Correction DS2_TGSI

CORRECTION DU DS2
EXERCICE N°1
N°1 : Taux d’évolution (5 points)
Le marché de l’immobilier fait apparaître que les prix des biens en général ont augmenté de 44% en
deux ans (pour la période du 1er janvier 2004 au 1er janvier 2006).
1) Taux d’évolution annuel moyen pour la période du 1er janvier 2004 au 1er janvier 2006 :
Si 45 est le taux moyen alors (1 + 45 )7 = 1 + 0,44 donc 45 = √1,44 − 1 = 0,2.
Donc le taux moyen sur ces deux années est de 20%. (1 point)
2) Monsieur Picsou achète un appartement au prix P = 260 400€, le 1er janvier 2004.
a. Deux années plus tard, M. Picsou décide de mettre en vente cet appartement.
Si Q est le prix de vente Q d’après le marché alors Q=P× 1,44 = 260 400 × 1,44 = 374 976.
Donc le prix de vente devrait être 374 976€.
976€. (0,5 point)
b. M.Picsou est parvenu à vendre son appartement au 1er janvier 2006 au prix R = 380 184€.
Le taux d’évolution appliqué au prix d’achat P est de t =
HIJ
J
=
KLM NLOI7PM OMM
7PM OMM
= 0,46.
Donc la plusplus-value est de 46%. (1 point)
R
KLM NLO
c. Le rapport entre le prix effectif de vente R et le prix théorique Q du marché est de =
≈
S
KTO UTP
1,014.
Donc le gain par rapport aux prévisions est d’environ 1,4%. (0,5 point)
3) Certains spécialistes du marché de l’immobilier font en 2005 les estimations suivantes :
entre le 1er janvier 2006 et le 1er janvier 2007 les prix des biens pourraient chuter de 10% ;
entre le 1er janvier 2007 et le 1er janvier 2008 le taux d’évolution à la baisse serait de t%.
a. On suppose que le prix de vente, estimé par le marché, de cet appartement, le 1er janvier 2008,
était de 290 840€.
Du 1er janvier 2006 au 1er janvier 2007 le coefficient multiplicateur est de 1 − 0,1 = 0,9.
Du 1er janvier 2007 au 1er janvier 2008 le coefficient multiplicateur est de 1 + 4.
Alors R× 0,9 × (1 + 4) = 290 840 donc 1 + 4 =
7UM LOM
KLM NLO×M,U
= 0,85 donc 4 = 0,85 − 1 = −0,15.
Dans ce cas, le taux serait de −15%.
15%. (1 point)
b. Si M.Picsou avait décidé de placer sur un livret d’épargne ses 260 400€, le 1er janvier 2004, à
intérêts composés au taux annuel 1,6%, alors son capital définirait les termes d’une suite géométrique
de 1er terme YM =260 400 et de raison Z = 1 + 0,016 = 1,016.
Comme Y[ = YM × Z [ alors on cherche \ tel que 260 400 × 1,016[ ≥ 290 840.
D’après la calculatrice, on trouve YP = 286 420 et YT = 291 003.
Donc, au bout de 7 ans, son capital aura dépassé 290 840€.
840€. (1 point)
EXERCICE N°2
N°2 : Programmation linéaire (6 points)
Madame Maréchal tient une librairie pour la jeunesse. Une grande partie de sa clientèle lit des romans
ou des BD. Pour approvisionner son rayon, cette librairie a besoin d’au moins 50 romans et 20 BD, mais
ne peut dépasser les 180 ouvrages au total.
La place nécessaire, en moyenne, est de 3 cm pour un roman et de 2 cm pour une BD. Madame Maréchal
ne dispose que de 4,80 m de longueur d’étagère pour ces ouvrages.
On note _ le nombre de romans et ` celui de BD en rayonnage.
1) Contraintes de l’énoncé :
La librairie a besoin d’au moins 50 romans donc a ≥ bc et 20 BD au moins donc d ≥ ec.. (0,5 point)
La librairie ne peut dépasser 180 ouvrages donc a + d ≤ ghc. (0,5 point)
L’étagère mesure 4,80 m soit 480 cm. La place occupée par les romans est de 3_ cm et par les BD 2` cm
donc ia + ed ≤ jhc. (0,5 point)
Donc on retrouve le système.
2) On pose : (2 points)
D1 la droite verticale d’équation _ = 50.
D2 la droite horizontale d’équation ` = 20.
D3 la droite d’équation _ + ` = 180. Elle passe par les points de coordonnées (50 ; 130) et (100 ; 80).
D4 la droite d’équation 3_ + 2` = 480. Elle passe par les points de coordonnées (40 ; 180) et (100 ; 90).
On obtient la région sur le graphique.
3) Madame Maréchal réalise un bénéfice de 0,50€ par roman et 0,40€ par BD.
a. Le bénéfice B est de c, ba + c, jd. (0,5 point)
b. d1 est la droite d’équation 0,5_ + 0,4` = 100 et d2 est la droite d’équation 0,5_ + 0,4` = 80.
L’équation réduite de d1 est ` = −1,25_ + 250 et celle de d2 est ` = −1,25_ + 200. Elles ont le même
coefficient directeur donc elles sont parallèles (tracées en pointillés rouge). (1point)
c. La droite donnant le bénéfice maximale est parallèle aux droites d1 et d2 et passe par le point
de coordonnées (120 ; 60).
Donc 120 romans et 60 BD rapporte un bénéfice maximal à Madame Maréchal. (0,5 point)
Comme 120 × 0,5 + 60 × 0,4 = 84 alors ce bénéfice est de 84€.
84€. (0,5 point)
EXERCICE N°3
N°3 : Les suites (9 points)
Un institut démographique étudie les populations de deux villes A et B.
PARTIE A
La ville A compte une population de 34 000 habitants en 2007. On observe depuis que chaque année, sa
population augmente de 3%.
On note YM = 34 000 le nombre d’habitants de la ville A au 1er janvier 2007 et Y[ le nombre de ses
habitants au 1er janvier de l’année (2007 + \).
1) On a lg = 34 000 × (1 + 0,03) = ib cec et le ≈ im cng. (0,5 point)
a. Comme une augmentation de 3% correspond à un coefficient multiplicateur de 1+0,03 alors :
Pour tout entier naturel o,, lopg = lo × g, ci. (0,5 point)
b. La suite l est donc géométrique de 1er terme lc = ij ccc et de raison q = g, ci. (0,5 point)
c. Y[ = YM × Z [ donc lo = ij ccc × g, cio . (0,5 point)
2) Selon ce modèle :
a. Population de la ville A au 1er janvier 2013 :
2013=2077+6 et Yr = YM × 1,03P = 34 000 × 1,03P ≈ 40 598
Elle serait de 40 598 habitants en 2013. (1 point)
b. A l’aide de la calculatrice, on cherche n tel que 34 000 × 1,03[ ≥ 50 000.
On trouve YNK = 49 930 et YNO = 51 428.
Donc la de la ville A dépassera 50 000 habitants en 2021. (1 point)
PARTIE B
La ville B, qui comptait 45 000 habitants au 1er janvier 2007, perd chaque année 500 habitants.
On note sM le nombre d’habitants de la ville B au 1er janvier 2007 et s[ le nombre de ses habitants au 1er
janvier de l’année (2007 + \).
1) On a tg = 45 000 − 500 = jj bcc et le = 44 500 − 500 = jj ccc. (0,5 point)
a. Pour tout entier naturel \, topg = to − bcc. (0,5 point)
b. La suite t est une suite arithmétique de 1er terme tc = jb ccc et de raison u = −bcc. (0,5
point)
c. Comme s[ = sM + \ × v alors to = jb ccc − bcco.. 0,5 point)
2) Population de la ville B au 1er janvier 2013 :
sr = sM + 6 × v = 45 000 − 500 × 6 = 42 000.
Elle serait de 42 000 habitants en 2013. (1 point)
PARTIE C
On rappelle que la population de la ville A augmente de 3% chaque année et que la ville B perd 500
habitants par année. On donne, un extrait de tableur ci-dessous :
1
2
3
4
5
6
7
A
\
0
1
2
3
4
5
B
Ville A
34 000
C
Ville B
45 000
40 598
41 816
42 000
41 500
1)
a. Formule à entrer dans la cellule B3 à recopier vers le bas : =B2*1,03 ou =$B$2*1,03^A3
=$B$2*1,03^A3.
A3 (0,5
point)
b. Formule à entrer dans la cellule C3 à recopier vers le bas : =C2
500 ou =$C
=C2−500
=$C$2−500*
$2 500*A3
500*A3.
A3 (0,5
point)
2) La population de la ville A dépassera la population de la ville B en 2014 (voir tableau).
tableau). (1 point)