Un pont entre deux îles

Un pont entre deux îles
Lucas Bard, Florian Béraud-Aucejo, Mélanie Chanthavong,
Amélie Mattmann, Louis Monnier, Johanna Pedretti,
Fabian Tomas, Lisa Scognamillo, Hélia Servet
Atelier Math.en.JEANS 2009-2010
Collège Jules Vallès – Fontaine (Isère)
Le problème
Dans la ville de Königsberg, il y a un fleuve contenant deux îles et sept ponts comme ci-dessous.
Est il possible de faire une balade qui traverse chaque pont une et une seule fois seulement et qui se
termine au point de départ ?
Et une balade qui traverse chaque pont une et une seule fois seulement et qui ne se termine pas au
point de départ ?
Imaginez d'autres villes avec d'autres systèmes d'îles reliés par des ponts.
Nous avons étudié quelques cas particuliers. D'abord nous avons étudié la situation sans ile,
puis avec une ile et enfin des cas avec deux iles.
Sans île
On peut toujours faire une ballade !
Si le nombre de ponts est impair, on traverse.
Si le nombre de ponts est pair, on revient au
point de départ.
Une île
1er cas: L'île n'est reliée qu'à une berge
On peut toujours faire une ballade !
Si le nombre de ponts est pair, on revient au
point de départ.
Si le nombre de ponts est impair, on ne revient
pas au point de départ.
2e cas :L'île est reliée aux deux berges
On peut toujours faire une ballade !
Si le nombre de ponts est impair, on traverse.
Si le nombre de ponts est pair, on revient au
point de départ.
REGLE N°1 :
Si le nombre de ponts est pair sur chaque berge, on revient au point de départ (si on part de la
berge on revient sur la berge, si on part de l'ile on revient sur l'ile).
Si le nombre de ponts est impair sur l'une des berges, on ne revient pas au point de départ.
REGLE N°2 :
Si l'ile est reliée à chaque berge par un nombre impair de ponts on traverse le fleuve.
REGLE N°3 :
Si l'ile est reliée à une berge par un nombre pair de ponts et à l'autre berge par un nombre
impair de ponts alors la balade par de la berge pour finir sur l'ile ou inversement.
Deux îles sans pont entre elles
Notations
I
P
I
I
On appelle P ou I le nombre de ponts partant de chaque île et arrivant sur chaque berge selon qu'il
est pair ou impair. Ci-dessus, la cas sera noté (II ; PI).
Cas (PP ; PP)
La ballade est possible et on revient au point de départ.
On applique la REGLE N°1 pour chaque ile.
Cas (II ; II)
La ballade est possible et on revient au point de départ.
On applique la REGLE N°2 à la première ile et on traverse le fleuve, puis on applique aussi la
REGLE N°2 à la deuxième ile et on retraverse. On est donc revenu au point de départ.
Cas (PP ; II)
La ballade est possible et on ne revient pas au point de départ.
On applique la REGLE N°1 à la première ile donc on revient au point de départ. Puis d'après la
REGLE N°2 appliquée à la deuxième ile on traverse le fleuve.
Cas (PP ; PI)
La ballade est possible et on ne revient pas au point de départ.
On applique la REGLE N°1 à la première ile, on revient donc au point de départ. D'après la REGLE
N°3 il faut rentrer sur la 2eme ile côté impair. La balade se finit sur la 2eme ile.
Cas (II ; PI)
La ballade est possible et on ne revient pas au point de départ.
On applique la REGLE N°1 à la première ile et on traverse le fleuve. On applique la REGLE N°3 à
la 2eme ile. Il faut entrer sur la 2eme ile côté impair. La balade finit sur la 2eme ile.
Cas (PI ; PI)
La ballade est possible et on ne revient pas au point de départ.
On applique la REGLE N°3 à la première ile en partant de l'ile et d'après la REGLE N°3 on finit sur
la 2eme ile.
Cas (IP ; PI)
La ballade est impossible.
D'après la REGLE 3 pour la première ile, on part de l'ile et on sort côté impair donc on va rentrer
sur la deuxième ile côté pair. Il est alors impossible de faire une balade.
Deux îles avec un pont entre elles
Si les ponts sont placés de façon symétrique : cas (IP ; PI)
La ballade est possible et on ne revient pas au point de départ.
C'est possible car ce type de cas se rapporte (en le simplifiant en reliant les ponts entre eux) aux cas
où on a 2 berges sans îles. Par exemple, ce cas là se rapporte à 3 ponts sans îles.
Donc pour le cas de Königsberg ce n'est pas possible car il ne se rapporte à aucun des cas
connus.