Terminale ES Terminale ES - Bac blanc de mathématiques Bac

Terminale ES - Bac blanc de mathématiques - Février 2014
Exercice 1 - QCM - 5 points
Uniquement pour les élèves n'ayant pas suivi la spécialité mathématiques
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le
numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte ni
n'enlève de point.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes
Partie A
1) Une augmentation de 20 % suivie d'une autre de 15 % est équivalente à une augmentation globale de:
a) 17,5 %
b) 30 %
c) 35 %
d) 38 %
2) On donne la suite géométrique ( U n ) de premier terme U 0 = 2 et de raison q = 1,05.
La somme S des 12 premiers termes est donnée par:
1− 2
1 − 1, 0512
1 − 1, 0513
1 − 212
a) S = 2 ×
b) S = 2 ×
c) S = 1, 05 ×
d) S = 1, 05 ×
1 − 1, 05
1 − 1, 05
1− 2
1 − 212
Partie B
On donne ci-dessous la représentation graphique
tangente au point A d'abscisse 2.
c d'une fonction f définie pour tout réel ainsi que sa
c
1) L'équation de la tangente en A est:
a) y = − ex + 2e
b) y = 3x + 2e
2) La fonction f est:
a) concave sur ] − ∞ ; 0]
c) y = ex + 3e
b) convexe sur ] − ∞ ; 0]
c) concave sur [0; 2]
d) y = − 5x + 4e
d) convexe sur [0; 2]
3) Parmi les 4 courbes suivantes, laquelle représente la fonction dérivée f ’ de la fonction f ?
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Exercice 1 - 5 points
Uniquement pour les élèves ayant suivi la spécialité mathématiques
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes
Partie A
Le graphe ci-contre représente les autoroutes entre les
principales villes du Sud de la France:
Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille
(M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et
Biarritz (Z).
1) a) Déterminer l'ordre du graphe. Justifier.
b) Déterminer si le graphe est connexe. Justifier.
c) Déterminer si le graphe est complet. Justifier.
2) Un touriste atterrit à l'aéroport de Lyon et loue une voiture. Déterminer, en justifiant, s'il pourra visiter
toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque autoroute.
3) Il décide finalement d'aller seulement de Lyon à Biarritz.
On note N la matrice associée au
graphe, les sommets étant rangés dans
l'ordre alphabétique: B, C, L, M, P, R,
T, V, Z.
Voici les matrices N et N 3 :
a) En détaillant le calcul, déterminer
le coefficient de la troisième ligne et
dernière colonne de la matrice N 4 .
b) En donner une interprétation.
Partie B
f est une fonction définie sur ℝ par f(x) = a x 3 + b x 2 + cx + d où a, b, c et d sont quatre réels.
La courbe représentant la fonction f passe par les points A( − 2; 0), B(1; − 9), C(2; − 16) et D(3; − 5).
Déterminer l'expression de f(x) en justifiant correctement votre réponse.
Exercice 2 - 5 points - Pour tous les élèves
Le premier janvier 2014, Monica ouvre un livret d'épargne sur lequel elle dépose 6 000 euros.
Elle décide de verser 900 euros sur ce livret chaque premier janvier à partir de 2015 jusqu'à atteindre le
plafond autorisé de 19 125 euros.
On suppose que le taux de rémunération du livret reste fixé à 2,25 % par an et que les intérêts sont versés
sur le livret le premier janvier de chaque année.
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Partie A
1) Calculer le montant des intérêts pour l'année 2014 et montrer que Monica disposera d'un montant de
7 035 euros sur son livret le premier janvier 2015.
2) On note M n le montant en euros disponible sur le livret le premier janvier de l'année 2014 + n.
On a donc M 0 = 6 000 et M1 = 7 035. Montrer que pour tout entier naturel n: M n +1 = 1,0225 M n + 900.
Partie B
Monica souhaite savoir en quelle année le montant de son livret atteindra le plafond de 19 125 euros.
1) Première méthode:
On considère la suite ( Cn ) définie pour tout entier naturel n par Cn = M n + 40 000.
a) Montrer que la suite ( Cn ) est une suite géométrique de raison 1,0225. On précisera le premier terme.
b) Donner l'expression de Cn en fonction de n.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n, M n = 46 000 × 1,0225 n − 40 000.
d) Déduire de l'expression de M n obtenue en c) l'année à partir de laquelle le plafond de 19 125 euros
sera atteint. Expliquer la méthode.
2) Deuxième méthode:
L'algorithme ci-dessous permet de déterminer l'année à partir de laquelle le plafond sera atteint.
a) Il suffit de modifier 2 lignes de cet algorithme pour qu'il détermine l'année à partir de laquelle le
plafond est atteint pour un montant versé initialement de 5 000 euros et des versements de 1 000 euros.
Indiquez sur votre copie les numéros des lignes et les modifications proposées.
b) Proposez une modification de la boucle conditionnelle pour que l'algorithme affiche également à
l'écran le montant disponible au premier janvier de chaque année.
Exercice 3 - 5 points - Pour tous les élèves
Un sondage a été effectué auprès des anciens élèves d'un lycée quelques années après l'obtention de leur
baccalauréat ES.
Ce sondage révèle que 55 % d'entre eux poursuivent leurs études à la faculté, 10 % ont intégré une école
de commerce et le pourcentage restant est sur le marché du travail (en activité ou en recherche d'emploi).
Ce sondage révèle aussi que:
▪ 45 % des anciens élèves qui poursuivent leurs études à la faculté ont fait le choix de vivre en colocation.
▪ 30 % des anciens élèves qui ont intégré une école de commerce ont fait le choix de vivre en colocation.
▪ 15 % des anciens élèves sur le marché du travail ont fait le choix de vivre en colocation.
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On interroge au hasard un ancien élève du lycée et on note:
F l'événement: « l'ancien élève poursuit ses études à la faculté »
E l'événement: « l'ancien élève a intégré une école de commerce »
T l'événement: « l'ancien élève est sur le marché du travail »
C l'événement: « l'ancien élève vit en colocation »
1) Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2) a) Exprimer à l'aide d'une phrase l'événement F ∩ C puis calculer la valeur exacte de sa probabilité.
b) Montrer que la probabilité que l’ancien élève vive en colocation est égale à 0,33.
3) Un ancien élève vit en colocation. Calculer la probabilité qu'il poursuive des études à la faculté.
4) Toute trace de recherche, même incomplète,, même non fructueuse, sera prise en compte .
Le responsable du sondage affirme: « Plus de la moitié des élèves n'ayant pas fait le choix de la
colocation poursuivent des études ». Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier.
5) On interroge au hasard trois anciens élèves. On suppose que le nombre d'anciens élèves est
suffisamment important pour considérer que ce choix est fait de manière indépendante.
Calculer la probabilité, à 10−2 près, pour qu'au moins un des anciens élèves vive en colocation. Justifier.
Exercice 4 - 5 points - Pour tous les élèves
Le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise une entreprise
lorsqu'elle fabrique et vend x centaines d'objets (pour x
compris entre 0 et 6) est donné par :
f(x) = (200x − 300) e − x −1 + 10
Alix a affiché sur l'écran de sa calculatrice la courbe ci-contre,
représentative de la fonction f sur l'intervalle [0; 6] .
Partie A: objectif "réaliser un bénéfice maximal"
L'écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal.
Il décide donc d'étudier la fonction f sur l'intervalle [0; 6]. On admet que cette fonction est dérivable sur
l'intervalle [0; 6]. On désigne par f ’ la fonction dérivée de la fonction f.
1) Etablir que, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0; 6], f ’(x) = (500 − 200x) e − x −1
2) Etudier le signe de la dérivée et dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0; 6].
3) En déduire le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
Quel est ce bénéfice maximal arrondi à 1 euro près ?
4) Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettrant de visualiser le maximum de la fonction f.
Partie B: objectif "ne pas vendre à perte"
1) Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d'objets l'entreprise ne vend-elle pas à perte ?
2) Démontrer que sur l'intervalle [1; 2], l'équation f(x) = 0 admet une unique solution notée α.
3) Donner une valeur approchée de α à 10−2 près.
4) Préciser le nombre d'objets à partir duquel l'entreprise ne vend pas à perte.
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