INSA de Toulouse, spécialité AEI 4`eme année Travaux

INSA de Toulouse, spécialité AEI 4ème année
Travaux Dirigés d’Automatique no2
Corrigé
Octobre 2003
KG p G p
Exercice 1
Y p Yc p D p
1 KG p 1 KG p Même si lors de la séance de TD, les calculs ont été fait avec
d t 0 pour simplifier les propos, dans ce corrigé les résultats
K
1
Y p Yc p D p
sont donnés avec d t 0. Le corrigé donne ainsi une illustra2
2
p K
p K
tion de modélisation multivariable.
De cette expression, on tire le polynôme caractéristique dont
1. Le système mécanique est décrit par les équations :
les racines sont j K. Les deux pôles sont imaginaires purs,
d mv t dy t donc le système est en limite de stabilité et présente un com u t
v t
dt
dt
portement oscillatoire en régime transitoire (d’autant plus osEn choisissant le vecteur d’état x
y ẏ (position, vitesse de cillatoire que K est élevé).
l’engin) le modèle d’état est :
On retrouve le même résultat en traçant le lieu d’Evans sous
0 1
0
M ATLAB : rlocus(g).
ẋ x u d
0 0 1 3. La représentation d’état du procédé donnée en 1. est utilisée
pour déterminer celle du système en boucle fermée sachant que
1 0 x y 0 u d
u est remplacé par K yc y :
Le système s’écrit aussi :
Ac x
Bc u d ẋ 1
y u t
ÿ t Cx
m
K yc y
u Sa fonction de transfert est:
Ac Bc KC x Bc Kyc Bc d
"! ẋ 1
G p 2
y
Cx
p
Remarque : la représentation d’état est sous forme compagne
ce qui conduit à :
de commande (voir annexe A.3.1 du poly).
A l’aide du logiciel M ATLAB :
Définir
le système
G=tf(num,den).
avec
g=ss(A,B,C,D)
ou
y
ẋ
0
1
K 0 x 0
K yc
0 d
1 1 0 x
Vérifier que les modèles sont équivalents avec tf(g) par
Ici le système admet plusieurs entrées (d et yc ) dont les actions
exemple.
sur le système ne sont pas identiques.
2. Pour étudier la stabilité du système bouclé en fonction de Le logiciel M ATLAB ne manipule pas les équations symbolK, on peut déterminer sa fonction de transfert et analyser iques. C’est pourquoi ce modèle dépendant d’un élément non
le polynôme caractéristique (dénominateur de la fonction de choisi K n’est pas possible à obtenir. Pour un choix de valeur
transfert). Y p , la transformée de Laplace de y t , s’exprime de K le modèle peut être obtenu, la démarche est légèrement
complexe, nous ne la détaillons pas ici.
en fonction de Yc p et D p de la façon suivante:
4. G z , la transformée en z du procédé (précédé du bloqueur
Y p G p U p D p d’ordre zéro) échantillonné est donnée par la formule suivante :
Y p KG p Yc p Y p G p D p Y p 1 G z $#% B0 p G p &
KG p KG p Yc p G p D p 1
z 1
#
z
G p
p ce qui, après simplification, compte tenu de la valeur de T 2s, ce qui permet de retrouver immédiatement l’expression de
donne :
Y z .
2 z 1
G z La représentation d’état du système échantillonné bouclé est
z 1 2
déterminée en reportant l’équation de bouclage uk K yck Une représentation d’état possible du procédé qui conserve la
y Kyck KCxk dans l’équation d’état du système échantilnotion de position et vitesse sur les composantes de l’état est k
lonné en boucle ouverte. On trouve :
obtenue par les formules :
1 2K 2
2K
2
T
x
2K 1 xk 2K yck 2 dk
k * 1
Ad eAc T ' Bd )(
eAc α Bdα ' Cd Cc ' Dd Dc
0
yk Les calculs de ces matrices a été vu en cours. On trouve :
xk *
1
yk
1
0
T
x
1 k
T2+ 2
T 1 0 xk
Autre solution : pour une valeur de K donnée fixée le calcul
de la boucle fermée peut se faire à l’aide de M ATLAB. (voir
question 3.)
uk dk 1 0 xk
La stabilité des systèmes linéaires à temps discret est équivalente à l’appartenance des pôles au disque unité. Une façon
d’étudier la stabilité de la boucle fermée est de tracer le lieu
1 2
2
d’Evans
du système discret G z et étudier pour quelles valeurs
xk * 1 x uk dk 0 1 k
2 de K les pôles appartiennent au disque unité. Le logiciel
M ATLAB permet cette opération:
1 0 xk
yk
>>rlocus(gd);
Le premier état de ce modèle (x1k ) correspond à la position du >>zgrid;
véhicule échantillonnée à T 2s et le deuxième état (x2k ) cor- Au résultat on observe que le système bouclé n’est pas stabilrespond à la vitesse.
isable par une rétroaction telle que K . 0.
Le résultat se retrouve en utilisant le logiciel M ATLAB et la
fonction “continuous to discrete”:
gd=c2d(g,2,’zoh’) : si g est un modèle dans l’espace d’état 6. Le système continu bouclé de la figure 1 admet comme foncalors gd également. Même comportement avec les fonctions de tion de transfert (on considère que la perturbation est nulle) :
transfert. 2 est la période d’échantillonage. ’zoh’ indique que
K
H p le système est précédé d’un bloqueur d’ordre zéro.
p2 K
5. On peut déterminer Y z , la transformée en z de yk , en fonction de Yc z et D z :
La transformée en z du procédé (précédé d’un bloqueur d’ordre
zéro) échantillonné est :
Y z G z U z D z z 1
H p
# H z $#% B0 p G p &
Y z KG z Yc z , Y z G z D z z
p Y z 1 KG z KG z Yc z G z D z ce qui pour l’échantillonnage considéré (T 2s) conduit à:
KG z G z
Y z Yc z D z
z 1
1
p
1 KG z 1 KG z #0 2
H z /
z
p p K
2K z 1 Yc z 2 z 1 D z Y z z 1
z
z z cos 2T K z2 2 K 1 z 2K 1 z 1 z 1 z2 2z cos T K 1 2
Ce résultat se retrouve également en utilisant les équations
récurrentes. Celle du système en boucle ouverte s’écrit facile- En utilisant le logiciel M ATLAB H z est obtenue à la donnée
ment, en utilisant les coefficients du numérateur et du dénomi- de K fixé et de G p :
nateur de G z :
>>h=feedback(g*K,1);
Soit pour T 2s :
>>hd=c2d(h,2,’zoh’);
On remarque en faisant
En reportant l’équation du bouclage uk K yck yk dans >>pzmap(hd);zgrid;
l’équation précédente, on obtient l’équation récurrente en que les pôles de H z sont tous situés sur le cercle unité. La
discrétisation de H p dont les pôles sont sur l’axe imaginaire
boucle fermée :
(limite de stabilité en continu) renvoie un système dont les
yk * 2 2 K 1 yk * 1 2K 1 yk pôles sont sur le cercle unité (limite de stabilité en discret).
yk *
2
2yk * 1 yk 2uk * 1 2dk * 1 2uk 2dk
2K yck-
1
yck 2 dk * 1 dk 2
Exercice 2
1. De manière immédiate, en utilisant les coefficients de
l’équation
3 récurrente, on trouve :
Y z
U z
G z On peut démontrer cette affirmation par récurrence. On suppose que la propriété est vraie aux rangs k et k 1. on a alors
pou tout K . 0 :
3yk * 1 2yk uk
yk * 2 3 2k * 1 k 2 ,
2 2k k 1 1
yk * 2 2 1 2k * 1 3k 6 2k * 1 2k 2 1
yk * 2 2k * 2 2k * 1 2k * 1 2k 3k 6 2 1
yk * 2 2k * 2 k 3 yk *
1
z2 3z 2
2. On peut facilement donner trois représentations d’état de ce
système discret.
2.1. Forme canonique de commande avec matrice d’évolution
“compagne horizontale”
xk *
0
1
1
2 3 xk 0
u
1 k
Ce raisonnement est valable 4 k . 0, c’est-à-dire 4 uk 1, donc
la formule est valable 4 k . 0.
3.2. A partir de la fonction de transfert
1 0 xk
yk
2
2.2. Forme canonique d’observation avec matrice d’évolution
On peut utiliser la fonction de transfert G z décomposée en
“compagne verticale”
éléments
simples pour donner l’expression de yk , sachant que :
0
2
1
xk * 1 z
x u
1 3 k
0 k
U z z 1
yk
0 1 xk
1
Y z
1
2.3. Forme diagonale
z
z 1 2
z 1 z 2
La décomposition en éléments simples de Y z + z permet de déduire une expression de Y z :
Il faut d’abord extraire les pôles du système (c’est-à-dire les
racines du dénominateur de la fonction de transfert) et écrire la
décomposition en éléments simples de G z :
z2 3z 2 G z Y z
z
z 1 z 2
1
1
z 1 z 2
1
z 1
2
z
; Y z
1
1
z 1 z 2
z
z
z 1
z 1 z 2
On en déduit une réalisation où la matrice d’état est diagonale : Cette expression de Y z est favorable à l’utilisation de la trans
formée inverse de la transformée en z et de ses propriétés (cf
xk * 1 1 0 xk 1 uk
tableau, page 93 du poly). On obtient :
0 2 1 yk
yk )
1 1 xk
Celle-ci implique :
2
k 1 2k
Pour les valeurs de k 0 '=<><><?' 4, on retrouve les mêmes valeurs
de yk et surtout, la supposition du §3 < 2 est vérifiée comme elle
le sera à nouveau dans le §3 < 3
3.3. A partir de l’équation d’état
3. On calcule la réponse de ce système de trois manières, à
partir de l’équation récurrente puis de la fonction de transfert et
enfin de la représentation d’état.
3.1. Application directe de l’équation récurrente
yk *
2
On peut se contenter, en utilisant les valeurs successives de uk ,
de calculer pour chaque k, la valeur de xk * 1 et d’en déduire celle
de yk * 1 . Cependant, on peut aussi exprimer yk directement en
fonction de k car :
uk 3yk * 1 2yk
Sachant que uk 14 k . 0 et que uk 04 k 5 0, pour les échantillons correspondant à k 8
6 7 2; 1; 0; 1; 2; 3 9 , on trouve respectivement :
y0 0; y1 0; y2 1; y3 4; y4 11; y5 26
xk
Ak x0
yk
Cxk
k@ 1
∑ Ak @ 1@
jA 0
j
Bu j
S’il est difficile d’affirmer directement que yk s’exprime ex- Application numérique à partir de la forme diagonale avec x0 plicitement en fonction k, quel que soit k . 0, on peut néan- 0 :
moins supposer, à la vue des premières valeurs, que :
k@ 1
1k @ 1 @ j
0
1
yk B 1 1 C ∑ u
k @ 1@ j k
1 jD
0
2
yk : k 1 2 4 k . 0
jA 0
3
Pour u j 14 j . 0, on a :
yk 1 1 FEG
G
G
GH
IKJ
J
∑ 1k @ 1@ j JJ
k@ 1
jA 0
k@ 1
L
∑ 2k @ 1 @ j jA 0
Comme ∑kj MN 10 O 1k M 1 M j P est une somme de k termes tous égaux à
1 et par un changement d’ordre de comptage sur la somme des
2k @ 1 @ j , on a :
yk k k@ 1
∑ 2j
jA 0
Le terme de droite représente la somme des termes d’une suite
géométrique de raison 2, donc on en déduit :
yk Q k 2k 1
2k 1 k
2 1
3.3. Résolution partielle avec M ATLAB
On commence par définir le système discret avec par exemple
une période T 0 < 5s:
>>G=tf(1,[1 -3 2],1);
puis on utilise la fonction step :
>> y=step(G,0:0.5:5)
y =
0
0
1
4
11
26
57
120
247
502
1013
Ici l’argument 0:0.5:5 désigne un vecteur dont les éléments
vont de 0 à 5 et échelonnés tous les 0.5. On obtient ainsi les 11
premières valeurs de la sortie y.
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