On expansions in non-integer base

“M ODELLI E
S APIENZA U NIVERSIT À DI R OMA
D OTTORATO DI R ICERCA IN
M ETODI M ATEMATICI PER LA TECNOLOGIA E LA S OCIET À ”
XXII CICLO
AND
U NIVERSIT É PARIS 7 - PARIS D IDEROT
D OCTORAT D ’I NFORMATIQUE
Résumé de la these
On expansions in non-integer base
Anna Chiara Lai
Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici per le Scienze applicate
Via Antonio Scarpa, 16 - 00161 Roma.
and
Laboratoire d’Informatique Algorithmique : Fondements et Applications
CNRS UMR 7089, Université Paris Diderot - Paris 7,
Case 7014 75205 Paris Cedex 13
1
TABLE DES MATI ÈRES
Introduction
1. Représentations en base complexe
1.1. Introduction
1.2. Caractérisation de l’enveloppe convexe des nombres représentables
1.3. Représentabilité en base complexe
1.4. Conclusions et développements futurs
2. Représentations en base négative
2.1. Introduction
2.2. Systèmes dynamiques symboliques et l’ordre alterné
2.3. Caractérisation des (−q)-shifts sofiques et de type fini
2.4. Entropie du (−q)-shift
2.5. Le cas Pisot
2.6. Conversion séquentielle de la base positive à la base négative
2.7. Conclusions et développements futurs
3. Nombre d’or généralisé pour alphabets ternaires
3.1. Introduction
3.2. Bases critiques
3.3. Alphabets ternaires normaux
3.4. Bases critiques pour alphabets ternaires
3.5. Bases critiques et suites m-admissibles
3.6. Conclusions et développements futurs
4. Suites univoques pour alphabets ternaires
4.1. Conclusions et développements futurs
Références
1
4
4
4
6
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
10
10
11
11
11
I NTRODUCTION
Cette thèse est consacrée à l’étude des développements en sommes de la forme
∞
(1)
x
∑ qii
i =1
où les coefficients xi appartiennent à un ensemble fini de réels positifs, l’alphabet, et où la base est
un nombre réel ou complexe. Pour assurer la convergence de (1), la base q est supposée strictement plus grande que 1 en module. Quand un nombre x satisfait x = ∑i∞=1 xqii pour une suite de
chiffres ( xi )i≥1 dans l’alphabet A, on dit que x est représentable en base q avec alphabet A, et on appelle ( xi )i≥1 = x1 x2 · · · une représentation de x. La notion de représentabilité est l’un des thèmes
principaux de cette thèse, et on peut l’étudier à partir de concepts très familiers. Par exemple,
quand l’alphabet est {0, 1} et la base est q = 2, alors tout x ∈ [0, 1] satisfait :
∞
x=
x
∑ 2ii
i =1
pour une suite ( xi )i≥1 = x1 x2 · · · qui est la représentation binaire classique de x. De même la
représentation décimale de x n’est rien d’autre que la représentation ( xi )i≥1 avec chiffres dans
{0, 1, . . . , 9} et base 10. Le fait que tout nombre de [0, 1] admet une représentation décimale est
2
trivial, mais non général. Si l’alphabet A est ǵal à {0, 2} et la base est q = 3, alors il est bien connu
que
∞
Λq,A = Λ3,{0,2} = { ∑
i =1
xi
| xi ∈ {0, 2}, i ≥ 1}
3i
coı̈ncide avec l’ensemble de Cantor. En particulier Λ3,{0,2} est un ensemble totalement discontinu
strictement inclus dans l’intervalle unité. En prenant comme alphabet {0, 1, 2} au lieu de {0, 2},
l’ensemble [0, 1] est totalement représentable, i.e. Λ3,{0,1,2} = [0, 1]. Pour souligner le fait que le
chiffre 1 est nécessaire pour représenter l’intervalle unité, on dira que l’alphabet {0, 2} est à chiffres
manquants.
Nous considérons ensuite une généralisation du concept de représentabilité. Fixons un alphabet A et une base q, réelle ou complexe, et supposons que pour x 6∈ Λq,A il existe un entier positif
ou nul n tel que x/qn ∈ Λq,A . Comme
∞
x
x
= ∑ ii
n
q
i =1 q
implique
x=
n −1
∞
i =0
i =1
∑ x n −i qi + ∑
x n +i
x
= x 1 q n −1 + · · · + x n −1 q + x n + n +1 + · · ·
q
qi
nous pouvons représenter x par une expression de la forme x1 · · · xn . xn+1 · · · , où le symbole .
indique le facteur d’échelle qn . Si l’on suppose que la base est 10, cette notation prend une forme
1
familière ; en effet 1 . 2 dénote traditionnellement la valeur 10 × ( 10
+ 1022 ).
Si tout nombre d’un ensemble Λ admet une représentation “généralisée” en base q avec alphabet A, le couple ( A, q) est un système de numération (positionnel) pour Λ.
Voyons quelques exemples. Les réels positifs sont représentables en base entière b > 1 avec
alphabet {0, 1, . . . , b − 1}, et en base non entière q > 1 et alphabet {0, 1, . . . , bqc}. Le choix d’une
base négative conduit à la représentabilité de R : tout réel peut être représenté en base entière
−b, avec b > 1, et alphabet {0, 1, . . . , b − 1} ; tout réel peut être représenté en base non entière −q
et alphabet {0, 1, . . . , bqc}. Le cas de la base non entière positive est traité dans le papier fondateur de Rényi [Rén57], et le cas de la base non entière négative a été récemment introduit dans
[IS09]. Les alphabets {0, 1, . . . , b − 1} et {0, 1, . . . , bqc} sont dits canoniques. Pedicini [Ped05] a
étudié la représentabilité en base réelle positive et alphabets à chiffres manquants, et a montré
que ({ a1 , . . . , a J }, q) est un un système de numération pour les réels positifs si et seulement si
q ≤ ( a J − a1 )/ max{ a j+1 − a j }. Le cas de la base complexe est plus compliqué, et les résultats de
représentabilité ont été obtenus seulement pour certaines classes de bases complexes, par exemple
√
les entiers de Gauss de la forme −n ± i avec n ∈ N, les racines k n avec n ∈ Z et k ∈ N, les
nombres complexes quadratiques.
Dans le cas d’une base positive non entière, l’ensemble des valeurs représentables Λq,A ne peut
avoir que deux structures topologiques : soit c’est un intervalle, soit c’est un ensemble totalement
discontinu. Clairement le couple ( A, q) permet de représenter complètement R+ si et seulement
si on se trouve dans le premier cas. On peut donc en déduire que tout réel positif ou nul peut être
représenté en base q avec alphabet A si et seulement si Λq,A est un ensemble convexe. L’étude de
Λq,A est aussi simplifiée grâce au fait que le plus petit et que le plus grand nombre représentables
sont explicitement connus :
min Λq,A =
∞
min A
min A
=∑
q−1
qi
i =1
et
max Λq,A =
∞
max A
max A
=∑
.
q−1
qi
i =1
Quand on considère une base complexe, il y a des changements. La convexité de Λq,A n’est pas
une condition nécessaire de représentabilité, par exemple tout nombre complexe est représentable
en base −1 + i et alphabet {0, 1}, mais Λq,A est alors la courbe du dragon, un ensemble non
3
convexe. de plus, la frontière de Λq,A peut avoir une structure fractale, même quand il y a totale
représentabilité.
Notre approche pour le problème de représentabilité en base complexe consiste en l’étude de
l’enveloppe convexe de Λq,A lorque q a un argument rationnel. Comme la convexité de Λq,A est
une condition suffisante pour la représentabilité totale, un tel résultat procure une classe nouvelle
de systèmes de numération en base complexe.
Jusqu’ici nous avons parlé de conditions de représentabilité, c’est-à-dire que nous nous sommes
intéressée au problème de savoir si un nombre réel ou complexe peut être représenté dans une
base donnée avec un alphabet donné. Mais quand on est sûr de la représentabilité, par exemple en
prenant une base non entière ±q et l’alphabet canonique Aq = {0, 1, . . . , bqc}, beaucoup d’autres
questions se posent. Par exemple, comment représenter ces nombres, quelles sont les propriétés
combinatoires et dynamiques de ces représentations, combien de représentations différentes peut
avoir un nombre. Dans ce qui suit nous rappelons rapidement quelques résultats classiques afin
de pouvoir conceptualiser nos résultats originaux.
La preuve classique que tout réel positif ou nul admet une représentation en base q et alphabet
Aq est obtenue par un algorithme glouton. Les suites ainsi obtenues sont appelées représentations
gloutonnes ou q-développements, et elles ont des propriétés intéressantes. Par exemple, le q-développement de x ∈ [0, 1] est la plus grande dans l’ordre lexicographique de toutes les représentation
x. Ceci entraı̂ne que si l’on tronque le q-développement d’un nombre x, l’erreur ainsi commise
est minimale. Un autre trait important est la monotonie par rapport à la valeur numérique : les
nombres sont ordonnés par l’ordre lexicographique sur leurs développements. Ces propriétés ont
permis de nombreuses recherches dans ce domaine concernant plusieurs champs des mathématiques
et de l’informatique théorique, comme la théorie des nombres, la théorie ergodique, la dynamique
symbolique, la théorie des automates. En particulier la caractérisation des q-développements
donnée par Parry [Par60] a permis l’étude de la clôture de l’ensemble des q-développements d’un
point de vue dynamique symbolique, c’est-à-dire du q-shift.
Le calcul de l’entropie, la reconnaissabilité par automate fini et l’existence d’automates finis
pour effectuer certaines opérations arithmétiques en base positive ont été bien étudiés. Nous obtenons des résultats similaires en base négative.
Un autre aspect largement étudié en base positive non entière est l’existence de différentes
représentations d’un même nombre. Dans les années 90, Erdős, avec Horváth, Joó et Komornik, a
consacré une série de papiers au nombre de possibles représentations d’un même nombre, en base
1 < q < 2 avec {0, 1}, avec une attention particulière sur les représentations de 1. Ces résultats,
ainsi que ceux de Daróczy et Kátai [DK93], ont permis de clarifier la structure de l’ensemble des
représentations uniques dans ce cas. En particulier, quand la base est inférieure au nombre d’or,
tout réel positif a au moins deux représentations différentes ; quand la base est comprise entre le
nombre d’or et la constante de Komornik-Loreti il existe un ensemble dénombrable de valeurs
ayant une représentation unique ; quand la base est supérieure à la constante de Komornik-Loreti
l’ensemble des valeurs ayant une représentation unique a la puissance du continu.
Nous prouvons que si la base est positive non entière, il existe une sorte de “nombre d’or
généralisé” pour des alphabets arbitraires, c’est-à-dire nous montrons que les représentations ne
sont jamais uniques si et seulement si la base est plus petite qu’une valeur critique. Dans le cas
d’un alphabet ternaire nous caractérisons explicitement cette base critique et les représentations
uniques pour des bases assez petites.
4
Le travail de recherche sur les bases complexes a été réalisé sous la supervision de Paola Loreti.
La plupart des résultats sur les bases négatives ont été obtenus en collaboration avec Christiane
Frougny et peuvent être trouvés en [FL09]. Les résultats sur l’existence et la caractérisation des
bases critiques pour les alphabets généraux sont un travail en collaboration avec Vilmos Komornik et Marco Pedicini [KLP].
1. R EPR ÉSENTATIONS EN BASE COMPLEXE
Nous considérons des représentations avec des alphabets arbitraires et des bases de la forme
pe
avec p > 1 et n ∈ N. Nous étudions l’enveloppe convexe de l’ensemble des nombres
représentables en donnant tout d’abord une description géométrique puis une caractérisation explicite de ses points extrémaux. Nous donnons aussi une condition de caractérisation pour la
convexité de l’ensemble des nombres représentables.
2πi
n
1.1. Introduction. Les premiers systèmes de numération à base complexe semblent être ceux
à base 2i avec alphabet {0, 1, 2, 3}, et à base −1 + i avec alphabet {0, 1}, introduits respectivement par Knuth en [Knu60] et par Penney en [Pen65]. Il y eu ensuite beaucoup de travaux sur la
représentabilité en base complexe, e.g. voir [KS75] pour les entiers de Gauss de la forme −n ± i
avec n ∈ N, [KK81] pour les corps quadratiques, et [DK88] pour le cas général. Loreti and Komornik ont poursuivi le travail de [DK88] en introduisant un algorithme glouton dans le cas
des bases complexes à argument non rationnel, [KL07]. Dans les années 80, une recherche parallèlle a été développée par Gilbert. Dans [Gil81] il a décrit la nature fractale de l’ensemble des
nombres représentables, par exemple l’ensemble des nombres représentables en base −1 + i avec
chiffres {0, 1} se trouve être la courbe du dragon [Knu71]. La dimension de Hausdorff de certains
ensembles des nombres représentables a été calculée en [Gil84] et une notion plus faible d’autosimilarité a été introduite pour l’étude de la frontière de ces ensembles [Gil87]. Les systèmes de
numération à base complexe et la géométrie de l’ensemble des nombres représentables ont été
largement étudiés du point de vue de leurs relations avec les IFS et les pavages du plan complexe.
Pour un survol de la topologie des tuiles associées aux bases appartenant à des corps quadratiques
nous renvoyons à [AT04].
Les systèmes de numération à base complexe ont plusieurs applications. Par exemple en arithmétique
des ordinateurs, ces systèmes permettent de traiter les opérations arithmétiques d’une manière
unifiée, sans traiter séparément la partie réelle et la partie imaginaire — voir [Knu71], [Gil84]
et [FS03]. La représentation en base complexe a aussi été utilisée en cryptographie dans le but
d’accélérer les calculs comme l’exponentiation modulaire [DJW85] et la multiplication sur des
courbes elliptiques [Sol00]. Enfin nous renvoyons à [Pic02] pour une étude sur leur application à
la compression d’image sur des pavages fractals.
1.2. Caractérisation de l’enveloppe convexe des nombres représentables. Nous étudions la forme
2π
de l’enveloppe convexe des nombres représentables enn base qn,p := pe n i avec alphabet A. Nous
adoptons les notations suivantes.
Notation 1.1. On note
∞
k
Λn,p,A =: { ∑ xk q−
n,p | xk ∈ A }
k =1
l’ensemble des nombres représentables en base qn,p := pe
2π i
n
avec alphabet A.
Notation 1.2. Soit ( x0 · · · xn−1 ) une suite dans {0, 1}n . On définit ( x0 · · · xn−1 )q := ∑nj=−01 x j q j et on
introduit le décalage circulaire σ sur les suites finies : σ ( x0 x1 · · · xn−1 ) := ( x1 · · · xn−1 x0 ). La fermeture
5
( A ) Enveloppe
convexe
de
( B ) Enveloppe
( C ) Enveloppe
convexe
de
Λ3,21/2 ,{0,1}
convexe
de
Λ4,21/2 ,{0,1}
Λ5,21/2 ,{0,1}
( D ) Enveloppe
convexe
de
( E ) Enveloppe
convexe
de
( F ) Enveloppe
convexe
de
Λ6,21/2 ,{0,1}
Λ7,21/2 ,{0,1}
Λ8,21/2 ,{0,1}
F IGURE 1. L’ensemble Λn,21/2 ,{0,1} , avec n = 3, . . . , 9 est approximé par l’ensemble des représentations de longueur 14. La base q8,21/2 = 1 + i est un entier de
Gauss qui a été étudié en particulier en [Gil81].
de ( x0 · · · xn−1 ) relativement à σ est notée Orb( x0 · · · xn−1 ) := {σ j ( x0 x1 · · · xn−1 ) | j = 0, . . . , n − 1}.
Finalement, soit Orb( x0 · · · xn−1 )q := {σ j ( x0 x1 · · · xn−1 )q | j = 0, . . . , n − 1}.
Theorem 1.1. Pour tout n ≥ 1, p > 1 et qn,p = pe
avec les propriétés suivantes :
2π
n i
, l’enveloppe convexe Hcon (Λn,p,A ) est un polygone
−1 ;
(a) les arêtes sont deux à deux parallèles à q0n,p , . . . , qnn,p
(b) si n est impair alors Hcon (Λn,p,A ) a 2n points extrêmaux ;
(c) si n est pair alors Hcon (Λn,p,A ) a n points extrêmaux.
Example 1.1. Si n = 3 et si p > 1 alors pour tout alphabet A l’enveloppe convexe de Λn,p,A est un
hexagone. Si n = 4 et si p > 1 alors pour tout alphabet A l’enveloppe convexe of Λn,p,A est un rectangle.
Theorem 1.2. Soit n ≥ 1, p > 1 et A un alphabet, et notons E (Λn,p,A ) l’ensemble des points extrêmaux
de Hcon (Λn,p,A ). Si n est impair alors :
6
E (Λn,p,A )
=
´
n −1
max A − min A ³
j
Orb(1bn/2c 0n−bn/2c )qn,p ∪ Orb(1dn/2e 0n−dn/2e )qn,p + ∑ min A qn,p ;
n
p −1
j =0
si n est pair :
E (Λn,p,A ) =
n −1
max A − min A
j
Orb(1n/2 0n/2 )qn,p + ∑ min A qn,p ;
n
p −1
j =0
1.3. Représentabilité en base complexe. Nous prouvons la caractérisation suivante des ensembles
représentables convexes.
Theorem 1.3. L’ensemble des nombres représentables en base qn,p et alphabet A = { a1 , . . . , a J } est
convexe si et seulement si
max A − min A
.
max a j+1 − a j ≤
pn − 1
j=1,...,J −1
( A ) Λ3,21/3 ,{0,1}
( B ) Λ3,21/3 +0.1,{0,1}
( C ) Λ3,21/3 +0.2,{0,1}
( D ) Λ3,21/3 +0.3,{0,1}
( E ) Λ3,21/3 +0.4,{0,1}
( F ) Λ3,21/3 +0.5,{0,1}
F IGURE 2. Λ3,21/3 +0.1k,{0,1} , avec k = 0, . . . , 5, est approximé par l’ensemble des
représentations de longueur 14.
Example 1.2. Si p < 21/n et A = {0, 1} alors Λn,p,A est un 2n-polygone quand n est impair, et est un
n-polygone quand n est pair.
Example 1.3. Si A = {0, 1, . . . , b pn c} alors Λn,p,A est un ensemble convexe.
1.4. Conclusions et développements futurs. Nous remarquons que l’ensemble des nombres représentables peut être vu comme l’attracteur d’un IFS linéaire Fq,A , qui dépend de la base et de
l’alphabet. La caractérisation de l’enveloppe convexe de l’ensemble des nombres représentables
donne une méthode opératoire pour définir un domaine borné de Fq,A .
7
Nous avons donné une condition suffisante pour la dimension de Hausdorff pleine de l’ensemble des nombres représentables, mais le problème général reste ouvert. Les relations établies
dans ce chapitre pourraient aider à trouver une solution — au moins pour les bases à argument
rationnel. La définition d’un algorithme glouton global et une caractérisation partielle basée sur
une comparaison chiffre à chiffre pourrait suivre par ces arguments.
2. R EPR ÉSENTATIONS EN BASE N ÉGATIVE
Ito et Sadahiro ont récemment introduits et caractérisés les représentations en base négative
non entière −q en [IS09]. Ils ont montré que le (−q)-shift est sofique si et seulement si le (−q)q
développement du nombre − q+1 est ultimement périodique. Notre but est de poursuivre leur travail, en montrant que beaucoup de propriétés des systèmes de numération à base positive s’étendent au cas négatif, la diffŕence principale étant que les ensembles des nombres représentables
sont différents.
2.1. Introduction. Les représentations en base négative entière −b, avec b ≥ 2, semblent avoir été
introduites par Grünwald en [Gru85], et redécouvertes par plusieurs auteurs, voir le commentaire
historique fait par Knuth [Knu71]. Le choix d’une base négative −b et de l’alphabet {0, . . . , b − 1}
est intéressant, car il produit une représentation sans signe pour tous les nombres (positifs ou
nègatifs). Il est facile de voir qu’une suite sans 0 en tête représente un entier positif si et seulement si sa longueur est paire. Nous notons (w.)−b := ∑ik=0 wk (−b)i pour tout w = wk · · · w0
dans {0, . . . , b − 1}∗ sans 0 en tête. La propriété classique de monotonicité entre l’ordre lexicographique sur les mots et les valeurs numériques n’est plus satisfaite en base négative, par exemple
3 = (111.)−2 , 4 = (100.)−2 et 111 >lex 100. Cependant il est possible de retrouver une telle correspondance en introduisant un autre ordre sur les mots, dénoté dans la suite par ≺ et appelé ordre
alterné.
Les représentations en base négative apparaissent aussi dans certains systèmes de numération
à base complexe, par exemple la base q = 2i satisfait q2 = −4 (voir [Fro99] pour une étude de
leurs propriétés du point de vue de la théorie des automates).
2.2. Systèmes dynamiques symboliques et l’ordre alterné.
Definition 2.1. Soit x = x1 x2 · · · , y = y1 y2 · · · des mots infinis ou finis de même longueur sur un
alphabet.
Soit x 6= y et soit i le plus petit indice tel que xi 6= yi . L’ordre alterné ≺ satisfait :
x≺y
(2)
si et seulement si
(−1)i ( xi − yi ) < 0.
Pour tout mot infini fixé s, nous considérons le système dynamique symbolique
S = {w = (wi )i∈Z ∈ AZ | ∀n, s ¹ wn wn+1 · · · }.
Nous avons alors :
Proposition 2.1. Le sous-shift S = {w = (wi )i∈Z ∈ AZ | ∀n, s ¹ wn wn+1 · · · } est reconnaissable par
un automate infini dénombrable.
Proposition 2.2. Soit le système dynamique symbolique S = {w = (wi )i∈Z ∈ AZ | ∀n, s ¹
wn wn+1 · · · }. Alors
(a) S est un sous-shift sofique si et seulement si s est ultimement périodique ;
(b) S est un sous-shift de type fini si et seulement si s est purement périodique.
8
2.3. Caractérisation des (−q)-shifts sofiques et de type fini. Le (−q)-shift est la fermeture de
l’ensemble des (−q)-développements de Ito et Sadahiro. Par leur caractérisation du (−q)-shift,
[IS09], on peut obtenir le résultat suivant.
q
Theorem 2.1. The (−q)-shift est un système de type fini si et seulement si γ−q (− q+1 ) est purement
périodique.
2.4. Entropie du (−q)-shift. L’entropie topologique du (−q)-shift est égale à l’entropie topologique du q-shift classique.
Theorem 2.2. L’entropie topologique du (−q)-shift est égale à log q.
2.5. Le cas Pisot. Certains résultats en base de Pisot positive s’étendent au cas négatif.
Theorem 2.3. Si q est un nombre de Pisot, tout element de Q(q) ∩ I−q has an eventually periodic (−q)expansion.
Theorem 2.4. Si q est un nombre de Pisot, alors la normalisation en base −q sur tout alphabet, l’addition
en base −q et la conversion de la base −q à la base q sont réalisables par transducteur fini.
2.6. Conversion séquentielle de la base positive à la base négative. Nous donnons un algorithme poids forts d’abord pour cette conversion.
Proposition 2.3. Soit q > 2. La conversion d’un q-développement d’un nombre à une représentation en
base −q du même nombre peut être réalisée par un algorithme en ligne.
2.7. Conclusions et développements futurs. Ces résultats confirment que les (−q)-développements
sont une généralisation naturelle des q-développements classiques, la différence principale portant sur les ordres — alterné pour les bases négatives et lexicographique pour les positives. Il
pourrait être intéressant de généraliser ces ordres au cas des bases complexes.
Nous pensons aussi que le proposition 2.3 peut être étendue au cas q ≥ 2 et que l’on peut montrer que la conversion d’une base positive Pisot à la base négative est réalisable par un automate
fini en ligne.
3. N OMBRE D ’ OR G ÉN ÉRALIS É POUR ALPHABETS TERNAIRES
Nous nous intéressons maintenant aux développements en base réelle q > 1 avec chiffres dans
un alphabet arbitraire A = { a1 , . . . , a J }. Pour un alphabet à deux lettres A = { a1 , a2 } le nombre
√
d’or G := (1 + 5)/2 joue un rôle spécial : il existe des développements uniques non triviaux
en base q si et seulement si q > G. Notre but est de déterminer des critères analogues pour les
alphabets ternaires A = { a1 , a2 , a3 }.
3.1. Introduction. Dans les années cinquante, Rényi [Rén57] a introduit un nouveau système de
numération en base non entière q avec un alphabet de chiffres entiers {0, 1, . . . , bqc}. Depuis, ces
représentations ont été beaucoup étudiées, tant du point de vue de la théorie de la mesure que de
la théorie des nombres. L’une des propriétés les plus intéressantes de ces systèmes est la redondance des représentations. Par exemple, Sidorov a montré que si 1 < q < 2 alors presque tout
nombre a un continuum de développements distincts [Sid03]. D’autres travaux ont été consacré
à l’étude des développements uniques et à leurs propriétés topologiques, voir [EJK90], [EHJ91],
[DK93],[KL98] et [DVK09].
Puisque l’unicité d’un développement est préservée quand on prend une base plus grande
([DK93]), il existe des bases frontières séparant les structures topologiques possibles de l’ensemble
des développements uniques, noté Uq . Par exemple, pour les bases inférieures au nombre d’or,
9
l’ensemble Uq ne contient que deux éléments, appelés développements triviaux ([DK93]). Par ailleurs
il a été montré en [GS01] que pour les bases comprises entre le nombre d’or et la constante de
Komornik-Loreti Uq est un ensemble dénombrable, et pour les bases plus grandes que la constante
de Komornik-Loreti Uq a un continuum d’éléments.
Dans le cas d’un alphabet général, où la distance entre chiffres consécutifs n’est pas nécessairement
constante, beaucoup de résultats s’étendent, e.g. en [Ped05] les développements uniques sont caractérisés lexicographiquement.
L’étude des développements avec alphabets arbitraires est reliée à des problèmes de controlabilité en robotique. En [CP01] les chiffres d’un alphabet arbitraire sont considérés somme les
contrôles d’un système unidimensionnel discret, et l’ensemble des nombres représentables est
interprété comme l’ensemble des points atteignables depuis l’origine.
3.2. Bases critiques.
Theorem 3.1 (Existence de bases critiques). Soit A = { a1 , . . . , a J }. Pour tout ensemble X ⊂ AN il
existe un nombre
1 ≤ q X ≤ Q A := (max A − min A)/
max { a j+1 − a j }
j=1,...,J −1
tel que
q > q X =⇒ toute suite x ∈ X est univoque en base q;
1 < q < q X =⇒ pas toute suite x ∈ X est univoque en base q.
De plus :
Corollary 3.1. Il existe un nombre 1 < G A ≤ Q A tel que
q > G A =⇒ il existe des suites univoques non triviales;
1 < q < G A =⇒ il n’existe pas de suites univoques non triviales.
La valeur G A est appelée base critique de l’alphabet A.
3.3. Alphabets ternaires normaux. Un alphabet ternaire est normal s’il est de la forme {0, 1, m}
avec m ≥ 2. Le problème de la caractérisation des bases critiques pour les alphabets ternaires est
simplifié par les résultats suivants.
Proposition 3.1. Tout alphabet ternaire A peut être normalisé en utilisant uniquement des translations,
des multiplications scalaires et des opérations duales.
Proposition 3.2. Tout alphabet ternaire ainsi que sa forme normale partagent le même nombre d’or
généralisé.
3.4. Bases critiques pour alphabets ternaires. La base critique des alphabets de la forme A =
{ a1 , a2 , a3 } avec
½
¾
a3 − a1 a3 − a1
m := max
,
a2 − a1 a3 − a2
est la valeur pm définie dans le résultat suivant.
Theorem 3.2. Il existe une fonction continue p : [2, ∞) → R, m 7→ pm satisfaisant
r
m
2 ≤ pm ≤ Pm := 1 +
m−1
pour tous les m tels que :
10
(a) pour tout m ≥ 2, il existe des développements uniques non triviaux si q > pm et il n’y en a pas si
q < pm ;
(b) pm = 2 si et seulement si m = 2k pour un entier positif k ;
(c) l’ensemble C := {m ≥ 2 : pm = Pm } est un ensemble de Cantor, i.e., un ensemble fermé non
dénombrable sans intérieur ni points isolés ; son plus petit éleément est 1 + x ≈ 2.3247 où x est le plus
petit nombre de Pisot, i.e., la racine positive de l’équation x3 = x + 1 ;
(d) toute composante connexe (md , Md ) de [2, ∞) \ C a un point µd tel que p est strictement décroissant
dans [md , µd ] et strictement croissant dans [µd , Md ].
3.5. Bases critiques et suites m-admissibles. Pour tout m ≥ 2 fixé une suite δ = δ1 δ2 · · · avec
chiffres dans {1, m} est dite m-admissible si elle satisfait :
1δ2 δ3 · · · ≤ δn+1 δn+2 · · · ≤ mδ2 δ3 · · · .
Si δ est m-admissible, nous considérons aussi la suite :
δ0 := min{(δn+i )i≥1 |δn = 0; n ≥ 1}
(3)
Remark 3.1. On peut prouver que δ0 est toujours un suffixe de δ.
A partir d’une suite m-admissible fixée δ on peut définir p0m,δ et p00m,δ comme les solutions positive des équations :
∞
i =1
et pm,δ :=
3.2.
max{ p0m,δ , p00m,δ }.
∞
δ
∑ ( p0 i
m,δ
)i
= m−1
m − δi0
= 1.
i
m,δ )
∑ ( p00
i =1
Les propriétés suivantes forment le cœur de la preuve du théoreme
Proposition 3.3. Fixons m ≥ 2 :
(a) si δ est une suite m-admissible telle que pm,δ ≤ Pm , alors pm,δ est égale à la base critique de Am ;
(b) il existe une unique suite m-admissible δm telle que pm,δm est égale à la base critique de Am ;
q
(c) δm est purement périodique quand pm,δm < 1 + mm−1 , qui veut dire presque partout ;
0 est univoque en base q.
(d) pour tout q > pm,δm ≡ G Am la suite δm
Remark 3.2. Si δ est une suite m-admissible alors δ2 δ3 · · · est une suite sturmienne.
3.6. Conclusions et développements futurs. Nous avons tout d’abord considéré des alphabets
arbitraires et nous avons prouvé l’existence d’une valeur critique entre la non existence et l’existence de suites univoques. Cette notion étend les propriétés classiques du nombre d’or pour les
alphabets binaires. La caractérisation dans le cas des alphabets ternaires montre que la base critique est un nombre algébrique pour presque tout m. Nous pensons que les résultats sur les suites
m-admissibles pourront s’étendre aux alphabets avec plus de trois lettres.
4. S UITES UNIVOQUES POUR ALPHABETS TERNAIRES
Nous caractérisons les développements uniques sur des alphabets ternaires, montrant au passage que l’ensemble des développements univoques en base q, noté Uq , est un ensemble dénombrable
régulier pour tout q plus petit qu’une valeur explicitement déterminé dépendante de l’alphabet.
11
q
Theorem 4.1. Soit m tel que G Am < 1 + mm−1 et soit Uq l’ensemble des développements uniques en
q
base q ∈ ( G Am , 1 + mm−1 ]. Soit δm la suite (périodique) comme dans la proposition 3.3 (b). Alors
Uq = {mt x | x ∈ Orb(δm ), x = 1x0 , x0 ∈ Aω
m ; t ≥ 0}
∪ {0t x | x ∈ Orb(δm ), x = 1x0 , x0 ∈ Aω
m , π q ( x ) < 1; t ≥ 0}.
Le résultat s’étend à de nombreux alphabets ternaires.
q
Corollary 4.1. Soit m tel que G Am < 1 + mm−1 et soit A = { a1 , a2 , a3 } a tel que
½
¾
a3 − a1 a3 − a1
m := max
,
a2 − a1 a3 − a2
q
de sorte que G A = G Am < 1 + mm−1 . Soit φ A la fonction de normalisation chiffre-à-chiffre :

a1
a3 − a1

0 si a = a1 et aa32 −

− a1 ≥ a3 − a2



a1
a3 − a1


or a = a3 et aa32 −

− a1 < a3 − a2

φ A ( a) = 1
.
si a = a2



a3 − a1
a3 − a1

m si a = a3 et a2 − a ≥ a3 − a2


1



a1
a3 − a1
si a = a1 et aa32 −
− a1 < a3 − a2
q
Alors pour tout q ∈ ( G Am , 1 + mm−1 ], l’ensemble U A,q des suites univoques avec chiffres dans A et base
q satisfait :
t
0 0
ω
1
U A,q = {φ−
A ( m x ) | x ∈ Orb ( sm ), x = 1x , x ∈ Am ; t ≥ 0}
1 t
0 0
ω
∪ {φ−
A (0 x ) | x ∈ Orb ( sm ), x = 1x , x ∈ Am , π q ( x ) < 1; t ≥ 0}.
4.1. Conclusions et développements futurs. Dans ce chapitre nous avons mis l’accent sur les
développements univoques minimaux, i.e. les développements univoques qui apparaissent d’abord
quand on choisit une base plus grande que la base critique. Notre caractérisation concerne l’ensemble des alphabets ternaires où le rapport entre les distances est m, et les suites m-admissibles.
C’est un ensemble d’alphabets très grand, car l’ensemble des rapports pour les suites m-admissibles
apériodiques est un ensemble de Cantor. Nous avons montré que, quand la suite m-admissible est
périodique, l’ensemble Uq des suites univoques en base q ≤ Pm est composé uniquement de suites
ultimement est périodiques avec une préprériode constante. Ceci implique que Uq est reconnaissable par automate fini. Le suffixe périodique des suites minimales univoques est alors une suite
périodique sturmienne. Une investigation plus poussée de cette relation pourrait se montrer utile
pour une généralisation à des alphabets arbitraires.
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