 = 0
! −1 = −2 × −1 = −2 × 2 = −4
! 1 = −2 × 1 = −2 × 1 = −2
! 4 = −2 × 4 = −2 × 9 = −18
! 7 = −2 × 7 = −2 × 4 = −8
On obtient le tableau de variation ci-dessous.
−3
Variation de g
0
−1
1
−2
−4
4
−18
7
−8
2. Dresser le tableau de variations de la fonction ℎ = & .
Solution :
On sait que
√ est croissante sur (0; +∞(
≥ 0 sur (−3; 7)
Donc la fonction ℎ a les mêmes variations que
−3
Variation de ℎ
Source : http://cm.maths-lfb.fr
0
−1
√2
1
1
4
3
7
2
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3. Dresser le tableau de variations de la fonction * = .
+
Solution :
On a :
+
est décroissante sur )0; +∞( et sur )−∞; 0(
,
= 0 pour = −3 donc la fonction * n’est pas définie en −3
Donc la fonction * a les variations inverses de
−3
−1
1
1
1
2
Variation de *
4
7
1
4
1
9
Exercice 3 (5 points) : La masse théorique d’une baguette est 125 grammes. Voici la
production du jour d’un boulanger :
Masse en !
Effectif
122
3
123 124
5
11
125
28
126
42
127
32
128
28
129
17
130
4
131
2
132
1
1. Calculer la moyenne et l’écart type - de cette série statistique (faire apparaître les calculs
dont la variance).
Solution :
Calcul de la moyenne
122 × 3 + 123 × 5 + 124 × 11 + ⋯ + 131 × 2 + 132 × 1 21892
=
=
3 + 5 + 11 + ⋯ + 2 + 1
173
La masse moyenne d’une baguette est de 126,5!
Pour calculer l’écart-type -, il nous faut d’abord trouver la variance 0:
0=
122 − 126,5
1
× 3 + 123 − 126,5 1 × 5 + ⋯ + 132 − 126,5
3 + 5 + 11 + ⋯ + 2 + 1
L’écart-type - est de 1,8
Source : http://cm.maths-lfb.fr
- = √0 = 2
561,25
≈ 1,8
173
1
×1
=
561,25
173
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2. Selon la charte de qualité de cette boulangerie, les baguettes dont la masse est à l’extérieur
de l’intervalle [
2-; + 2-) ne seront pas vendues. Quel pourcentage de la production
cela représente-t-il ?
Solution :
On a :
− 2- = 126,5 − 2 × 1,8 = 122,9
4
+ 2- = 126,5 + 2 × 1,8 = 130,1
On sait que 3 + 2 + 1 = 6 baguettes ont une masse à l’extérieur de l’intervalle
(122,9; 130,1).
Donc :
6
× 100 = 3,5
173
Soit environ 3,5% de la production est invendue.
Exercice 3 (7 points) : Un opérateur téléphonique fait une étude sur le nombre de kilooctets
(ko) envoyés par SMS par les lycéens chaque jour. Voici les résultats obtenus sur un
échantillon :
Nombre de Ko
Effectif
Fréquence en %
Fréquences cumulées
croissantes
(0 ; 10( (10 ; 20( (20 ; 30( (30 ; 50( (50 ; 80( (80 ; 120(
57
85
101
142
84
31
11,4
17
20,2
28,4
16,8
6,2
11,4
28,4
48,6
77
93,8
100
1. Compléter les fréquences et les fréquences cumulées croissantes.
Solution :
Voir tableau ci-dessus.
2. Quelle est la classe médiane du nombre de ko ? Déterminer la médiane par interpolation
linéaire.
Solution :
La médiane se trouve à 50% donc la classe médiane est (30 ; 50(
Soit les points 6 30; 48,6 et 7 50; 977
Et 8 ; 50 , on sait que :
999999: − 30; 1,4 et 67
99999: 20 ; 28,4
68
Et 8 ; 50 ∈ 67
999999: et 67
99999: sont colinéaires
68
− 30 × 28,4 − 20 × 1,4 = 0
1<×+,=
= 1>,= + 30
=3
La médiane est de 31*? environ
Source : http://cm.maths-lfb.fr
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3. Déterminer graphiquement le premier et le neuvième décile, le premier et le troisième
quartile.
Solution :
Graphiquement, on a :
9*? ; @+ = 18*? ; @A 49*? ; + 75*?
+
4. Donner la signification du premier quartile et de la médiane pour le problème.
Solution :
Au moins 25% des lycéens envoient moins de 18*? de sms chaque jour.
50% des lycéens envoient moins de 31*? de sms par jour.
5. Construire le diagramme en boîte de la série.
Solution :
Voir ci-dessous.
6. Commenter les résultats.
Solution :
50% des lycéens envoient environ entre 18 et 49*? de sms par jour : nous remarquons
que c’est assez concentré.
L’étendue de la série est de 120 donc ce qui montre que la série est dispersée par ailleurs.
Source : http://cm.maths-lfb.fr
www.ma-i.fr
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