Calculer une longueur dans l`espace

GEOMETRIE DANS L'ESPACE
Calculer une longueur dans l'espace
Pour calculer une longueur dans l’espace, il faut se placer dans un plan et utiliser les méthodes
du plan.
Exemple
E
Soit ABCDEFGH un cube de longueur 4.
Déterminer la longueur AC puis la longueur AG.
Pour calculer AC on se place dans le plan du carré ABCD.
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle ABC
rectangle en B et on trouve AC = 32 = 4 2
A
Pour calculer AG, on se place dans le plan du rectangle
ACGE.
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle ACG
rectangle en C et on trouve AG = 48 = 4 3
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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
H
D
F
B
G
C
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Exercice 1
Soit ABCDEFGH un cube de longueur 2. I est le
milieu de [AE]
Déterminer BI et CI.
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Exercice 2
Soit une sphère de rayon 5 et de centre 0. Un plan
coupe cette sphère et l’intersection est un cercle de
centre I et de rayon 3.
Déterminer la distance OI
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Corrigé 1
Soit ABCDEFGH un cube de longueur 2. I est le
milieu de [AE]
Déterminer BI et CI.
Dans le plan (ABF) le triangle ABI est rectangle en
A.
On a AI = 1 et AB = 2. Donc d’après le théorème
de Pythagore, BI = 5.
Dans le plan (BCI) le triangle BCI est rectangle en
B.
On a BI = 5 et BC = 2. Donc d’après le théorème
de Pythagore, IC = 3.
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Calculer une longueur dans l'espace
Corrigé 2
Soit une sphère de rayon 5 et de centre 0. Un plan
coupe cette sphère et l’intersection est un cercle de
centre I et de rayon 3.
Déterminer la distance OI
On se place dans le plan (OBI). le triangle OBI est
rectangle en I.
On a OB = 5 et IB = 3.
D’après le théorème de Pythagore,
OB² = OI² + IB²
Donc : OI² = OB² – IB²
d’où : OI² = 16
puis : OI = 4
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