la symetrie axiale au primaire

LA SYMETRIE AXIALE AU
PRIMAIRE
CHALARD N.
Année 2010-2011 M2
Les principes de base
• S’intéresser aux objets de façon globale, puis
aux figures géométriques
• Partir du langage courant pour arriver à
verbaliser un langage mathématique
• Découvrir, décrire, reproduire
Définition de la symétrie d’axe D
La transformation du plan dans lui-même qui à
un point M associe le point M’ tel que D soit la
médiatrice du segment [MM']
Les différents objectifs relatifs à la la
symétrie axiale
• Une étude globale
Découvrir les axes de symétrie d’une figure
Savoir où se trouvent les axes de symétrie
d’une figure?
• Une étude locale
Savoir construire, compléter l’image d’une figure
par une symétrie axiale.
Au Cycle 2
• Amener les élèves à se construire des images
mentales, fonctionnelles, de figures ayant un
ou plusieurs axes de symétrie et les conduire
ainsi à ne pas confondre translation et
symétrie.
• Le travail d'anticipation, mental, informatique
ou a main Ievée, favorise cette construction.
CLASSE DE CE1
 On commence par la recherche d'axes de symétrie de diverses figures.
 Les éventuels axes de symétrie sont inclus dans la figure et la distance à l'axe est
naturellement prise en compte.
Les étapes de travail au CE1
1- Travail préparatoire
Pliages en plusieurs parties égales
2- Le problème
La reproduction d’un napperon.
3- Concept introduit
Introduction de la notion d’axe de symétrie: quand on plie une
figure suivant un axe de symétrie, les deux parties se
superposent.
4- Exercices
Rechercher des axes de symétries
dans une figure
Compléter une figure par symétrie
axiale
Créer un nouveau napperon
Classe de CE2
OBJECTIFS:
•
Donner du sens à la notion d'axe de symétrie d'une figure géométrique, et
élaborer des images mentales fonctionnelles de cette notion.
•
Compléter des dessins afin qu'ils aient des axes de symétrie par divers
procédés.
•
Construire le symétrique d'une figure par rapport à un axe sur quadrillage
(aspect transformation ponctuelle transformant une figure en une deuxième
figure).
Les étapes du travail au CE2
1 - Utiliser « en acte » la symétrie axiale pour résoudre un problème de reproduction
d'un napperon par pliages et découpage
 Observation de divers napperons et reconnaissance de ceux obtenus par pliages et
découpage.
2- Compléter des dessins afin qu'ils aient des axes de symétrie par divers procédés:
 construction à la règle par repérage des régularités liées à la symétrie et notamment
des alignements entre éléments homologues;
 tracés à main levée;
 tracés sur quadrillage à partir du repérage sur quadrillage des régularités liées à la
symétrie.
-
3 Aspect transformation ponctuelle transformant une figure en une deuxième
figure
Explicitation des propriétés:
Deux points sont symétriques par rapport à l'axe s'ils sont sur une même droite
perpendiculaire à I'axe, et s'ils sont à la même distance de l'axe.
Lorsque deux figures sont symétriques par rapport à un axe, leur orientation est
inversée mais elles se superposent exactement après pliage.
Deux segments parallèles ont pour images deux segments parallèles.
Deux segments perpendiculaires ont pour images deux segments perpendiculaires.
Pour vérifier, il suffit de plier selon l'axe de symétrie pour voir par transparence si les
deux figures se superposent. On peut aussi utiliser le papier calque.
4- Exercices d'entraînement.
Classe de CM1
OBJECTIFS:
 Anticiper l'effet d'un découpage sur du papier plié.
 Identifier les axes de symétrie de figures planes usuelles
 Identifier les éventuels axes de symétrie d'une figure plane.
 Prendre des repères pour compléter une figure par symétrie.
 Construire le symétrique d'une figure par rapport à un axe.
Les étapes du travail au CM1
1- Reprise de la situation de référence:
Reproduction d'un napperon par pliages et découpage.
Prendre en compte le nombre de découpes, leurs formes, leurs positions
relatives et leur orientation.
2-Axes de symétrie des figures usuelles:
systématiser pour les figures usuelles ce qui a été travaillé dans l'étape précédente.
Explicitation des propriétés:
• Un triangle isocèle a un axe de symétrie.
• Un rectangle a deux axes de symétrie: ses médianes.
• Un losange a deux axes de symétrie: ses diagonales.
• Un carré a quatre axes de symétrie: ses médianes et ses diagonales.
3- Compléter une figure par symétrie par rapport à un axe
 Sans recours au pliage;
 Utilisation du quadrillage ou du papier calque.
Mise en œuvre en partie implicite de propriétés explicitées lors des mises en
commun:
 Un point et son symétrique sont à la même distance de l'axe de symétrie et sont
situés sur une droite perpendiculaire à cet axe;
 Les images de deux segments parallèles sont deux segments parallèles;
 Les images de deux segments perpendiculaires sont deux segments
perpendiculaires;
 Un segment perpendiculaire à I 'axe et son symétrique sont sur la même droite;
 Deux segments symétriques non parallèles à I 'axe se coupent sur l'axe de
symétrie.
4- Aspect transformation ponctuelle:
 Construire le symétrique d'une figure par rapport à un axe.
 Deux figures sont symétriques par rapport à un axe lorsque cet axe est un axe de
symétrie pour la figure globale composée des deux figures.
 Les points symétriques sont situés sur une droite perpendiculaire à l'axe de
symétrie et sont à la même distance de cet axe.
Classe de CM2
OBJECTIFS:
 Anticiper l'effet d'un découpage sur du papier plié.
 Revoir la notion d'axe de symétrie d'une figure plane.
 Identifier les figures admettant des axes de symétrie parmi des figures obtenues
par assemblage de triangles.
 Construire des figures en respectant des contraintes liées à la symétrie.
 Identifier les éléments symétriques d'une figure admettant un axe de symétrie.
 Utiliser les propriétés locales de la symétrie axiale.
 Prendre des repères pour construire la figure symétrique d'une figure donnée
Les étapes du travail au CM2
1-Reprise de la situation de référence: reproduction d'un
napperon par pliages et découpage.
 Analogue au travail du CM1 sur de nouveaux napperons.
 Rôle de l'anticipation.
 Validation par la manipulation.
Reprise de la situation de référence: reproduction d'un napperon par pliages et
découpage: situation « retournée ». Prévoir quel napperon on obtiendra lorsqu'on
dépliera le carré H plié en 8.
2 - Assemblages de triangles et symétrie
 Deux figures sont jumelles s'il faut en retourner une pour pouvoir la
superposer exactement sur l'autre.
 Lorsqu'une figure a au moins un axe de symétrie, elle se superpose
exactement à elle-même après retournement.
 Les carrés, les rectangles, les trapèzes isocèles ont au moins un axe de
symétrie.
 Les parallélogrammes n'en ont pas.
3 - Axes de symétries des figures usuelles
Développer chez les élèves une vision plus locale de la symétrie.
4- Transformer une figure par symétrie:
 La symétrie axiale va prendre son statut de transformation ponctuelle
transformant une figure en une deuxième figure, symétrique de la première par
rapport à un axe, figure qui est appelée image de la première par la symétrie.
 Utilisation du quadrillage: axes horizontaux, verticaux, ou obliques diagonales du
quadrillage.
 Utilisation du calque.
 Construire le symétrique d'une figure par rapport à un axe.
• Deux figures sont symétriques par rapport à un axe si en pliant selon cet axe les
deux figures se superposent.
• Les points symétriques sont situés sur une droite perpendiculaire à l'axe de
symétrie et sont à la même distance de cet axe.
1- La mosaïque
On veut réaliser une mosaïque uniquement avec des
carreaux noirs et des carreaux blancs. Le cadre
contient 10 colonnes et 12 lignes.
Pour chaque ligne et pour chaque colonne, il est
indiqué le nombre de carreaux noirs qu’il doit y
avoir. De plus, on sait que la mosaïque finie
devra admettre deux axes de symétrie (dessinés
en gras).
0
2
0
6
2
2
0
2
0
4
6
Objectifs :
- travail sur les axes horizontaux et verticaux du
rectangle
- travail sur la conservation des distances
- notion de retournement
- mise en place d’une stratégie
- repérage sur quadrillage
- comprendre la consigne
Difficultés :
problème du croisement ligne et colonne en
prenant en compte tous les symétriques des
carrés
- présence de deux axes de symétrie
- compréhension des consignes et des contraintes
- hiérarchiser les procédures par chiffre (0, 2, 4, 6)
- trouver un code pour rayer les colonnes ou les
lignes
- difficultés à corriger les erreurs
2 – Les carrés
Consigne :
Noircir ou colorier un MINIMUM de petits carreaux
pour que la figure ci-dessous admette UN axe de
symétrie.
Quel est le plus petit nombre de petits carreaux qui
convient ?
Procédures :
- essai avec chaque axe de symétrie
- procéder petit carré par petit carré
Objectifs :
- travail sur les 4 axes de symétrie du carré
- travail sur le symétrique d’une figure par rapport à
un axe
- notion de retournement
- mobiliser des images mentales
Difficultés :
- 4 axes de symétrie
- trouver les axes et les tracer
- longueur de la tâche
- compréhension des consignes et des contraintes
•
Concernant l’institutionnalisation, il semblerait qu’elle ne soit pas nécessaire à
l’école primaire puisque les programmes mettent l’accent sur l’aspect perceptif de
la symétrie axiale.
•
La symétrie axiale doit être traitée dans le cadre de la géométrie, sans place
particulière dans une progression.
•
Les remédiations, quant à elles dépendent des difficultés rencontrées par les
élèves, un listing exhaustif paraît difficile à mettre en place.