Savoir représenter en vraie grandeur et calculer le rayon d`une

Savoir représenter en vraie grandeur et calculer le rayon d’une section de sphère.
Enoncé
On considère une sphère de centre o de rayon 3 cm.
O’ est un point tel que OO’=2 cm.
(P) est le plan passant par le point O’ et perpendiculaire à la droite (OO’).
On note M un point appartenant au plan P et à la sphère.
1. Aucun calcul n’est nécessaire pour les deux constructions
suivantes :
a) Tracer en vraie grandeur le triangle OO’M.
b) Tracer en vraie grandeur l’intersection de la sphère et
du plan.
2. Calculer le rayon en cm de cette section et arrondir au mm.
Solution
1. a) Le triangle OO’M est rectangle en O’ avec OO’=2 cm et OM=3cm (rayon de la sphère).
La construction demandée en découle, il suffit de tracer :
Le segment *OO’+ de longueur 2cm ;
une demi-droite *O’x) perpendiculaire à *OO’+ ;
un arc de cercle de centre O de rayon 3 cm. Il coupe *O’x) en M ;
le segment [OM].
b) l’intersection de la sphère et du plan est le cercle de centre O’ de rayon O’M.
2. Le théorème de Pythagore appliqué au triangle OO’M rectangle en O’ donne :
O’M²= OM²-O’M²=3²-2²=5
Ainsi O’M=
cm soit environ 2,2 cm avec la précision demandée.
Savoir calculer l’aire d’une sphère
Enoncé
Une sphère a un diamètre de 60 cm.
Calculer la valeur exacte se son aire en cm² puis donner l’arrondi au cm².
Solution
Le rayon de la sphère est la moitié du diamètre, il est donc de 30 cm.
En appelant A l’aire de la sphère, on a :
A=
L’arrondi au
(valeur exacte en
)
de l’aire de cette sphère est donc 11 310
.
Savoir calculer le volume d’une boule, d’un solide.
Enoncé
Une boîte parallélépipédique de dimensions 4cm, 4cm et 8 cm contient deux boules de rayon 2 cm.
Calculer la valeur exacte du volume de m’espace laissé libre par les deux boules, en cm3, puis donner son arrondi au
mm3.
Solution
Le volume de la boîte est 128
. (Volume d’un pavé droit)
En appelant V le volume d’une boule, on a :
Le volume libre est égal au volume de la boîte moins le double du volume d’une boule.
Le volume de l’espace libre est alors :
L’arrondi au
est 60,979
.
(valeur exacte en
)