Entrainement 4ème

Rallye Mathématique
Poitou - Charentes
4
Épreuve d'entraînement 2017
1
1°) Complétez logiquement la ligne L2 puis la ligne L3.
2°) Sur l'annexe 2, vous pouvez voir les représentations graphiques des 3 premiers
nombres de la ligne 3. C'est la raison pour laquelle les nombres inscrits sur la ligne 3
sont appelés des nombres pentagonaux.
Dessinez les 3 nombres pentagonaux suivants.
e
Conservez soigneusement cette feuille. Vous la joindrez à votre dossier lors de
l'épreuve finale.
Nombres, formes et jeux
Assommantes suites à sommer !
Triplets pythagoriciens
A) Remontons le temps !
1°) Pourquoi (3, 4, 5) est-il un triplet pythagoricien ? (6, 7, 8) en est-il un ? Pourquoi ?
2°) Quel lien existe entre les triplets pythagoriciens et la corde à 13 nœuds ?
B) Dans cette partie, vous allez réaliser un tableau permettant d'obtenir la liste des
triplets pythagoriciens à partir de deux nombres entiers notés a et b.
Vous trouverez à l'annexe 1 les détails de sa réalisation à l'aide d'un tableur.
1°) Observez les trois dernières colonnes. Quel calcul peut-on effectuer dans la colonne J pour vérifier qu'on a trouvé un triplet pythagoricien ?
2°) Dans quelles colonnes se situent les 3 nombres qui forment, sur chaque ligne, un
triplet pythagoricien ?
3°) Quelle égalité peut-on conjecturer entre (a2 - b2)2, (2 x a x b)2 et (a2 + b2)2 ?
4°) En complétant le tableau par toutes les valeurs de a et b telles que 0 < b < a < 11,
dressez la liste de tous les triplets pythagoriciens obtenus.
Imprimez ce tableau et conservez-le pour l'épreuve finale.
Nombres qui ont du caractère
Renseignez-vous sur les nombres narcissiques. Consultez la sitographie sur le site de
la Régionale APMEP avec le lien suivant :
http://apmep.poitiers.free.fr/spip.php?article265
1°) Combien existe-il de nombres narcissiques à 1 chiffre, à 2 chiffres ?
2°) Quel est l'autre nom donné aux nombres narcissiques ?
3°) Qui était Narcisse ?
4°) Quelle est la légende qui le concerne ?
5°) Citez un nombre narcissique de 3 chiffres. Illustrez-le de façon humoristique (ou
autre...). Vous joindrez votre dessin au dossier de l'épreuve finale.
Nombres en forme
Observez le tableau ci-contre.
L1
L2
L3
1
1
3
4
5
3
7
12
3
10
3
3
Fabien et Maïté sont tous les deux fans de jeux de société et de défis arithmétiques.
Ils viennent d'acheter un nouveau coffret de jeux de cartes constitué de deux
paquets de cartes. Au recto, toutes les cartes sont identiques (avec le logo du Rallye).
Le premier paquet comporte 54 cartes ; au verso, 27 sont vertes et 27 sont rouges.
Les cartes vont par paires suivant les règles suivantes :
- chaque carte rouge ou verte comporte une certaine série de nombres entiers consécutifs.
- pour chaque paire, la somme des nombres inscrits sur la carte rouge est égale à la
somme des nombres inscrits sur la carte verte.
On a représenté sur l'annexe 3 les quatre premières paires de cartes.
1°) Quels nombres doivent être inscrits sur la paire suivante ?
2°) Quel est le premier nombre inscrit sur la carte rouge de la paire "6" ? Combien
de nombres devra comporter cette carte rouge si on les écrit tous ?
3°) Quel est le dernier nombre inscrit sur la carte verte de la paire "6" ? Combien de
nombres devra comporter cette carte verte si on les écrit tous ?
4°) À partir de la paire "6", pour des raisons de place sur les cartes, seuls sont
inscrits le premier et le dernier nombre de la série. On matérialise les nombres
intermédiaires par des points de suspension. La paire "7", par exemple, est représentée sur l'annexe 3.
Quelle remarque pouvez-vous faire sur le premier nombre de chaque carte ?
5°) Fabriquez les cartes de la paire "13" ; donnez le nombre de termes de la somme
de la carte rouge et le nombre de termes de la somme de la carte verte.
Combien vaut la somme des termes de la carte rouge ? de la carte verte ?
Vous joindrez ces deux cartes à votre dossier lors de l'épreuve finale.
À vous de jouer !
Sur les annexes 4 et 5, sont présentées les règles de deux jeux à réaliser avec les
cartes du coffret. Essayez-les et entraînez-vous pour l'épreuve finale !
Doublon (10 points)
5
9
8
7
4
2
2
1
Dans une suite de dix chiffres, tous les chiffres de 1 à 9 sont utilisés.
4 Slalom
3
6
Trouvez cette suite sachant que :
– le deuxième chiffre est la somme du troisième et du cinquième
– les trois premiers chiffres sont pairs et différents les uns des autres
– le cinquième chiffre représente le carré du troisième
– le quatrième chiffre représente la différence entre le premier et le dernier
chiffre
– le septième chiffre représente la somme du premier et du dernier chiffre mais
aussi la somme des deux chiffres qui le précèdent
– les trois premiers chiffres forment un nombre qui est le double du nombre formé
par les trois derniers chiffres.
3
Le vélodrome (10 points)
Alex fait le tour d’une piste circulaire en 40 s. Alain, courant dans le sens opposé, croise Alex toutes les 15 s.
Quel est, en secondes, le temps mis par Alain pour boucler un tour de piste ?
(15 points)
Romain, débutant en ski, a effectué son premier slalom.
La ligne de départ et la ligne d'arrivée sont parallèles.
Il est parti de la ligne de départ
en faisant un angle de 110°, a
passé la porte A en faisant un
angle de x°, puis la porte B en faisant un angle de 35° et a enfin
franchi la ligne d'arrivée en faisant un angle de x°.
C'était le fun !
Est-ce encore le fun pour trouver
la valeur de x ?
5
Ligne de départ
110°
B
x°
35°
x°
A
Ligne d'arrivée
(15 points)
The captain's age
Today, Tuesday March 17th, is Captain Lucas Lendar's birthday. His faithful friend
Anny Versary notices that his age now equals four times the sum of the figures of
the year of his birth.
How old is the captain ?
La edad del capitán
Hoy martes 17 de marzo, es el cumpleaños del capitán Lucas Lendario. Su amiga fiel
Anne de Pluz nota que su edad es cuatro veces la suma de las cifras de su año de
nacimiento.
¿ Cuántos años tiene el capitán ?
Das Alter des Kapitäns
Heute, 17. März, ist der Geburtstag des Kapitäns Luka Lender. Seine treue Freundin
Anne stellt fest, dass er vier mal so alt ist wie die Summe der Zahlen seines
Geburtsjahres.
Wie alt ist der Kapitän ?
Bulletin - réponse
Épreuve d'entraînement 2017
2
Doublon (10 points)
Écrivez la suite des chiffres dans les dix cases :
Explications :
3
Le vélodrome (10 points)
Alain boucle un tour de piste en .........................................
Explications :
4
Slalom (15 points)
La mesure x de l'angle vaut : .....................
Explications :
5
L'âge du capitaine (15 points)
Âge du capitaine : .....................
Explications :
4
Bulletin - réponse
e
Épreuve d'entraînement 2017
2
Doublon (10 points)
Écrivez la suite des chiffres dans les dix cases :
Explications :
3
Le vélodrome (10 points)
Alain boucle un tour de piste en .........................................
Explications :
4
Slalom (15 points)
La mesure x de l'angle vaut : .....................
Explications :
5
L'âge du capitaine (15 points)
Âge du capitaine : .....................
Explications :
4
e
Rallye Mathématique Poitou - Charentes
Annexe 2
Épreuve d'entraînement 2017
7
6
8
15
13 14
11 12
Une fois mélangées, les cartes sont toutes posées face cachée sur la
table. On doit retrouver les paires en retournant les cartes deux par
deux chacun son tour. Si la paire est bonne, on la prend ; si elle est
mauvaise, les cartes sont remises faces cachées.
Maïté a retourné les cartes ci-contre. Quelles cartes souhaite-t-elle
que Fabien retourne pour espérer faire une paire la prochaine fois
qu'elle va jouer ?
Le jeu du mémo
650
...
625
?
21 22
23 24
?
360
...
343
63
...
57
56
...
49
16 17
18 19
20
9 10
Paire " 7 "
Voici la septième
paire de cartes.
Paire " 5 "
Paire " 4 "
Paire " 3 "
Assommantes suites à sommer - Jeu à deux
Annexe 4
3
2
4
1
5
Paire " 2 "
Paire " 1 "
Voici les quatre premières paires de cartes.
Quelle est la cinquième paire ?
Assommantes suites à sommer
Annexe 3
- dans les colonnes C, D et E, calculer les valeurs de a2 - b2, de 2 x a x b et de a2 + b2.
- dans la colonne F, calculer la valeur de (a2 - b2)2.
- dans la colonne G, calculer la valeur de (2 x a x b)2
- dans la colonne H, calculer la valeur de (a2 + b2)2
À l'aide de formules correspondant aux calculs demandés que vous pourrez « tirer vers le bas », complétez les colonnes C, D, E, F, G et H de la manière suivante :
- dans la colonne A, inscrire les valeurs de a : 2, 3, 7, 7, 10
- dans la colonne B, inscrire les valeurs de b : 1, 1, 3, 5, 8.
Avec un tableur, réalisez les instructions suivantes :
Fabriquer des triplets pythagoriciens
Annexe 1
Épreuve d'entraînement 2017
Rallye Mathématique Poitou - Charentes
1
3
2
20 21
...
168
...
110
157
783
132
100
...
757
81
...
73
99
...
91
...
121
210
...
196
156
...
143
...
575
...
553
323
...
308
440
...
421
528
507
Le jeu n'est pas terminé. À bientôt lors de l'épreuve finale !
A-t-il le pouilleux ? Si oui, quelle est cette carte
(qui ne lui permettra pas de faire une paire) ?
Quatrième manche
Ladji, après avoir fait toutes ses paires, se
retrouve avec les quatre cartes ci-contre.
A-t-elle le pouilleux ? Si oui, quelle est cette carte
(qui ne lui permettra pas de faire une paire) ?
Troisième manche
Angelina, après avoir fait toutes ses paires, se
retrouve avec les quatre cartes ci-contre.
A-t-il le pouilleux ? Si oui, quelle est cette carte
(qui ne lui permettra pas de faire une paire) ?
Deuxième manche
Chang, après avoir fait toutes ses paires, se
retrouve avec les quatre cartes ci-contre.
A-t-il le pouilleux ? Si oui, quelle est cette carte
(qui ne lui permettra pas de faire une paire) ?
Première manche
Fabien, après avoir fait toutes ses paires, se
retrouve avec les quatre cartes ci-contre.
Fabien et Maïté jouent avec Chang, Angelina et Ladji.
Le jeu se déroule en 4 manches, à chaque manche, on change la carte « pouilleuse ».
701
...
676
240
...
225
600
...
576
756
...
729
22 23
Dans un deuxième paquet, il y a dix cartes qui ne peuvent faire partie d'aucune
paire comme celles ci-contre.
On incorpore l'une d'entre elles au 54 cartes du premier paquet. Cette carte
ne pourra faire partie d'aucune paire. C'est le « pouilleux ». On distribue
toutes les cartes aux cinq joueurs, chacun regarde ses cartes et doit reconstituer les paires. Dès qu'il en possède une, il la pose sur la table face visible
pour les autres joueurs.
Lorsque aucun joueur ne peut plus faire de paires, le premier joueur fait tirer une des cartes de son jeu au
joueur placé à sa gauche. Si le deuxième joueur peut faire une paire avec la carte tirée il la pose sur la table
puis fait tirer une carte de son jeu au joueur placé à sa gauche, sinon, il fait directement tirer une carte de
son jeu au joueur placé à sa gauche. Le perdant est celui qui termine le jeu avec le pouilleux dans ses mains.
Le jeu du pouilleux
Annexe 5
Épreuve d'entraînement 2017
Rallye Mathématique Poitou - Charentes