PHQ606 Physique Nucléaire 2

PHQ606 Physique Nucléaire 2
23 décembre 2008
Autiwa
2
TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1 Propriétés générales des collisions
1.1
1.2
1.3
3
Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1
Conservation de l'impulsion totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2
Conservation de l'énergie totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.3
Conservation du moment cinétique total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.4
Autres lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
référentiel d'étude
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.1
Référentiel du laboratoire R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.2
Référentiel du laboratoire R* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Propriétés des collisions élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.1
4
Lois de conservations supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Cinématique des collisions élastiques dans le référentiel du laboratoire
4
2.1
Étude dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Changement de référentiel de R* à R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
Représentation Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.4
Relations entre les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.5
Perte d'énergie de la particule 1 dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Notion de sections ecaces diérentielles
6
4 Collisions Inélastiques
6
4.1
Propriétés Générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.1.1
Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.1.2
Bilan énergétique d'une excitation nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.1.3
Bilan énergétique d'une réaction nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Énergie seuil des processus endoénergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.2.1
Référentiel du centre de masse R* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.2.2
Dans le référentiel du laboratoire R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.3
Cinématique des réactions nucléaires dans le référentiel du laboratoire . . . . . . . . . . .
9
4.4
Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.4.1
Conservation de l'énergie totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.4.2
Conservation de l'impulsion totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Équation en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2
4.5
1
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COLLISIONS
1
3
Propriétés générales des collisions
1.1
Lois de conservation
1.1.1 Conservation de l'impulsion totale
X→
X→
−
−
pi =
pf
i
(1.1)
f
→
−
→
−
pour une particule matérielle on a : p = m v
→
−
pour un photon on a p = hν
ê
c k
où hν est l'énergie du photon et êk sa direction de propagation.
1.1.2 Conservation de l'énergie totale
X
Ei =
i
X
Ef
(1.2)
f
Pour une particule matérielle on a : Ei = Eci + Ui
où Eci = 21 mv 2 est l'énergie cinétique et
Ui = mc2 + Ei ∗ l'énergie interne (Ei ∗ est l'énergie d'excitation).
Pour un photon, on a Ei = hν
1.1.3 Conservation du moment cinétique total
Pourquoi j'ai rien à mettre là dedans ? ?
1.1.4 Autres lois
conservation de la charge électrique
conservation du nombre de masse
conservation du nombre leptonique
1.2
référentiel d'étude
1.2.1 Référentiel du laboratoire R
Très souvent, celà correspond au référentiel dans lequel la cible est xe
1.2.2 Référentiel du centre de masse R∗
c'est le référentiel où :
X−
→ X −→∗ →
−
pi ∗ =
pf = 0
i
(1.3)
f
Dans le cas général, on a cette relation :
→
−
→
−
→
−
m1 v1 + m2 v2
v R∗/R =
m1 + m2
→
−
→
−
Si dans le référentiel du laboratoire, la particule 2 est xe, alors v2 = 0 . Dans la suite du cours,
on utilisera cette relation, car on fera toujours en sorte que la particule 2 soit xe dans le référentiel du
laboratoire.
→
−
v R∗/R =
−
m1 →
v1
m1 + m2
(1.4)
4
1.3 Propriétés des collisions élastiques
1.3
Propriétés des collisions élastiques
On appellera Collision élastique une collision où la nature et le nombre des particules dans leur état
asymptotique, sont les mêmes.
1.3.1 Lois de conservations supplémentaires
a) Énergie cinétique totale
X
Eci =
i
X
Ecf
(1.5)
f
Cette loi est vraie dans tout les référentiels d'études.
b) L'impulsion est conservée dans R∗
→
−
Dans le référentiel du centre de masse, les normes de p sont égales et conservées.
−→ −→ −→ −→
∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗
p1 = p1 = p2 = p2 (1.6)
c) Schéma d'une collision élastique dans R∗
On représente les vecteurs impulsions dans les deux états asymptotiques
−→
→
−
→
−
Soit la relation entre p1 ∗ en fonction de v1 . Avec v1 vitesse de A1 dans le référentiel du laboratoire.
−→∗
→
−
p1 = µ v1
(1.7)
Avec µ la masse réduite du système et qui vaut :
µ=
m1 m2
m1 + m2
Cette relation est vraie pour toutes les collisions.
Si la collision est élastique, on a de plus :
−→ −→ −→ −→
∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗
p1 = p1 = p2 = p2 = µv1
2
(1.8)
Cinématique des collisions élastiques dans le référentiel du laboratoire
2.1
Étude dans (R)
Déterminer les énergies des particules dans un état nal dans le référentiel du laboratoire. On considère
→
−
→
−
que le mouvement est plan dans R car p2 = 0 .
Les angles θ1 et θ2 ont des valeurs diérentes !
2 CINÉMATIQUE DES COLLISIONS ÉLASTIQUES DANS LE RÉFÉRENTIEL DU
LABORATOIRE
2.2
5
Changement de référentiel de R∗ à R
→
−
→
−
Expression de p01 et p02 en fonction des impulsions dans R∗ .
→
−0
→
−
p1 = m1 v10
−→ →
−
= m1 v10 ∗ + v R∗/R
−→
−
m1 →
v1
= p01 ∗ + m1 ×
m1 + m2
−→ m1 →
−
= p01 ∗ +
µ v1
m2
Or :
−→∗
→
−
p1 = µ v1
D'où :
−→ m1 −→∗
→
−0
p1 = p01 ∗ +
p1
m2
(2.1)
→
−0
→
−
p2 = m2 v20
−→ →
−
= m2 v20 ∗ + v R∗/R
−→
−
m2 m1 →
v1
= p02 ∗ +
m1 + m2
−→ −→
= p02 ∗ + p1 ∗
D'où :
−→ −→
→
−0
p2 = −p01 ∗ + p1 ∗
2.3
Représentation Graphiques
2.4
Relations entre les angles
(2.2)
π − |θ∗ |
2
sin(θ∗ )
tan(θ1 ) = m1
+ cos(θ∗ )
m2
(2.3)
|θ2 | =
(2.4)
si m2 m1 , alors tan(θ∗ ) ≈ tan(θ1 )
d'où θ1 ≈ θ∗ . D'où, le référentiel du laboratoire est environ le référentiel du centre de masse.
2.5
Perte d'énergie de la particule 1 dans R
Dans R on a :
(2.5)
Ec1 = Ec1 0 + Ec2 0
∆Ec1 =
m1 m2
4
sin2
(m1 + m2 )2
0
= Ec2
/R
θ∗
2
× Ec1/R
(2.6)
(2.7)
6
3
Notion de sections efficaces différentielles
→
−
Soit un faisceau de particules incidentes de densité volumique nV et de vitesse v . Le courant du
faisceau est déni par :
→
−
→
−
J = nV v
(3.1)
→
− J représente le nombre de particules traversant une surface unité perpendiculaire à la vitesse en
une seconde.
Le détecteur intercepte les particules diusées entre les angles θ et θ + dθ ; et les angles ϕ et ϕ + dϕ.
Le détecteur détecte les particules émises sur un angle solide :
(3.2)
dΩ = sin θ dθ dϕ
Pendant le temps dt on détecte N particules :
N (θ, ϕ) =
dσ
dΩ
→
− (θ, ϕ) J dΩ dt
(3.3)
→
− Le coecient de proportionnalité entre N et J est la section ecace diérentielle .
4
Collisions Inélastiques
4.1
Propriétés Générales
4.1.1 Dénition
Le nombre et la nature des particules dans les états asymptotiques avant et après la collision sont
diérents.
Il y a deux catégories de collisions inélastiques :
Nombre et nature des noyaux inchangés mais on a des photons (γ ) en voie de sortie : Excitation
nucléaire
A + B −→ A + B ∗ −→ A + B + γ
(4.1)
Nombre et nature des noyaux sont changés : Réaction nucléaire .
Exemple :
4
2
He + 9 Be →
12
C+n
(4.2)
Où de manière équivalente :
9
Be
4
2
He, n 12 C
Tout se passe comme si on avait un état intermédiaire entre l'état initial et l'état nal . C'est le
noyau composé
4
2
He + 9 Be →
13 ∗
C
|{z}
→ 12 C + n
(4.3)
noyau composé
Le noyau composé a un statut virtuel, c'est juste un intermédiaire de calcul qui n'a pas de réalité
physique. Il est non observable. Ce noyau composé ne vérie par simultanément la conservation de
l'énergie totale et de l'impulsion totale dans le référentiel du centre de masse.
4
COLLISIONS INÉLASTIQUES
7
4.1.2 Bilan énergétique d'une excitation nucléaire
L'excitation :
(4.4)
A + B → A∗ + B ∗
On applique la conservation de l'énergie totale :
X
X
(Eci + Ui ) =
(Ecf + Uf )
i
(4.5)
f
La nature des noyaux n'a pas changé :
X
X
X
Eci =
Ecf +
Efex
|{z}
i
f
f
(4.6)
>0
Avec Efex l'énergie d'excitation de la particule f
Il n'y a donc pas conservation de la somme des énergies cinétiques.
L'excitation nucléaire est un processus endoénergétique . On doit apporter de l'énergie au départ, via
les énergies cinétiques des particules. Ce processus est impossible si :
X
(4.7)
Eci = 0
i
4.1.3 Bilan énergétique d'une réaction nucléaire
On se place dans le cas où les noyaux produits sont dans leur état fondamental.
(4.8)
A+B →C +D+E
Conservation de l'énergie cinétique totale :
X
(Eci + Ui ) =
i
X
X
(4.9)
(Ecf + Uf )
f
(Eci + Mi c2 ) =
i
X
(4.10)
(Ecf + Mf c2 )
f
!
X
Eci =
i
X
X
Ecf −
f
2
Mi c −
i
|
X
(4.11)
2
Mf c
f
{z
Q
}
Avec Q la Chaleur de réaction nucléaire
Q = 0 : la collision est élastique
Q > 0 : Le processus est exoénergétique . Il est donc possible même si la somme des énergie cinétique
de départ est nulle. Le processus libère de l'énergie.
Exemple : Centrale nucléaire
Q < 0 : Le processus est endoénergétique .C'est un processus à seuil , c'est à dire qu'on doit fournir
au minimum une certaine énergie pour que la réaction aie lieu. Donc, réaction impossible si :
X
Eci = 0
i
8
4.2
4.2
Énergie seuil des processus endoénergétiques
Énergie seuil des processus endoénergétiques
On a un processus endoénergétique si on a une excitation nucléaire ou si on a une réaction nucléaire
avec Q < 0.
4.2.1 Référentiel du centre de masse R∗
X−
→ X −→∗ →
−
pi ∗ =
pf = 0
i
f
On cherche ( i Eci ∗ ) minimal pour que la réaction aie lieu. Cette énergie est minimale si la réaction
a lieu et que les particules à la n de réaction sont au repos dans le référentiel du centre de masse :
P
X
Ecf ∗ = 0
(4.12)
f
D'où :
!min
X
Eci
∗
= −Q
(4.13)
i
4.2.2 Dans le référentiel du laboratoire R
On considère la particule 2 comme xe dans le référentiel du laboratoire, elle constitue notre cible.
On cherche Eci minimale qui permet de faire la réaction ou l'excitation nucléaire.
X
∗
∗
Eci ∗ = Ec1
+ Ec2
(4.14)
i
1
1
m1 v1∗ + m2 v2∗
2
2
2 1
2
→
→
−
−
1
− →
− →
= m1 v1 − v R∗/R + m2 v2 − v R∗/R 2
2
=
(4.15)
(4.16)
On a de plus :
→
−
→
−
v2 = 0
→
−
v R∗/R =
−
m1 →
v1
m1 + m2
D'où :
X
Eci ∗ =
i
m2 →
m1 →
− 2 1
− 2
1
m1 v1 + m2 v1 2
m1 + m2
2
m1 + m2
−2
1 m1 m2 →
v1
2 m1 + m2
m2
Ec1
=
m1 + m2
=
D'où :
Ec1 =
m1 + m2 X
Eci ∗
m2
i
(4.17)
P
Si un
processus nécessite l'énergie i Eci ∗ dans R∗ , alors ce même processus nécessite l'énergie Ec1 =
P
m1 +m2
Eci ∗ dans R.
i
m2
On obtient donc nalement, dans le référentiel du laboratoire, l'énergie de seuil suivante :
(Ec1 )
min
=−
m1 + m2
Q
m2
(4.18)
4
COLLISIONS INÉLASTIQUES
9
4.3
Cinématique des réactions nucléaires dans le référentiel du laboratoire
4.4
Lois de conservation
Réaction nucléaire : X (a, b) Y
X
a
Les caractéristiques des particules sont les suivantes :
b
Y
MX
→
−
Ma , Eca , va
→
−
Mb , Ecb , vb
→
−
MY , Ecy , vy
4.4.1 Conservation de l'énergie totale
Eca = Ecb + Ecy − Q − Ebex − Eyex
(4.19)
4.4.2 Conservation de l'impulsion totale
selon l'axe x :
Ma va = Mb vb cos θ + My vy cos ϕ
(4.20)
0 = Mb vb sin θ + My vy sin ϕ
(4.21)
p
(4.22)
selon l'axe y :
Mv =
2M Ec
Finalement :
selon x :
p
p
p
2Ma Eca = 2Mb Ecb cos θ + 2My Ecy cos ϕ
(4.23)
selon y :
0=
4.5
p
p
2Mb Ecb sin θ + 2My Ecy sin ϕ
(4.24)
"Équation en Q" : lien entre Ecb , Eca , θ et Q et l'énergie d'excitation
On va éliminer Ecy et ϕ
Mb Ecb sin2 θ = My Ecy sin2 ϕ
(4.25)
On la réinjecte dans les équations précédentes.
Après moulte calcul on trouve :
Eca (Ma − My ) + Ecb (My + Mb ) − 2
p
Ma Mb Eca Ecb cos θ − My Q − Ebex − Eyex = 0
On peut dans des exemples concrets, déterminer Eb en fonction de θ
(4.26)
10
4.5
êy
A1
→
−0
p1
êx
0
θ1
→
−
p1
→
−0
p2
θ2
A2
Fig.
1 Schéma de la collision dans (R)
b
a
θ
X
ϕ
Y
Fig.
2 Schéma de la collision dans (R)
êx
Équation en Q