Anisotropie élastique

Élasticité anisotrope
Marc François
version du 25 octobre 2004
Sur cette transformation (non élastique !), la nature l'effet de l'anisotropie sont bien visibles: à
gauche la roche native est visiblement feuilletée ; à droite, après une traction ou compression
uniaxiale, la déformée prend une allure surprenante selon l'orientation des feuillets. (J.P. Boehler).
1) Bases de tenseurs
1.1 Vecteurs (rappels)
Soit ei une base orthonormée. On a ei.ej=δij
On considère la transformation orthogonale R. Ce peut être par exemple une rotation ou une
symétrie. Elle est complètement définie par la matrice Rij suivante :
R.(e2)
R.(e3)
R.(e1)
.e1
.e2
Rij
.e3
On a alors la rotation des vecteurs de base qui s'écrit:
R.(ej) = Rij ei
(A)
R.(ei) = Rji ej, soit
j
Et la rotation d'un vecteur u=x ej
R.(u) = xj R.(ej), soit :
R.(u) = xj Rij ei
Soit, encore, en nommant xi les composantes du vecteur R.(u) :
-x = R xj
(B)
[R.(u)]i =
i
ij
On remarque la différence entre les deux équations précédentes (A et B).
Les propriétés classique de cette matrice R sont (car la base est orthonormée): R-1=RT et det(R)=+1
(rotation) ou -1 (symétrie).
Démonstration : c'est une transformation orthogonale donc les angles droits sont conservés :
R.(ei).R.(ej)=δij
Soit
(Rki ek).(Rlj el) = δij
Rki Rlj δkl = δij
RTik Rkj = δij
d'où :
R-1=RT
D'autre part, le produit vectoriel de deux vecteurs de base donne le troisième (au signe près dans
le cas de certaines transformations, comme les symétries planes), par exemple:
R.(e1)^R.(e2) = ±R.(e3)
Ri1 ei ^ Rj2 ej = ±R3k ek
en explicitant le produit vectoriel : εijk Ri1 Rj2 = ±R3k
On a R.RT=1, d'où, le terme 33 est R3kRTk3=R3kR3k=1, d'où :
εijk R1i R2j R3k = ±1
D'où on identifie directement :
det(R)=±1
____________________________________________ page 1 _____________________________________________
1.2 Base canonique des tenseurs du second ordre
On considère un tenseur du second ordre. Par exemple le tenseur des contraintes de Cauchy σ.
Ses composantes σij sont relatives à la base canonique qui est obtenue depuis le produit tensoriel
des tenseur d'ordre 1, i.e. les vecteurs de base ei. Il vient donc :
σ = σij ei ⊗ ej
La base canonique comporte dans 9 composantes ei ⊗ ej. Elle est orthonormée puisque :
(ei ⊗ ej).(ek ⊗ el)=δik δjl
On a l'habitude d'écrire les composantes du tenseur sous forme de matrice 3x3. On peut aussi les
écrire sous forme de ligne ou colonne 1x9 ou 9x1. On peut vérifier que les opérations de contraction
du type σ:ε ou ||σ|| se forment comme sur un vecteur ligne ou colonne habituel dans cette base.
Les composantes s'obtiennent par projection du tenseur sur la base ei ⊗ ej. Cette projection est, au
sens des tenseurs, une contraction sur deux indices. On la note souvent «:», pour généraliser la
notation du produit scalaire sur les vecteurs, qui est une contraction sur un seul indices. D'autres
auteurs la notent «.» aussi.
σij = σ : (ei ⊗ ej)
1.3 Transformation orthogonale des tenseurs du second ordre
La rotation de σ s'obtient aisément :
R.(σ) = σij Rki ek ⊗ Rlj el
D'où la composante kl :
(R.(σ))kl = Rki Rlj σij
Ou encore la formule classique (R.(σ))kl = Rki σij RTjl ou l'inverse en prenant P=R-1.
1.4 écriture de Voigt
Vers 1910, le cristallographe Voigt a proposé de simplifier l'écriture en ne rappelant pas les
termes redondants tels que σ23 et σ32 pour les tenseurs symétriques. La notation conventionnelle
est la suivante :
- = σ
σ
1
11
- = σ
σ
2
22
- = σ
σ
3
33
- = σ =σ
σ
4
23
32
- = σ =σ
σ
5
31
13
- = σ =σ
σ
6
12
21
Cette notation sous forme de vecteur 1x6 est intéressante pour le calcul analytique et est très
répandue. Toutefois, nous verrons qu'elle n'est pas sans pièges. Nous pouvons déjà constater que le
- - .σ
calcul σ
i i ne correspond pas à la norme de σ, pas plus que le calcul σ i εi ne correspond à celui
de σ:ε. C'est une source d'erreur fréquente dans le calcul numérique. Nous montrerons plus loin que
l'écriture pour les déformations est :
-ε = ε
1
11
-ε = ε
2
22
-ε = ε
3
33
-ε = 2 ε = 2 ε
4
23
32
-ε = 2 ε = 2 ε
5
31
13
-ε = 2 ε = 2 ε
6
12
21
On peut remarquer que 2ε23= γ23, l'écriture ancienne encore utilisée en théorie des poutres pour le
cisaillement.
√
1.5 Base orthonormée des tenseurs symétriques du second ordre
On forme une base orthonormée des tenseurs symétriques (comme σ ou ε, puisque σ12 = σ21,
etc…) du second ordre comme suit :
(e1 ⊗ e1)
____________________________________________ page 2 _____________________________________________
1
(e2 ⊗ e2)
(e3 ⊗ e3)
(e2 ⊗ e3 + e3 ⊗ e2)
 2
√
1
(e3 ⊗ e1 + e1 ⊗ e3)
 2
√
1
(e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1)
 2
√
On vérifie aisément que cette base est orthonormée. Les composantes σ^ i du tenseur σ s'obtiennent
de façon habituelle :
^ 1 = σ:(e1 ⊗ e1)
σ
etc.. jusqu'à :
1
^ 6 = σ: (e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1)
σ
 2
√
Les composantes 1,2 et 3 sont les mêmes que celles de l'écriture de Voigt. Cependant les
composantes 4,5 et 6 sont différentes, il vient :
- =σ
^1 = σ
σ
1
11
^6 = √
σ
 2 σ6 = √
 2 σ12
Cette propriété est souvent décrite comme «le fait de multiplier les termes non diagonaux par √
 2».
En fait, l'existence d'une vraie base de tenseurs permet de conserver les propriétés de norme et de
contraction.
^i σ
^i
||σ|| = √ σ
^
^
σ:ε = σi εi
Et, d'autre part, tous les raisonnements de géométrie habituelle (projection, rotation, etc…) sont
valables. Il est important de comprendre qu'il ne s'agit ici pas seulement d'une écriture, mais que l'on
passe de l'espace des tenseurs du second ordre à trois dimensions à l'espace des tenseurs du premier
ordre à 6 dimensions.
1.6 Base hydrostatique, déviatorique
L'élasticité isotrope peut s'écrire très simplement en séparant les parties hydrostatiques et
déviatoriques. Dans les comportements non linéaires, comme en plasticité, on est amené souvent à
distinguer aussi la partie déviatorique (responsable de la plasticité) de la partie hydrostatique (sans
effet). On forme simplement un tenseur hydrostatique normé (invariant par toute rotation) :
1
H=
(e1 ⊗ e1 + e2 ⊗ e2 + e3 ⊗ e3)
 3
√
La composante hydrostatique de la contrainte s'écrit :
σH = σ:H
La composante déviatorique est le complément de σ sur σH :
σD = σ - σH
L'espace des tenseurs symétrique du second ordre se scinde en deux sous espaces, hydrostatique et
déviatoriques (espaces isotropes). Une loi d'élasticité isotrope postule que contrainte et déformation
sont coaxiaux (proportionnels) dans chacun de ces sous espaces :
σH = 3K εH
σD = 2µ εD
Exercice : en identifiant cette écriture sur la loi d'élasticité traditionnelle qui s'écrit :
1+ν
ν
ε=
σ - tr(σ) I
E
E
____________________________________________ page 3 _____________________________________________
reconnaitre que K est le module de compressibilité hydrostatique et que µ est le module de
cisaillement du matériau. On verra aussi plus tard que ce sont les deux modules de Kelvin, ou valeurs
propres du tenseur d'élasticité. On rappelle enfin l'écriture de Lamé :
σ = 2µε + λtr(ε)I
Comme il n'y a que deux constantes d'élasticité isotrope indépendantes, on rappelle les relations
entre les modules d'Young E et de Poisson ν, compressibilité hydrostatique K et coefficient de Lamé
λ etµ :
(E,ν)
E module
d'Young
E=
ν coefficient de
Poisson
K module de
compressibilité
µ module de
cisaillement
(K,µ)
ν=
K=
µ=
9Kµ
3K+µ
3K-2µ
2 (3 K + µ)
E
3 (1 - 2 ν)
λ coefficeient de
νE
λ
=
Lamé
(1 + ν) (1 - 2 ν)
3λ + 2µ
λ+µ
λ
ν=
2 (λ + µ)
E=µ
K=
E
2(1 + ν)
S, n
(λ,µ)
3λ+2µ
3
E(n) =
ν (m,n) =
m.m.S.n.n
−
n.n.S.n.n
K=
µ(m,n) =
λ=
1
n.n.S.n.n
1
Siikk
1
8 m.n.S.n.m
3K-2µ
3
2) Tenseur d'élasticité
2.1 Définition
On est en élasticité linéaire si le tenseur des contraintes est linéaire par rapport à celui des
déformations. La loi linéaire la plus générale s'écrit donc :
σ = C:ε
Ou, en base canonique :
σij = C-ijkl εkl
- = C .εEn écriture de Voigt :
σ
i
ij j
^ ^
^i = C
En base de tenseurs :
σ
ij.εj
Le tenseur d'élasticité s'écrit donc sous forme de table 6x6, ce qui illustre bien sa nature de tenseur
du second ordre dans l'espace à 6 dimensions. E
2.2 Symétries indicielles
Le tenseur d'élasticité est un tenseur du quatrième ordre. Il possède a priori 34 = 8 1
composantes indépendantes. Toutefois comme ε est symétrique, il vient σ ij = Cijkl ε lk et, en
permutant les indices muets : σ ij = Cijlk ε kl. Cette relation, valable pour tout ε fournit la petite
symétrie de C.
Cijkl = Cijlk
Un raisonnement analogue sur σ conduit à la seconde relation de petite symétrie :
Cijkl = Cjikl
Le premier principe de la thermodynamique fournit la grande symétrie indicielle :
Cijkl = Cklij
Démonstration (utilise la thermodynamique) : on considère une transformation réversible
(élastique) quasistatique (dec=0) et adiabatique (δqe=0).
____________________________________________ page 4 _____________________________________________
Le th. de l'énergie cinétique :
Le 1er ppe :
dec = δwi + δwe
0 = -σ:dε + δwe
du + dec = δwe + δqe
du = σ:dε + 0
σ et ε sont des variables d'état :
∂u
∂ε
∂σ
la loi de comportement élastique donne : C =
∂ε
2
∂ u
∂2u
∂2u
D'où
C=
soit Cijkl =
=
∂ε⊗∂ε
∂εij∂εkl ∂εkl∂εij
Ce qui entraîne la relation de grande symétrie Cijkl = Cklij.
L'ensemble de ces relations permet de réduire le nombre de composantes indépendantes du tenseur
d'élasticité à 21. Le compte est aisé à partir de l'écriture en base
- de tenseurs (respectivement en
^ (respectivement C
écriture de Voigt), puisque la table 6x6, C
ij
ij ), qui représente C est alors
symétrique. Le nombre de composantes indépendantes est alors calculable ligne par ligne :
6+5+4+3+2+1=21.
Au niveau de la notation de Voigt, la convention est simplement la correspondance terme à terme
avec la base canonique ; il vient :
C11 = (e1 ⊗ e1):C:(e1 ⊗ e1) = C1111
C14 = (e1 ⊗ e1):C:(e2 ⊗ e3) = C1123
C44 = (e2 ⊗ e3):C:(e2 ⊗ e3) = C2323
Remarque, on peut aussi écrire la projection dans la base des tenseurs du quatrième ordre, ce qui
donne un écriture du type suivant, équivalente mais un peu lourde :
C11 = C::(e1 ⊗ e1 ⊗ e1 ⊗ e1) = C1111
^ se calculent de la manière habituelle par projection sur les
Les composantes en base de tenseurs C
ij
éléments de la base, par exemple :
^ = (e ⊗ e ):C:(e ⊗ e ) = C
C
11
1
1
1
1
1111
1
^ = (e ⊗ e ):C: (e ⊗ e + e ⊗ e ) = C
^ = 2C
C

14
1
1
2
3
3
2
41 √
1123
 2
√
^ = 1 (e ⊗ e + e ⊗ e ):C: 1 (e ⊗ e + e ⊗ e ) = 2 C
C
44
2
3
3
2
2
3
3
2
2323
 2
√
 2
√
Au final, la relation d'élasticité s'écrit de la manière suivante en écriture de Voigt, en fonction des
termes en base canonique :
σ=
____________________________________________ page 5 _____________________________________________
σ
σ11
σ22
σ33
σ23
σ31
σ12
C
=
11
22
33
23
31
12
.
11
22
33
23
31
12
C1111
C2211
C3311
C2311
C3111
C1211
C1122
C2222
C3322
C2322
C3122
C1222
C1133
C2233
C3333
C2333
C3133
C1233
C1123
C2223
C3323
C2323
C3123
C1223
C1131
C2231
C3331
C2331
C3131
C1231
C1112
C2212
C3312
C2312
C3112
C1212
-ε
ε11
ε22
ε33
2 ε23
2 ε31
2 ε12
Vérification : si on calcule σ23 on obtient bien la relation attendue :
σ23 = C2311 ε11 + ... + 2 C2323 ε23 + ..
Ce qui correspond bien à l'écriture canonique :
σ23 = C2311 ε11 + ... + C2323 ε23 + C2332 ε32 + ...
Et de la manière suivante en base de tenseurs
^
σ
=
σ11
σ22
σ33
 2 σ23
√
√ 2 σ31
√ 2 σ12
11
22
33
23
31
12
^
C
11
22
33
.
23
31
^ε
12
C1111
C1122
C1133 √ 2 C1123 √ 2 C1131 √ 2 C1112
C2211
C2222
C2233 √
 2 C2223 √
 2 C2231 √
 2 C2212
C3311
C3322
C3333 √
 2 C3323 √
 2 C3331 √
 2 C3312
 2 C2311 √ 2 C2322 √
√
 2 C2333 2 C2323 2 C2331 2 C2312
√ 2 C3111 √
 2 C3122 √
 2 C3133 2 C3123 2 C3131 2 C3112
√ 2 C1211 √
 2 C1222 √ 2 C1233 2 C1223 2 C1231 2 C1212
ε11
ε22
ε33
 2 ε23
√
√ 2 ε31
√ 2 ε12
Vérification : si on calcule σ23 on obtient bien la relation attendue :
 2 σ23 = √
√
 2 C2311 ε11 + ... + 2 √
 2 C2323 ε23 + ..
2.3 Inversion du tenseur d'élasticité
La relation inverse s'écrit de la façon suivante, dans laque on nomme S le tenseur des
souplesses :
ε = S:σ
Le tenseur des souplesses est l'inverse du tenseur d'élasticité. Il est a priori difficile d'inverser un
tenseur du quatrième ordre. Si l'on part-de l'écriture
de Voigt, comme elle ne correspond pas à une
base de tenseurs, on n'a pas la relation S = C-1. Par contre, l'écriture en base de tenseur permet cette
inversion et, l'inversion du tenseur d'élasticité du quatrième ordre se réduit à l'inversion d'une matrice
6x6 !
^S = C
^ -1
Il vient, en base de tenseurs :
ε^
^S
=
11
22
33
.
23
31
^
σ
12
ε11
11
S1111
S1122
S1133
√ 2 S1123 √ 2 S1131 √ 2 S1112
ε22
S2211
S2222
S2233
 2 S2223 √
√
 2 S2231 √
 2 S2212
22
ε33
33
S3311
S3322
S3333
 2 S3323 √
√
 2 S3331 √
 2 S3312
 2 ε23 23 √ 2 S2311 √ 2 S2322 √ 2 S2333 2 S2323
√
2 S2331
2 S2312
√ 2 ε31 31 √
 2 S3111 √
 2 S3122 √
 2 S3133 2 S3123
2 S3131
2 S3112
√ 2 ε12 12 √
 2 S1211 √
 2 S1222 √
 2 S1233 2 S1223
2 S1231
2 S1212
σ11
σ22
σ33
 2 σ23
√
√ 2 σ31
√ 2 σ12
____________________________________________ page 6 _____________________________________________
^ est sans symétrie
En écriture de Voigt, il vient la forme suivante (dans le cas général ou C
ij
particulière, les coefficients Sijkl seront obtenus depuis l'écriture en base de tenseurs).
-ε
ε11
ε22
ε33
2 ε23
2 ε31
2 ε12
S
=
11
22
33
23
31
12
. σ
11
22
33
23
31
12
S1111
S2211
S3311
2 S2311
2 S3111
2 S1211
S1122
S2222
S3322
2 S2322
2 S3122
2 S1222
S1133
S2233
S3333
2 S2333
2 S3133
2 S1233
2 S1123
2 S2223
2 S3323
4 S2323
4 S3123
4 S1223
2 S1131
2 S2231
2 S3331
4 S2331
4 S3131
4 S1231
2 S1112
2 S2212
2 S3312
4 S2312
4 S3112
4 S1212
σ11
σ22
σ33
σ23
σ31
σ12
2.4 Décomposition de Kelvin
Le tenseur d'élasticité peut être considéré comme un tenseur du second ordre dans un espace à 6
^ qui est en fait la grande
^ exhibe la symétrie C
^ = C
dimensions. Sa matrice représentative C
ij
ji
symétrie exposée au paragraphe 2.2. Ce tenseur est donc diagonalisable et possède 6 valeurs
propres : les modules de Kelvin et 6 «vecteurs propres», les modes propres associés. Cette
publication a été faite par Lord Kelvin en 1856 et a été longtemps considérée comme une erreur du
grand scientifique… En fait la publication était antérieur au concept de tenseur et même aux
théorèmes nécessaires sur les matrices. La justesse des travaux de Kelvin a été montrée notamment
par Rychlewski, quelque 130 ans plus tard !
Il existe donc au moins six tenseurs de déformation εI, non nuls, tels que la contrainte associée soit
coaxiale avec cette déformation :
∃ εI, I={1,2,3,4,5,6} / σI = C:εI = λI εI et εI:εJ = δIJ
Un matériau triclinique, c'est à dire sans symétrie matérielle, possède six tenseurs propres et six
modules de Kelvin distincts. Si n modules de Kelvin sont identiques (valeurs propres multiples), les
déformation propres relatives définissent un espace propre de dimension n, dans lequel toute
contrainte sera coaxiale avec la déformation associée. Ceci permet de trouver simplement la relation
dans le cas de l'élasticité isotrope (Hayes) : l'espace des tenseurs du second ordre est isotrope (tout
changement de repère, ou rotation dans R3 y est interne, en clair un tenseur reste un tenseur une fois
tourné) ; d'autre part (sans démonstration) cet espace se scinde (uniquement) en deux sous espaces
isotropes qui sont le sous-espace hydrostatique (de dimension 1, voir par. 1.6) et le complément,
l'espace des déviateurs, alors un matériau isotrope aura la loi de comportement exprimée au 1.5. On
remarque donc que 3K est la valeur propre d'une espace propre à 1 dimension (isotrope) et que 2µ
est celle de l'espace propre à 5 dimensions (déviatorique). D'autre part, la loi inverse s'obtient avec
une simplicité étonnante, vu que l'on a la décomposition de Kelvin inverse dans le cas général :
1
∃ εI, I={1,2,3,4,5,6} / εI = S:σI = I σI et εI:εJ = δIJ
λ
Dans le cas du matériau isotrope la loi d'élasticité inverse devient :
1
εH =
σ
3K H
1
εD =
σ
2µ D
On remarquera que ce calcul consiste, d'un point de vue pratique et matriciel, à diagonaliser la
^ représentant C en base de tenseurs.
matrice C
Enfin, la séparation des sous espaces s'applique aussi à l'énergie, puisque l'énergie interne d'élasticité
s'écrit :
2wi = 2µ εD:εD + 3K εH:εH
____________________________________________ page 7 _____________________________________________
ou encore,
2wi =
σD:σD σH:σH
+
2µ
3K
2.5 Transformation orthogonale du tenseur d'élasticité
En reprenant la démarche du paragraphe 1.3, il vient :
R.(C) = Cijkl Rpi ep ⊗ Rqj eq ⊗ Rrk er ⊗ Rsl es
D'où la composante ij :
[R.(C)]pqrs = Rpi Rqj Rrk Rsl Cijkl
Cette opération est coûteuse d'un point de vue CPU et s'il est besoin de la programmer, on fera
appel aux matrices de Bond (Auld) pour une écriture plus rapide.
2.6 Groupe de symétrie
Un groupe de symétrie est l'ensemble des transformations orthogonales qui laissent invariant
l'objet considéré. Par exemple, pour le matériau isotrope, toutes les transformations laissent le
tenseur C inchangé, le groupe de symétrie est le groupe des transformations orthogonales.
Considérons le tenseur d'élasticité d'un matériau monoclinique possédant une symétrie plane S3 par
rapport au plan orthogonal à e3. Cela peut être, par exemple, une roche, un cristal, ou encore un
matériau isotrope mais endommagé. La relation d'invariance s'écrit :
S3[C] = C
L'expression de S3 ne pose pas de problème :
 1 0 0 
S3 =  0 1 0 
 0 0 -1 
La formule montrée dans le paragraphe 2.5 est ici appliquée sur les termes de C. La structure de S3
est en fait l'identité sauf pour le terme 33 qui est affecté du signe moins. Donc, la formule 2.5
donnera Cpqrs = Cpqrs chaque fois qu'un nombre pair d'indices 3 est présent et Cpqrs = -Cpqrs chaque
fois qu'un nombre impair d'indices 3 est présent. Cette seconde équation indique que tous les termes
affectés d'un nombre impair de 3 sont nuls. La table de Voigt, par exemple (on a la même structure
en base de tenseurs) devient :
C
11
11
22
33
23
31
12
22
33
23
31
12
C1111
C1122
C1133
0
0
C1112
C2211
C2222
C2233
0
0
C2212
C3311
C3322
C3333
0
0
C3312
0
0
0
C2323
C2331
0
0
0
0
C3123
C3131
0
C1211
C1222
C1233
0
0
C1212
Tenseur d'élasticité monoclinique - plan de symétrie x3=0
Le nombre de constantes indépendantes du tenseur d'élasticité monoclinique est donc 13.
Supposons maintenant que le matériau possède de plus un plan de symétrie x2 =0. Le même
raisonnement conduit à annuler les termes possédant un nombre impair d'indices 2. Il vient :
____________________________________________ page 8 _____________________________________________
C
11
11
22
33
23
31
12
22
33
23
31
12
C1111
C1122
C1133
0
0
0
C2211
C2222
C2233
0
0
0
C3311
C3322
C3333
0
0
0
0
0
0
C2323
0
0
0
0
0
0
C3131
0
0
0
0
0
0
C1212
Tenseur d'élasticité orthotrope - plans de symétrie xi=0
On remarque que la symétrie par rapport au plan x1=0 apparaît naturellement dès que l'on impose
celle par rapport à x3=0 et celle par rapport à x2=0. On obtient ici le tenseur d'élasticité orthotrope,
à trois plans de symétrie orthogonaux, qui est souvent celui des matériaux composites dont la
structure possède ces trois plans de symétrie.
2.7 Les huit classes de symétrie des tenseurs d'élasticité
Le travail ci-dessus peut-être fait pour différentes transformations orthogonales. Dans de
nombreux cas, le tenseur d'élasticité ne permet pas de respecter stricto sensu l'invariance par rapport
à la seule transformation imposée. Par exemple, dans le calcul ci-dessus, le tenseur ne peux pas
posséder seulement deux plans de symétrie orthogonaux : le troisième apparaît naturellement
[Hermann, 1934, Vianello]. Au final, le tenseur d'élasticité, par sa structure, ne peux posséder que
huit groupe de symétrie distincts qui sont résumés, en même temps que la forme du tenseur
d'élasticité, dans la table suivante. La figure ci-dessous, quand à elle, montre les huit groupes de
symétrie possible pour les tenseurs d'élasticité. Ce résultat est récent (Vianello et Forte), de
nombreux ouvrages en proposent plus, qui sont en fait de simples rotations de ceux-ci.
cubique(9)
tétragonal(5)
orthotrope(3) Chaque flèche représente une
relation d’inclusion ; les figures
représentent les traces des plans
de symétrie de C et leur
nombre.
isotrope
(2∞)
monoclinique
(1)
triclinique
(0)
isotrope transverse
trigonal(3)
(∞+1)
Arbre des symétries des tenseurs d'élasticité
Les relations d'inclusion sont bien visibles ; pour l'inclusion trigonal dans cubique, se référer à trois
plan arrivant au niveau d'un sommet du cube. La table suivante montre les relations indicielles pour
chacune de ces symétries.
____________________________________________ page 9 _____________________________________________
Ils sont exprimés dans leur repère associé et en notation de Voigt (pas de coefficients).
D’après Dieulesaint et Royer, Ondes élastiques dans les solides, Masson, 1974.
composantes égales
s grande symétrie
composantes opposées
n nombre de coeff. indép.
x composante égale à (C - C )/2
11
Triclinique
12
Monoclinique
0 0
0 0
0 0
0
0
s
s
21
Orthotrope
0 0
0 0
0 0
0
s
Trigonal
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
13
0
0
0
0
s
9
x 6
Il existe une base permettant d’exhiber
trois zéros.
plan de sym. x3^
plan de sym. xi^
axe x3, x1∈ p de sym
Tétragonal
0 0
0 0
0 0
0
Isotrope transverse
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0
s
x 5
3
axe x
Cubique
0 0
0 0
0 0
0
Isotrope
0 0
0 0
0 0
x 0
s
x
s
0
0
0
0
0
6
axe x3, x1∈ p de sym
s
0
0
0
0
0
3
plan de sym. xi^
0
0
0
0
0
x 2
base quelconque
Expression du tenseur d'élasticité pour chaque groupe de symétrie
3 Exercices, propriétés
Calculer le module de compressibilité hydrostatique K dans le cas général, en fonction du tenseur
des souplesses S.
On a, par définition ∆V/V=−Kp, avec ∆V/V=tr(ε).
L'état de pression est relatif au tenseur des contraintes σ=−pI, soit encore :
σkl=−pδkl.
La loi de comportement donne, dans ce cas
εij= −pSijklδkl=−pSijkk,
et donc
tr(ε)=−pSiikk
soit encore
K=Siikk
En écriture de Voigt :
K=S11 + S22 + S33 + 2(S23 + S31 + S12)
En base de tenseurs :
K=S^ + S^ + S^ + 2(S^ + S^ + S^ )
11
22
33
23
31
12
On remarque au passage que Sijkk est un invariant de S, et on perçoit le sens physique
de cet invariant.
Déterminer pour quels groupes de symétrie une sphère sous pression demeure sphérique.
La sphère demeure sphérique si te tenseur des déformations est de type ε=εI, tandis que
le tenseur des contraintes est σ=−pI. On applique la loi de comportement :
σij = ε Cijkl δkl = ε Cijkk
Il faut donc Cijkk diagonal, i.e. C2311 + C2322 + C2333 = 0,
soit, C14 + C24 + C34 = 0
____________________________________________ page 10 ____________________________________________
soit, C15 + C25 + C35 = 0
C1211 + C1222 + C1233 = 0,
soit, C16 + C26 + C36 = 0
et
C1111 + C1122 + C1133 = C2211 + C2222 + C2233 = C3311 + C3322 + C3333
soit
C11 + C12 + C13 = C21 + C22 + C23 = C31 + C32 + C33
Hors, cette dernière relation n'est valable que dans les cas isotropes et cubiques.
La précédente l'est aussi.
C3111 + C3122 + C3133 = 0,
Calculer le tenseur des souplesses S orthotrope, en fonction des modules d'Young et coefficients de
Poisson et les modules de cisaillement dans les trois directions de la base naturelle d'orthotropie.
Aide 1 : pour une contrainte de type :
σ = σ n⊗n
traction
σ
E(n) =
avec σ = σ n⊗n
réponse dans l'axe
n.ε.n
m.ε.m
et , pour n⊥m,
ν(n,m) = −
rapport des réponses axes, axe ⊥
n.ε.n
Aide 2 : pour une contrainte de type :
σ = τ n⊗m
cisaillement
τ
On a :
2µ(n,m) =
réponse en cisaillement
n.ε.m
On considère n=e1, on a alors
σ=σ e1 ⊗ e1
soit σkl = σ δk1δl1
D'où
εij = Sijkl σkl = σ Sij11
Et donc
e1.ε.e1 = σ S1111
1
D'où
E(e1) = E1 =
et de même pour les directions 2 et 3
S1111
On considère ensuite m=e2, pour calculer le coefficient de Poisson ν(e1,e2)=ν12.
D'après l'expression de ε, inchangée :e2.ε.e2 = σ S2211
S
D'où, à l'aide de e1.ε.e1 :
ν12 = - 2211
S1111
Pour le cisaillement, en prenant n=e1 et m=e2, il vient :
σkl = τ δk1δl2
D'où la déformation :
εij = τ Sij12
Et la déformation e1.ε.e2 =
ε12 = τ S1212
1
D'où le rapport 2µ(e1,e2) =
2µ12 =
S1212
Préciser l'écriture du tenseur des souplesses en écriture de Voigt en fonction des constantes
ingénieur Ei, νij et µij.
D'après les calculs précédents, il vient :
S
11
22
33
23
31
12
1/E1
−ν12/E1 −ν13/E1
0
0
0
−ν21/E2
1/E2
−ν23/E2
0
0
0
−ν31/E3 −ν32/E3
1/E3
0
0
0
0
0
0
1/2µ23
0
0
0
0
0
0
1/2µ31
0
0
0
0
0
0
1/2µ12
On remarque qu'il apparaît des propriétés intéressantes entre les Ei et les νij due à la symétrie du
tenseur d'élasticité. Le calcul du tenseur des rigidités est plus compliqué. Toutefois, comme le quart
supérieur de la matrice est seul non diagonal, l'inversion se réduit à une matrice 3x3. Elle peut se faire
11
22
33
23
31
12
____________________________________________ page 11 ____________________________________________
dans ce cas dans l'écriture de Voigt, puisque ce quart supérieur gauche est affecté d'un coefficient 1
unique lors du passage en base de tenseurs nécessaire pour l'inversion. Enfin dans de nombreux
ouvrages, on utilise G au lieu de µ ; c'est la même valeur.
Même exercices que les deux précédents sur la symétrie isotrope transverse. L'axe 3 longitudinal est
nommé L, les axes 1 et 2, équivalents seront nommés
T, on doit trouver :
S
11
11
22
33
23
31
12
avec µTL = µLT.
1/ET
−νTT/ET
−νLT/EL
0
0
0
22
33
−νTT/EL −νTL/ET
1/ET
−νTL/ET
−νLT/EL
1/EL
0
0
0
0
0
0
23
31
12
0
0
0
1/2µTL
0
0
0
0
0
0
1/2µLT
0
0
0
0
0
0
1/2µTT
Un matériau est .orthotrope autour de son axe e1. On réalise un essai de traction dans la direction
E 1. Cette dernière forme un angle α avec e1, dans le plan (e1,e2). Les deux bases ei et E i ont en
commun leur vecteur e3 = E3.Calculer le tenseur des déformations et en déduire la distorsion ε12
dans la base de l'éprouvette. Il y a-t-il gauchissement des sections droites ? Sous quelle(s)
condition(s).
____________________________________________ page 12 ____________________________________________