Chapitre 8. Mouvement circulaire uniforme
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Chapitre 8. Mouvement circulaire uniforme
CHAPITRE 8 UNIFORME. : LE MOUVEMENT CIRCULAIRE 1. Définitions Comment peut-on décrire le mouvement d’une voiture roulant à vitesse constante dans un virage, de l'extrémité d'une pale d'une éolienne, d’un satellite en orbite autour de la terre, ou même de la Terre autour du Soleil ? On peut donner un premier élément de réponse à cette question en assimilant ces mouvements à des cercles ou des arcs de cercles, parcourus à vitesse constante. Ce mouvement hypothétique pour lequel la trajectoire est circulaire et l'intensité de la vitesse est constante est appelé mouvement circulaire uniforme (MCU). Bon nombre de mouvements rencontrés dans la nature s'en approchent suffisamment pour en justifier l'étude. Pour en faciliter la description, nous opterons pour la définition suivante. Un mobile est animé d'un mouvement circulaire uniforme (MCU) s’il se déplace sur un cercle en parcourant des arcs de longueurs égales en des temps égaux. Il découle de la définition du mouvement circulaire uniforme que la longueur de l'arc parcouru est proportionnelle au temps. Dès lors, la vitesse linéaire est une constante du mouvement et peut être déterminée en considérant n'importe quel intervalle de temps. Lorsque l'intervalle de temps considéré est égal à la période de rotation, la longueur de l'arc de cercle parcouru est égale à la circonférence du cercle. L'expression de la vitesse linéaire est alors v= 2 R T (8.2) L'unité SI de la vitesse linéaire est le m/s. Vitesse angulaire La vitesse angulaire (aussi appelée fréquence angulaire), notée ω, est l’amplitude en radians de l’angle au centre ∆α balayé par le mobile par unité de temps (figure 8.2). Il s'agit donc du rapport = t (8.3) Dans le cas d'un MCU cette grandeur est constante. Figure 8.1 Définition du MCU Deux constantes fondamentales d'un tel mouvement sont le rayon R du cercle décrit par le mobile et période de rotation (temps que dure un tour complet) notée T. 2. Vitesse linéaire et vitesse angulaire Deux concepts de vitesse s'avèrent utiles pour décrire les mouvements circulaires uniformes : la vitesse linéaire et la vitesse angulaire. Vitesse linéaire La vitesse linéaire est la longueur d’arc de cercle ∆s parcourue par unité de temps, il s'agit donc du rapport : s v= t Figure 8.2. Vitesse angulaire Le mobile faisant un tour de cercle en une période, un angle de 2π radians est balayé en un temps T. La vitesse angulaire est donc = 2 T (8.4) L'unité SI de la vitesse angulaire est le rad/s. On déduit des expressions (8.2) et (8.4), la relation entre vitesse angulaire et linéaire: v=⋅R (8.5) (8.1) Physique 5e – Chapitre 8 – Page 1/3 Exemple numérique L’aiguille des heures d’une montre mesure 7mm. Que valent la vitesse linéaire et la vitesse angulaire de son extrémité ? Le temps pour faire une tour complet est T = 12h = 43200s. La vitesse linéaire est donc : −3 −6 v=2 R/ T =2⋅7⋅10 / 43200≃1,02⋅10 m / s La vitesse angulaire est de : −4 = 2 /T =2 / 43200≃1,45⋅10 rad / s La vitesse angulaire d’une aiguille des heures est la même pour toutes les montres et horloges. La vitesse linéaire, par contre, dépend de la longueur de l’aiguille. 3. Accélération centripète 3.1. Orientation du vecteur accélération Bien que la vitesse linéaire soit constante, ce mouvement n’étant pas rectiligne, la direction du vecteur vitesse varie au cours du temps. Il existe dès lors une accélération. Afin de déterminer l'orientation du vecteur accélération, construisons le vecteur accélération moyenne sur un intervalle de t e m p s [t,t'] relativement petit. Les vecteurs vitesse instantanée aux instants t et t' sont tangents à la trajectoire (perpendiculaires au rayon) et ont la même longueur car l'intensité de la vitesse est constante. Le vecteur accélération moyenne a la même orientation que le vecteur variation de vitesse. Supposons que le vecteur accélération moyenne corresponde au vecteur accélération instantanée à un instant de l'intervalle [t,t'], il semble judicieux de lui attribuer le milieu de l'intervalle. Dès lors, en représentant le vecteur accélération sur la position occupée par le mobile à cet instant, on constate que celui-ci pointe vers le centre du cercle, l'accélération est qualifiée de centripète et est notée ac Figure 8.4. Accélération centripète 3.2. Intensité du vecteur accélération Sur la figure ci-dessous, sont représentées les vecteurs vitesse instantanée du mobile ( v et v ' ) pour deux positions successives de celui-ci (M et M') aux instant t et t' et le vecteur variation de vitesse. Les triangles CMM’ et M’PP’ sont semblables. En effet, ces triangles sont isocèles et les angles MCM' et PM'P' ont la même amplitude, puisque leurs côtés homologues sont perpendiculaires. Figure 8.5. Intensité de l'accélération centripète On a alors la relation de proportionnalité : v PP ' M ' P v = ⇔ = MM ' CM MM ' R Isolons v dans la dernière égalité v= Figure 8.3. Vecteur accélération moyenne (8.6) v⋅MM ' R (8.7) Au plus l'intervalle de temps est petit, au plus la longueur MM ' est proche de celle de l’arc de cercle MM ' ', donc de la distance parcourue par le mobile dans cet intervalle de temps. Physique 5e – Chapitre 8 – Page 2/3 MM ' ≃ MM ' =v t . (8.8) En introduisant (8.8) dans (8.7), on obtient pour un petit intervalle de temps 2 v⋅MM ' v⋅v⋅ t v ⋅ t v= ≃ = R R R (8.9) v t (8.10) En remplaçant v par son expression (8.9) on o b t ie n t u n e e xp r e s s i o n d e l ' i n t e n s it é d e l'accélération centripète. 2 a c= v v ⋅ t v 2 = = t t⋅R R L' intensité de la force centripète peut être déterminée par la loi fondamentale de la dynamique et la relation (8.12). 2 Par définition, l'intensité de l'accélération instantanée est égale au rapport de la variation de vitesse et de l'intervalle de temps lorsque celui-ci tend vers zéro. a c= cercle que la pierre décrit. Cette force sert à rendre la trajectoire courbe. (8.11) F c =m a c= m v 2 =m R R (8.13) Souvent, lorsque l'on évoque la force exercée sur un mobile animé d'un mouvement circulaire, on pense à la force centrifuge ainsi appelée parce qu'elle semble tirer le mobile dans le sens opposé au centre. Cette force n’est pas réelle; il s’agit seulement de l’inertie c.à.d. la tendance naturelle des corps à poursuivre leur mouvement. Lorsque nous faisons tourner une pierre au bout d’une corde et que nous lâchons celle-ci, la pierre ne subit plus l’action de la force centripète et poursuit son mouvement rectiligne uniforme conformément au principe d'inertie. En utilisant la relation liant la vitesse linéaire et la vitesse angulaire (8.5) on obtient 2 a c= v 2 = R R (8.12) 4. Force centripète Selon la loi fondamentale de la dynamique, les vecteurs accélération et force ont la même orientation. Dès lors, la force exercée sur le mobile est également centripète et nous la notons Fc . Figure 8.7. Force centripète. De même, lorsqu'une voiture démarre brusquement nous avons l'impression qu'une force nous plaque contre le siège. De nouveau, cette force n'est pas réelle: il s'agit de la tendance naturelle de notre corps à conserver son état de repos. Figure 8.6. Force centripète. Lorsqu’on veut faire tourner une pierre attachée au bout d’une corde autour de soi, il faut sans cesse tirer la corde vers soi, c’est-à-dire vers le centre du Physique 5e – Chapitre 8 – Page 3/3