3 Not

3ème A - B - C
Date : 23/01/2014
Durée : 2h
Brevet blanc 1 de MATHÉMATIQUES
Collège Blanche de Castille
Coefficient : 3
Note sur : 40
Présentation : /4
Consignes :
La présentation, l’orthographe et la rédaction seront notés sur 4 points.
Le sujet est composé de 8 exercices.
Les exercices peuvent être traités dans l’ordre de son choix.
L’usage de la calculatrice est autorisé (il est interdit de se les échanger) ainsi que les
instruments usuels de dessin.
L’énoncé n’est pas à rendre avec la copie.
Exercice 1 : ( /5)
Le graphique ci-contre représente la distance (en km) parcourue par un
coureur à pied en fonction de la durée de parcours (en min).
1) Quelle légende peut-on écrire sur chaque axe ?
2) a) Le coureur s’est-il arrêté ?
Si oui, pendant combien de temps approximativement ?
b) Quelle distance a-t-il parcourue au bout de 5 min ?
c) Combien de temps a-t-il mis pour parcourir 4 km?
3) On note d la fonction qui à une durée t associe la distance d(t) parcourue au bout de cette durée.
a) Quelle est l’image de 10 par la fonction d ?
b) Quel est l’antécédent de 6 ?
4) Calculer la vitesse moyenne du coureur, arrondie à 0,1 km/h, sur la totalité du parcours.
Exercice 2 : ( /3)
On considère l’expression suivante : A = (4 x + 3)² – (4 x + 3) (4 x – 3)
1. Qu’affiche la calculatrice pour
x = 10 000 000 ?
2. Démontrer que pour tout nombre x , A = 6 (4 x + 3).
3. Le résultat affiché en 1. par la calculatrice était-il correct ?
Sinon, quel résultat aurait-elle dû trouver ?
p.1/3
Exercice 3 : ( /4,5)
La copie d’un écran ci-dessous montre le travail qu’a effectué Camille à l’aide d’un tableur à propos des fonctions
g et h définies par : g( x ) = 5 x ² + x – 7 et h( x ) = 2 x – 7.
Elle a recopié vers la droite les formules qu’elle avait saisi dans les cellules B2 et B3.
1) Donner un nombre qui a pour image –1 par la fonction g.
2) Écrire les calculs montrant que : g(-2) = 11.
3) Quelle formule Camille a-t-elle saisie dans la cellule B3 ?
4) Déduire du tableau une solution de l’équation 5 x ² + x – 7 = 2 x – 7
5) Résoudre l’équation x (5 x – 1) = 0
6) Bonus :
L’ équation 5 x ² + x – 7 = 2 x – 7 a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur en 4) ?
Exercice 4 : ( /7,5)
Isidore a regroupé ses notes en français de l’année dans le tableau ci-dessous.
Note
7
9
Effectif
2
1
Effectifs cumulés
1. Recopier et compléter le tableau.
11
3
12
3
15
1
2. Calculer sa note médiane.
3. Déterminer les premier et troisième quartiles.
4. Calculer la note moyenne d’Isidore et calculer le pourcentage de ses notes supérieures à cette moyenne.
5. Indiquer les résultats qui permettent d’affirmer :
a) Si Isidore avait eu la même note à tous les contrôles de l’année, cette note aurait été de 10,7.
b) Au moins la moitié des notes d’Isidore est comprise entre 9 et 12.
c) La valeur 11 partage la série en deux sous-groupes de même effectif.
d) Au plus, un quart des notes d’Isidore est supérieur à 12.
p.2/3
Exercice 5 : ( /3)
A/ Effectuer le calcul ci-dessous et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :
2   2 1 
A = × 1 −  + 
5   3 4 
B/ Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète sera prise en compte.
Un bijoutier vend des colliers en or et en argent.
1) Parmi les colliers en or, deux tiers sont en or jaune, un quart sont en or blanc et le reste en or rose.
Calculer la proportion de colliers en or rose parmi les colliers en or.
2) Trois cinquièmes des colliers sont en argent et les autres en or.
Calculer la proportion de colliers en or rose parmi l’ensemble des colliers.
Exercice 6 : ( /2,5)
Pour les nouvelles technologies, l’unité de stockage des informations est l’octet. Par définition :
1 gigaoctet (Go) = 230 octets
1 téraoctet (To) = 240 octets
La capacité mémoire d’un baladeur MP3 est 8 Go.
Grâce au progrès de la technologie, sa mémoire devrait doubler tous les six mois.
Donner (en To) la capacité mémoire qu’il aura dans 3 ans et demi. Écrire ce résultat en notation scientifique.
Exercice 7 : ( /6,5)
Des élèves participent à une course à pied.
Avant l’épreuve, un plan leur a été remis.
Il est représenté par la figure ci-contre.
On convient que :
• les droites (AE) et (BD) se coupent en C.
• les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
• ABC est un triangle rectangle en A.
Calculer la longueur réelle du parcours ABCDE.
Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la
notation.
Exercice 8 : ( /4)
Le collier ci-contre est constitué de deux sortes de boules, dont la plus grosse a un rayon de 1,2 cm.
V1 désigne le volume d’une grande boule et V2 le volume d’une petite boule.
1. a) Calculer la valeur exacte de V1.
b) La grande boule est un agrandissement de rapport 4 de la petite boule.
Calculer le rayon de la petite boule en mm.
c) Par quel nombre doit-on multiplier V1 pour obtenir V2 ?
2. S’il y a 20 boules de chaque sorte, quelle est la longueur minimale de ce collier ?
p.3/3
Correction du brevet blanc n°1-2014
Exercice 1 : ( /5)
1)
Distance (en km) /0,5
2) a) Le coureur s’est arrêté au bout de 20 minutes
pendant environ 10 minutes. En effet sur le graphique la
courbe est horizontale entre 20 et 30 minutes. /1
b) Au bout de 5 minutes, il a parcouru 1 km. /0,5
c) Il a mis environ 32 minutes pour parcourir 4 km. /0,5
Durée du parcours
( en min ) /0,5
3) Soit d la fonction qui à une durée t associe la distance d(t) parcourue au bout de cette durée.
a) L’image de 10 par la fonction d est 2. /0,5
b) L’antécédent de 6 par d est 35. /0,5
4) Il a parcouru 6 km en 35 min. Or 35 min =
35
h.
60
d
6
60
d’où v =
≈ 10,3.
/1
=6×
35
t
35
60
La vitesse moyenne du coureur est donc d’environ 10,3 km/h.
On sait que v =
Exercice 2 :
( / 3)
A = (4 x + 3)² – (4 x + 3) (4 x – 3)
1) Si on prend
x = 10 000 000 , la calculatrice affiche 240 000 000
2) Démontrons que pour tout x , A = 6 (4 x + 3)
A = (4 x + 3)² – (4 x + 3) (4 x – 3)
A = (4 x )² + 2 x 4 x x 3 + 3 ² - [ (4 x )² - 3²
A = 16
A = 16
A = 24
]
/0,5
/2
x ² + 24 x + 9 – ( 16 x ² - 9)
x ² + 24 x + 9 – 16 x ² + 9
x + 18 soit A = 6 x 4 x + 6 x 3 donc A = 6 (4 x + 3)
3) Si x = 10 000 000 alors A = 6( 4 x 10 000 000 + 3 ) = 6 x 40 000 003 = 240 000 018.
Donc le résultat trouvé par la calculatrice n’est pas correct.
Elle aurait dû afficher 240 000 018.
/0,5
Exercice 3 : ( /4,5)
1) D’après le tableau, l’image par g de 1 est –1 . /0,5
2) g(-2) = 5 x (-2)²- 2 – 7 = 5 x 4 – 9 = 11. Donc on a bien g(-2) = 11. /0,5
3) Dans la cellule B3, Camille a saisi : = 2*B1-7 . /0,5
4) Une solution de l’équation 5 x ² +
x – 7 = 2 x – 7 est 0. En effet , on a g(0) = h(0) = -7. / 1
Corr
p.1/3
5) Résolvons x (5 x – 1) = 0.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul. /1
1
/0,5 + 0,5
Donc x = 0 ou 5 x – 1 = 0 soit 5 x = 1 d’où x = .
5
1
L’équation admet deux solutions : 0 et .
5
6) BONUS : 5 x ² + x – 7 = 2 x – 7
Soit 5 x ² + x – 7 - 2 x + 7 = 0 soit 5 x ² - x = 0 d’où x (5 x – 1) = 0.
1
On retrouve l’équation précédente qui admet 0 et
comme solutions. /1
5
1
Donc l’équation 5 x ² + x – 7 = 2 x – 7 admet comme autre solution
.
5
Exercice 4 : ( / 7,5)
1)
Note
Effectif
Effectifs cumulés
7
2
2
9
1
3
11
3
6
12
3
9
15
1
10
/0,5
2) L’effectif total est 10 or 10 : 2 = 5 donc la médiane est la moyenne de la 5ème et de la 6ème valeur de la série.
Donc Me =
11 + 11
= 11 .
2
La médiane de cette série est 11.
/ 1
3) Détermination de Q1 :
10
= 2,5 donc Q1 est la 3ème valeur de la série soit Q1 = 9
/1
4
Détermination de Q3 :
3
x10 = 7,5 donc Q3 est la 8ème valeur de la série soit Q3 = 12
/1
4
4) Calcul de la note moyenne d’Isidore :
7 x2 + 9x1 + 11x3 + 12x3 + 15x1
m=
= 10,7 . La note moyenne d’Isidore est 10,7.
10
Calcul du pourcentage de ses notes supérieures à cette moyenne.
Il faut prendre en compte les notes 11, 12 et 15.
3+3+1
x 100 = 70 Donc 70% de ses notes sont supérieures à la moyenne.
10
/1
/0,5
5) a) Si Isidore avait eu la même note à tous les contrôles de l’année, cette note aurait été de 10,7 :
On a utilisé la moyenne. /0,5
b) Au moins la moitié des notes d’Isidore est comprise entre 9 et 12 :
On a utilisé le premier et le troisième quartiles
/1
c) La valeur 11 partage la série en deux sous-groupes de même effectif : Il s’agit de la médiane. /0,5
d) Au plus, un quart des notes d’Isidore est supérieur à 12 : il s’agit du troisième quartile. /0,5
Corr
p.2/3
Exercice 5 : ( /3)
2   2 1 
A / A = × 1 −  + 
5   3 4 
B/1) 2/3 des colliers sont en or jaune, 1/4 sont en or blanc et le reste est en or rose donc la
proportion de colliers en or rose est :
1
2 1
1 −  +  soit
12
3 4
2 12  8
3 
A = ×  −  + 
5 12  12 12 
/1
2) Trois cinquièmes des colliers sont en argent et les autres sont en or donc :
2 1
A= × 
5  12 
A=
A=
2 ×1
5× 2×6
sont en or. Or
2
des colliers
5
1
des colliers en or sont en or rose (question B/1) donc la proportion de
12
colliers en or rose parmi l’ensemble des colliers est
/1
1
2 1
×
=
(calcul du A/).
5 12 30
/1
1
30
Exercice 6 : ( /2,5)
3 ans et demi correspondent à 7 cycles de 6 mois.
Donc la capacité mémoire qu’aura le baladeur MP3 au bout de 3 ans et demi est de :
1024 × 230
téraoctet soit 1024 × 230–40= 1024 × 2-10 To
8 × 27 = 1024 Go soit 1024 × 230 octets =
240
dont l’écriture scientifique est 1 To.
/0,5
/1,5
+0,5
Exercice 7 : ( /6,5)
• Dans le triangle ABC rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC² soit BC² = 300²+400² = 250 000 donc BC = 250 000 = 500 m.
• On considère les triangles ABC et CDE,
B ∈ (CD), A ∈ (CE) et (AB) // (DE), donc d’après le théorème de Thalès :
CB CA AB
500 400 300
=
=
soit
=
=
CD CE ED
CD 1000 ED
500×1000
1000×300
d’où
CD =
= 1250 m.
et DE =
= 750 m.
400
400
/2
/4
• La longueur ABCDE du parcours est donc : AB+BC+CD+DE = 300 + 500 + 1250 + 750 = 2800 m. /0,5
Exercice 8 : ( /4)
4
4
1. a) V1 = π R3 soit π × 1,23 = 2,304 π cm3.
3
3
b) Le rayon de la petite boule est 1,2/4 = 0,3 cm soit 3 mm.
c) Pour obtenir V2 il faut multiplier V1 par le coefficient de réduction au cube soit (1/4)3 soit 1/64
2. S’il y a 20 boules de chaque sorte, alors la longueur minimale de ce collier est : 20 × 1,2×2 + 20 × 0,3×2 soit 60 cm.
Corr
p.3/3